2, f) dydx − 2xy = x − x3

Analiza - zestaw 16 Równania ró»niczkowe

1. Maj¡c dany zysk kra«cowy i warunek pocz¡tkowy, wyznaczy¢ funkcj¦ zysku caªkowi- tego:

a) Z⁰(t) = 7e^t, Z(0) = 7, b) Z⁰(t) = _t2^3t+1; Z(0) = 10.

2. Rozwi¡za¢ poni»sze równania i zagadnienia pocz¡tkowe (wynikiem mo»e by¢ posta¢

uwikªana, ale je±li si¦ da, trzeba j¡ rozwikªa¢!):

a) ^dy_dx = ^2x−1_x2 y, b) ^dy_dx = y tg x,

c) cos y^dy_dx = ^{sin x(x−1)}_y , y(^π₂) = 1. d) y ln x + x^dy_dx = x²y, y(1) =√

e, e) ^dy_dx − 3y = 2; y(0) = 2,

f) ^dy_dx − 2xy = x − x³; y(2) = 4, g) ^dy_dx + 2xy = xe^−x2; y(1) = 0, h) ^dy_dx + y cos x = ¹₂ sin 2x, i) _dx^dy +^y_x = 2,

j) ^dy_dx+ y tg x = sin 2x, k) x^dy_dx+ y = x sin x,

l) 2x^dy_dx − y = ³₂x²; y(1) = 3, ª) _dx^dy − _x+1^2y = (x + 1)³; y(0) = 1, m) ^dy_dx − y tg x = 2 cos²x,

n) ^dy_dx − x²y = 5x²; y(0) = 7, o) ^dy_dx +_2x^y = x²+ 1; y(1) = 2.

3. Wyznaczy¢ funkcj¦ popytu od ceny Q(p) wiedz¡c, »e:

a) cenowa elastyczno±¢ popytu wyra»a si¦ wzorem EpQ = _50−p^p oraz, »e przy cenie 10 jednostek popyt wynosi 100 jednostek.

b) cenowa elastyczno±¢ popytu wyra»a si¦ wzorem EpQ = 3 − p²− p³ oraz, »e przy cenie 2 jednostek popyt wynosi 40 jednostek.

c) cenowa elastyczno±¢ popytu wyra»a si¦ wzorem EpQ = 2 − p − p⁴ oraz, »e przy cenie 3 jednostek popyt wynosi 45 jednostek.

4. Narysowa¢ portret fazowy i opisa¢ jako±ciowo rozwi¡zania podanych równa« w zale»- no±ci od warunku pocz¡tkowego y(0) = y0:

a) ^dy_dx = −y; b) _dx^dy = y²; c)^dy_dx = −e^y, d) ^dy_dx = ln y; e) ^dy_dx = y²− 3y + 2; f) ^dy_dx = 3 + 2y − y²; g) ^dy_dx = y − 3√

y; h) ^dy_dx = y³− 6y²+ 5y; i) ^dy_dx = y⁴− 4y²; j) ^dy_dx = (y − 3)(25 −√

y)2^y; k) _dx^dy = cos y; l) _dx^dy = ^log12_y^{y arcctg y}2−9 ; ª) _dx^dy = _(2−y−y^e2^−y) ln(3y+1); m) _dx^dy = ^log_{arctg y}^5|y|.

5. Zaªó»my, »e funkcje poda»y i popytu pewnego dobra w zale»no±ci od jego ceny dane s¡ wzorami: D(p) = 400 − p, S(p) = −200 + 3p

a) Wyznaczy¢ cen¦ równowagi ¯p tego dobra.

b) Zaªó»my, »e w chwili t = 0 rynek nie jest w stanie równowagi. Dla jakich cen pocz¡t- kowych p0 = p(0) 6= ¯pcena b¦dzie d¡»y¢ do ceny równowagi, je±li zmienia si¦ ona zgodnie z równaniem ró»niczkowym ^dp_dt = 2(D(p) − S(p))?

Narysowa¢ portret fazowy dla tego równania i przeanalizowa¢ jako±ciowo zachowanie rozwi¡za« dla t d¡»¡cego do +∞.

c) W celu sprawdzenia odpowiedzi z podpunktu b) nale»y rozwi¡za¢ podane równanie ró»niczkowe, podstawi¢ p(0) = p0 do rozwi¡zania i zbada¢, czy to rozwi¡zanie d¡»y w +∞do ¯p.

1

2

c) Dodatkowo poda¢ ekonomiczne uzasadnienie przyj¦cia powy»szego równania ró»nicz- kowego (liczba 2 w tym równaniu pojawiªa si¦ zupeªnie przypadkowo - jej nie trzeba uzasadnia¢) jako modelu odzwierciedlaj¡cego dynamik¦ cen.

Dobrej zabawy!

Grzesiek Kosiorowski