Teoria maszyn i podstawy automatyki

Teoria maszyn i podstawy automatyki

zima 2019/2020

Przykład wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmu płaskiego metodą wykreślną – metoda członu rozszerzonego

Dane: geometria mechanizmu (wymiary elementów, ich położenie i orientacja) oraz stała prędkość kątowa ω elementu napędowego

Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych, Politechnika Warszawska,

ω

A B

E

D

Jak pracuje ten mechanizm?

Jak pracuje ten mechanizm?

Jak pracuje ten mechanizm?

Jak pracuje ten mechanizm?

Jak pracuje ten mechanizm?

zauważamy ruch

względny

ω=const.const.

Wracamy do rozważanego położenia mechanizmu, numerujemy człony i nazywamy punkty

A B

E

2 3

1

D

ω=const.const.

Rozkładamy mechanizm na fragmenty. Z powodu ruchu względnego suwaka (należącego do członu nr 2) po pręcie nr 3, wprowadzamy oznaczenia punktów D

i D

.

Punkt D

nie przesuwa się po pręcie w czasie ruchu, a punkt D

jest ściśle związany z suwakiem. W badanym

położeniu mechanizmu punkty D

i D

się nakładają.

A B

E

2 3

1

D

B

D

A B E

D

ω=const.const.

Wyznaczamy prędkość puntu B, czyli prędkość końca członu nr 1 będącego w ruchu obrotowym.

Jest to jednocześnie prędkość końca członu nr 2 ze względu na połączenie członów 1 i 2 w puncie B.

A B

E

2 3

1

D

B

D

A B E

D

v_B

|v_B2| = ω |BB₂A|B v_B

ω=const.const.

Rozpatrzmy teraz ruch suwaka po pręcie.

Przyjmujemy, że ruchem złożonym porusza się punkt D

. Ruchem unoszenia jest zatem ruch pręta 3,

a ruchem względnym - ruch suwaka wzdłuż pręta.

Ruch złożony opisuje równanie:

A B

E

2 3

1

D

B

D

A B E

D

v_B v_B

v_D2 = v_D3 + v_D2D3

ω=const.const.

W równaniu tym znamy tylko kierunek prędkości punktu D

oraz kierunek prędkości względnej (ruch suwaka wzdłuż pręta). Nie mamy żadnej informacji o prędkości punktu D

i z tego powodu nie możemy dalej wyznaczać

prędkości (za dużo niewiadomych w równaniu wektorowym). Musimy użyć innej metody...

A B

E

2 3

1

D

B

D

A B E

D

v_B

|v_B2| = ω |BB₂A|B v_B

v_D2 = v_D3 + v_D2D3

3 3

Kierunek v_D3

Kierunek v_D2D3

ω=const.const.

METODA CZŁONU ROZSZERZONEGO

Dokonajmy rozszerzenia członu nr 3 o dodatkowy punkt, który w analizowanym położeniu mechanizmu pokrywa się

z punktem B. Dodamy w punktach B indeksy od numerów członów aby je od siebie odróżnić.

A B₁=B₂

E

2 3

1

D

B₂

D

A B E

D

v_B v_B

B₃

ω=const.const.

Ruch złożony punktu B2 opisuje równanie:

A B₁=B₂

E

2 3

1

D

B₂

D

A B E

D

v_B

|v_B2| = ω |BB₂A|B v_B

B₃

v_B2 = v_B3 + v_B2B3

ω=const.const.

W równaniu znamy prędkość punktu B

, stwierdzamy również, że prędkość punktu B

będzie prostopadła do

odcinka EB

(co wynika z ruchu obrotowego pręta 3).

Kierunek prędkości względnej punktów B

i B

jest

równoległy do odcinka ED

z uwagi na ruch całego członu 2 wzdłuż pręta członu 3.

A B₁=B₂

E

2 3

1

D

B₂

D

A B E

D

v_B v_B

B₃

v_B2 = v_B3 + v_B2B3

EB₃ ED₃ 1

Kierunek v_B3 ^Kierunek v_B2B3

Rozwiązujemy równanie wektorowe metodą graficzną

v_B2 = v_B3 + v_B2B3

EB₃ ED₃ 1

Plan prędkości

v_B2

EB₃ ED₃

1

1

v_B2 = v_B3 + v_B2B3

Plan prędkości

v_B2

EB₃ ED₃

1

1

EB₃

v_B2 = v_B3 + v_B2B3

Plan prędkości

v_B2

EB₃ ED₃

1

1

ED₃

EB₃

v_B2 = v_B3 + v_B2B3

Plan prędkości

v_B2

v_B3

EB₃ ED₃

1

1

ED₃

EB₃

v_B2 = v_B3 + v_B2B3

Plan prędkości

v_B2

v_B2B3 v_B3

EB₃ ED₃

1

1

ED₃

EB₃

v_B2 = v_B3 + v_B2B3

ω=const.const.

Wyznaczyliśmy prędkość punktu B

oraz prędkość względną ruchu suwaka po pręcie.

A B₁=B₂

E

2 3

1

D

B₂

D

A B E

D

v_B

|v_B2| = ω |BB₂A|B v_B

B₃

v_B2B3 v_B3

ω=const.const.

Znajomość prędkość punktu B

pozwala określić prędkość kątową członu nr 3:

A B₁=B₂

E

2 3

1

D

B₂

D

A B E

D

v_B v_B

B₃

v_B2B3 v_B3

ω

ω

= V

|BEB

|B

ω=const.const.

Dzięki wyznaczeniu prędkości kątowej członu 3 znajdziemy teraz prędkość jego dowolnego punktu,

np. punktu D

:

A B₁=B₂

E

2 3

1

D

B₂

D

A B E

D

v_B

|v_B2| = ω |BB₂A|B v_B

B₃

v_B2B3 v_B3

ω

|BV

|B = ω

|BED

|B

v_D3

ω=const.const.

Analizę przyspieszeń punktów mechanizmu rozpocznijmy od członu napędowego.

A B

E

2 3

1

D

B

D

A B E

D

ω=const.const.

Przyspieszenie punktu B ma tylko składową normalną (przyspieszenie dośrodkowe).

A B

1

A B E

D

|pⁿ_BA| = ω² |BA|

p_B = pⁿ_BA + p^t_BA

|p^t_BA| = ε |BA|=0

ε=d ω dt =0

p_B

1 1

ω=const.const.

Przyspieszenie punktu B możemy przenieść na człon 2.

A

2 B

1

D

B A

B E

D

p_B p_B

ω=const.const.

Ruch członu 3 analizujemy z użyciem metody członu rozszerzonego.

Ruch złożony punktu B2 opisuje równanie przyspieszeń:

A B

E

2 3

1

D

B₂

D

A B E

D

p_B p_B2

B₃

p_B2 = p^Unoszenia + p^względne + p^Coriolisa

ω=const.const.

Przeanalizujmy składowe przyspieszeń

A B

E

2 3

1

D

D

A B E

D

p_B p_B2

B₃

p_B2 = p^Unoszenia + p^względne + p^Coriolisa p_B2 = pⁿ_B3E + p^t_B3E + p_B2B3 + p^Cor.

pⁿ_B3E

t

|pⁿ_B3E| = ω₃² |B₃E|

z planu prędkości

ω

B₃E B₃E D₃E 1

B₂

ω=const.const.

Przeanalizujmy składowe przyspieszeń

A B

E

2 3

1

D

D

A B E

D

p_B p_B2

B₃

p_B2 = pⁿ_B3E + p^t_B3E + p_B2B3 + p^Cor.

pⁿ_B3E

t

|pⁿ_B3E| = ω₃² |B₃E|

z planu prędkości

ω

B₃E B₃E D₃E 1

|p^Cor.| = 2|ω₃| |V_B2B3| sin( <(ω₃, V_B2B3))=2|ω₃| |V_B2B3| p^Cor. = 2ω₃ x V_B2B3

kąt prosty

V_B2B3

ω

p^Cor.

D₃E D₃E

D₃E

B₂

Rozwiążmy graficznie powstałe równanie wektorowe ruchu względnego

p_B2 = pⁿ_B3E + p^t_B3E + p_B2B3 + p^Cor.

B₃E B₃E D₃E

1 D₃E

Dla ułatwienia rysowania możemy zmienić kolejność wektorów

p_B2 - p_B2B3 = p^Cor. + pⁿ_B3E + p^t_B3E

B₃E B₃E D₃E

1 D₃E

P_B2 - p_B2B3 = p^Cor. + pⁿ_B3E + p^t_B3E

B₃E B₃E D₃E

1 D₃E

P_B2 - p_B2B3 = p^Cor. + pⁿ_B3E + p^t_B3E

B₃E B₃E D₃E

1 D₃E

p_B2

P_B2 - p_B2B3 = p^Cor. + pⁿ_B3E + p^t_B3E

B₃E B₃E D₃E

1 D₃E

p_B2

D₃E

P_B2 - p_B2B3 = p^Cor. + pⁿ_B3E + p^t_B3E

B₃E B₃E D₃E

1 D₃E

p^Cor.

D₃E

p_B2

D₃E

P_B2 - p_B2B3 = p^Cor. + pⁿ_B3E + p^t_B3E

B₃E B₃E D₃E

1 D₃E

p^Cor.

D₃E

pⁿ_B3E

B₃E

p_B2

D₃E

P_B2 - p_B2B3 = p^Cor. + pⁿ_B3E + p^t_B3E

B₃E B₃E D₃E

1 D₃E

p^Cor.

D₃E

pⁿ_B3E

B₃E

B₃E

p_B2

D₃E

P_B2 - p_B2B3 = p^Cor. + pⁿ_B3E + p^t_B3E

B₃E B₃E D₃E

1 D₃E

p^Cor.

D₃E

pⁿ_B3E

B₃E

B₃E

p_B2

D₃E

-p_B2B3

P_B2 - p_B2B3 = p^Cor. + pⁿ_B3E + p^t_B3E

B₃E B₃E D₃E

1 D₃E

p^Cor.

D₃E

pⁿ_B3E

B₃E

B₃E

p_B2

D₃E

-p_B2B3 p^t_B3E

ω=const.const.

Po wyznaczeniu przyspieszenia stycznego punktu B3 możemy określić przyspieszenie kątowe członu 3:

A B

E

2 3

1

D

D

A B E

D

p_B p_B2

B₃ pⁿ_B3E

ω

B₂ p^t_B3E

ε

=

ε

p^t_B3E

|B₃E|

ω=const.const.

Ponieważ elementy nr 2 i 3 są w czasie ruchu ułożone zawsze pod stałym kątem względem siebie (sztywne mocowanie pręta B

D

do suwaka) to zarówno prędkości

jak i przyspieszenia tych członów będą sobie równe.

A B

E

2 3

1

D

D

A B E

D

p_B p_B2

B₃ pⁿ_B3E

ω

B₂ p^t_B3E

ε

= ε

ε

ω

=ω

ω

ε

ω=const.const.

Przyspieszenie punktu D

wyliczamy jako:

A B

E

2 3

1

D

D

A B E

D

p_B p_B2

B₃ pⁿ_B3E

ω

B₂ p^t_B3E

ε

ω

ε

p_D3 = pⁿ_D3E + p^t_D3E

|pⁿ_D3E| =

ω

D₃E D₃E

|p^t_D3E| =

ε

p^t_D3E pⁿ_D3E

ω=const.const.

Przyspieszenie punktu D

najłatwiej będzie obliczyć jako:

A B

E

2 3

1

D

D

A B E

D

p_B p_B2

B₃ pⁿ_B3E

ω

B₂ p^t_B3E

ε

ω

ε

p_D2 = p_B2 + pⁿ_D2B2 + p^t_D2B2

|pⁿ_D2B2| =

ω

D₂B₂ D₂B₂

|p^t_D2B2| =

ε

p^t_D3E pⁿ_D3E

BA

p_B2

pⁿ_D2B2

p^t_D2B2 p_D2