Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2019/2020

Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2019/2020

dr inż. Sebastian Korczak

Wykład 6 cd.

Równanie ruchu maszyny – przykład.

Redukcja mas i sił

Przykład 1

M

V ω

ω

ω

ω

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

=ω

i

i

v = D

2 ω

= D

2 ω

i

i

I _R = I _m + I ₁ + I _s +( I ₂ + I ₃ + I _s ) i ₁ ² +( I ₄ + I _d + I _s ) i ₁ ² i ₂ ² + G g

D ²

4 i ₁ ² i ₂ ²

D

Redukcja mas i sił

Przykład 1

ω ₁ (t ) I _R ( t) M _R ( t)

M _R = A−B ω ₁ − M _B Rozruch maszyny

d ω ₁

dt + B

I _R ω ₁ = A−M _B

I _R stałe: A , M _B , B , I _R I _R d ω ₁

dt = M _R

Redukcja mas i sił

Przykład 1

ω ₁ (t ) I _R ( t) M _R ( t)

M _R = A−B ω ₁ − M _B Rozruch maszyny

d ω ₁

dt + B

I _R ω ₁ = A−M _B

I _R stałe: A , M _B , B , I _R I _R d ω ₁

dt = M _R

Redukcja mas i sił

Przykład 1

ω ₁ (t ) I _R ( t) M _R ( t)

M _R = A−B ω ₁ − M _B Rozruch maszyny

d ω ₁

dt + B

I _R ω ₁ = A−M _B

I _R stałe: A , M _B , B , I _R I _R d ω ₁

dt = M _R

Redukcja mas i sił

Przykład 1

I _R ( t) M _R ( t)

ω ₁ (t )

Rozruch maszyny

rozwiązanie ogólne rozwiązanie szczególne

ω _{1 og} (t)=E e ⁻

B I

t

ω _{1 sz} (t)=F

B

warunek początkowy

ω ₁ ( t=0)=0

d ω ₁

dt + B

I _R ω ₁ = A−M _B I _R I _R d ω ₁

dt = M _R

Redukcja mas i sił

Przykład 1

Rozruch maszyny

ω ₁ (t )= A−M _B

B ( 1−e ⁻

B I

t

)

t

ω

(t)

Redukcja mas i sił

Przykład 1

Rozruch maszyny

t

ω

(t)

ω ₁ (t )= A−M _B

B ( 1−e ⁻

B I

t

)

ω _max = A−M _B B

0,95 ω _max = A−M _B

B ( 1−e ⁻

B I

t

)

prędkość ruchu ustalonego:

czas rozruchu

(95% maks. prędk.):

Wykład 7

Nierównomierność biegu maszyny.

Koło zamachowe.

Wstęp do automatyki.

silnik maszyna

φ( t) I

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

silnik maszyna

φ( t) I

φ ( ˙ t)

t ω

ω

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

silnik maszyna

φ( t) I

φ ( ˙ t)

t ω

ω

δ= ω

−ω

ω

ω

= ω

+ ω

2

Nierównomierność biegu maszyny

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

silnik maszyna

φ( t) I

φ ( ˙ t)

t ω

ω

δ= ω

−ω

ω

ω

= ω

+ ω

2

Nierównomierność biegu maszyny

Pompy silniki spalinowe generatory

δ=1/5÷1/30 δ=1/50÷1/150 δ=1/200÷1/300

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

silnik maszyna

φ( t) I

φ ( ˙ t)

t ω

ω

E

= 1

2 I

ω

E

= 1

2 I

ω

δ= ω

−ω

ω

ω

= ω

+ ω

2

Nierównomierność biegu maszyny

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

silnik maszyna

φ( t) I

φ ( ˙ t)

t ω

ω

E

= 1

2 I

ω

E

= 1

2 I

ω

δ= ω

−ω

ω

ω

= ω

+ ω

2

Nierównomierność biegu maszyny

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

˙x (t )

t v

v

Δ L=δ m

v

δ= v

− v

v

v

= v

+ v

2

Nierównomierność biegu maszyny

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

maszyna

m

F

( t) x (t)

ω( t)

φ( t )

silnik maszyna

φ( t) I

M _C M _B

φ ( t)

M _C M _B

π 2 π

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

przyczyna nierównomierności biegu - przykład

ω( t)

φ( t )

silnik maszyna

φ( t) I

M _C M _B

φ ( t)

M _C M _B

π 2 π Δ L

Δ L= ∫

φ_min φ_max

( M

− M

) d φ

δ= Δ L I

ω

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

przyczyna nierównomierności biegu - przykład

ω

ω

Δ L=E

− E

=δ I

ω

Koło zamachowe

silnik maszyna

φ( t) I

φ(˙ t )

t ω

ω

w ruchu ustalonym

silnik maszyna φ ( t) I

I

Koło zamachowe

silnik maszyna

φ( t) I

φ(˙ t )

t ω

ω

w ruchu ustalonym

φ(˙ t)

t ω

ω

koło

zamachowe

silnik maszyna φ ( t) I

I

Δ L=δ

I

ω

^założenie _I

_{≈ const .}

Koło zamachowe

silnik maszyna

φ( t) I

φ(˙ t )

t ω

ω

w ruchu ustalonym

φ(˙ t)

t ω

ω

Δ L=δ

( I

+ I

)ω

silnik maszyna φ ( t) I

I

Δ L=δ

I

ω

^założenie _I

_{≈ const .}

Koło zamachowe

silnik maszyna

φ( t) I

φ(˙ t )

t ω

ω

w ruchu ustalonym

φ(˙ t)

t ω

ω

Δ L=δ

( I

+ I

)ω

δ

I

ω

=δ

( I

+ I

)ω

silnik maszyna φ ( t) I

I

Δ L=δ

I

ω

^założenie _I

_{≈ const .}

Koło zamachowe

silnik maszyna

φ( t) I

φ(˙ t )

t ω

ω

w ruchu ustalonym

φ(˙ t)

t ω

ω

Δ L=δ

( I

+ I

)ω

δ

I

ω

=δ

( I

+ I

)ω

Koło zamachowe

silnik maszyna

ω( t) I

Przykład 1

ω

=1000 obr/min ω

=950 obr/min I

=10 kgm

Dane: Zadanie: dobrać

koło zamachowe aby wahania obrotów spadły do

10obr/min.

Koło zamachowe

silnik maszyna

ω( t) I

Przykład 1

I

=10 kgm

Dane: Zadanie: dobrać

koło zamachowe aby wahania obrotów spadły do

10obr/min.

ω

=1000 obr/min

ω

=950 obr/min

Koło zamachowe

silnik maszyna

ω( t) I

Przykład 1

I

=10 kgm

Dane: Zadanie: dobrać

koło zamachowe aby wahania obrotów spadły do

10obr/min.

δ

= ω

−ω

ω

= 50

975 =0,05128

δ

= 10

975 =0,01025

( ^δ

)

Nierównomierność biegu bez koła zamachowego:

Nierównomierność biegu z kołem zamachowym:

Moment bezwładności koła zamachowego:

ω

=1000 obr/min

ω

=950 obr/min

Koło zamachowe

Przykład 1

I

= 1

2 m r

= 1

2 ρ π h r

r

Walec pełen

h

Koło zamachowe

Przykład 1

I

= 40 kgm

I

= 1

2 m r

= 1

2 ρ π h r

r

Walec pełen

h

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

r [m]

ρ

=7800 kg /m

Koło zamachowe

Przykład 1

I

= 1

2 m r

= 1

2 ρ π h r

r

Walec pełen

h

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

r [m]

Koło zamachowe

Przykład 1

I

= 1

2 m r

= 1

2 ρ π h r

= 40 kgm

Walec

ρ

=7800 kg/m

1 2 3 4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

r [m]

1

2 3 4

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

masa [kg]

1 2

3

4

Koło zamachowe

Przykład 1 Walec z otworem

I

= 1

2 ρ π h r

− 1

2 ρ π h r

=40 kgm

r

h

r

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

r [m]

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

masa [kg]

lity 70% otw. 90% otw. 98% otw.

Koło zamachowe

Przykład 1 Walec z otworem

I

= 1

2 ρ π h r

− 1

2 ρ π h r

=40 kgm

Lity walec Walec z 90%

otworem Lity walec Walec z 98%

otworem

h= 10 cm 10 cm 5 cm 5 cm

r= 43 cm 56 cm 50 cm 96 cm

r _OTW = -- 50.4 cm -- 94 cm

+30% +92%

Koło zamachowe

Przykład 1

I

= 1

2 ρ π h r

− 1

2 ρ π h r

=40 kgm

Koło zamachowe – przykład 2

silnik

ω

(t ) _maszyna

I

ω

( t)

re du kt or

Dane:

Zadanie: dobrać koło zamachowe aby wahania prędkości wału maszyny spadły do 5obr/min.

I

=2 kgm

i= ω

( t)

ω

( t ) =0,2

ω

=105 obr/min ω

= 95 obr/min

- dla redukcji do wału maszyny

Koło zamachowe – przykład 2

silnik

ω

(t ) _maszyna

I

ω

( t)

re du kt or

Dane:

Zadanie: dobrać koło zamachowe aby wahania prędkości wału maszyny spadły do 5obr/min.

Dla koła zamachowego na wale maszyny:

ω

=105 obr/min ω

= 95 obr/min I

=2 kgm

i= ω

( t)

ω

( t ) =0,2

δ= ω

−ω

ω

= 10

100 = 0,1 δ

= ω

−ω

ω

= 5

100 = 0,05

I ( ^{δ −1} ) ^{I I}

Dla koła zamachowego na wale silnika:

δ I

ω

=δ

( I

+ I

)ω

δ I

i

ω

=δ

I

ω

+δ

I

ω

- dla redukcji do wału maszyny

uwaga: parametr nierównomierności biegu nie zależy od wyboru wału

Koło zamachowe

Moment bezwładności koła zamachowego zmniejsza:

- montaż na najszybciej obracającym się wale maszyny - montaż koła na dodatkowym wale, którego prędkość

zwiększamy z użyciem przekładni

Podstawy automatyki

Podstawowe pojęcia automatyki

Automatyka – dyscyplina naukowa z dziedziny nauk inżynieryjno-technicznych (wymieniana razem z

elektroniką i elektrotechniką) zajmująca się

zagadnieniami sterowania procesami bez stałego nadzoru człowieka

Sterowanie – wpływanie na obiekt lub proces w celu osiągnięcia jego określonego zachowania

automatyka ≠ automatyzacja

Teoria sterowania – gałąź matematyki i cybernetyki

zajmująca się analizą i modelowaniem matematycznym

układów i procesów traktowanych jako układy

Historia automatyki

Starożytna Grecja, Egipt, Państwo Arabskie

- układy utrzymywania poziomu płynów

- układy automatycznego otwierania drzwi

Źródło-wikipedia: Abraham Rees (1819) "Clepsydra" in

Cyclopædia: or, a New

Klepsydra Ktesibiosa

(3w. p.n.e.)

Historia automatyki

XVII-XVIII

Regulacja temperatury pieców i kotłów regulacja ciśnienia

XVIII-XIX

regulacja przepływu w dystrybucji wody i silnikach parowych

regulacja prędkości i siły w młynach wiatrakowych regulator Watta dla silników parowych

XIX-XX

Transformata Laplace'a i Z-transformata Lapunow – analiza stabilności

Routh – analiza stabilności Hurwitz – analiza stabilności

Nyquist – analiza stabilności i częstościowa

Bode, Nichols – analiza w dziedzinie częstości

Teoria sterowania

Klasyczna teoria sterowania

układy o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO)

układy liniowe

układy niezależne od czasu opis za pomocą transmitancji

analiza w dziedzinie czasu i częstości

Teoria sterowania

Klasyczna teoria sterowania Współczesna teoria sterowania

(od około 1950)

układy o jednym wejściu i jednym

wyjściu (SISO) układy o wielu wejściach i wyjściach

układy liniowe często układy nieliniowe

układy niezależne od czasu układy zależne od czasu

opis za pomocą transmitancji opis równaniami stanu

analiza w dziedzinie czasu i częstości analiza w dziedzinie czasu

Sterowanie w otwartej pętli

OBIEKT

u(t)=x(t ) y (t )

REGULATOR/

STEROWNIK/

KONTROLER

y _d ( t )

pożądane wyjście obiektu

sygnał sterujący

wyjście obiektu wejście

obiektu

Sterowanie w otwartej pętli

silniki krokowe

źródło: wikimedia.org; author: oomlout źródło: http://www.robotliving.com

platformy mobilne

(płaskie podłoże, brak poślizgu)

Zastosowania

Sterowanie w zamkniętej pętli

OBIEKT

u(t )=x(t ) y (t )

REGULATOR/

STEROWNIK/

KONTROLER

(prawo sterowania)

w (t)

wartość zadana - pożądane wyjście obiektu

(setpoint - SP)

sygnał sterujący

wyjście obiektu (process variable - PV)

wejście obiektu

+

-

e(t)

błąd sterowania

sprzężenie zwrotne (feedback)

Węzeł

informacyjny

Węzeł sumacyjny

CELE STEROWANIA

Ograniczenie zakresu wartości błędu Minimalizacja zmian błędu

Dążenie do zerowego błędu

Układy regulacji

Układ regulacji stałowartościowej – posiada stałą wartość zadaną

Układ regulacji nadążnej (śledzącej, tracking) – wartość zadana jest zmienną funkcją o

nieustalonym z góry przebiegu

Sterowanie w zamkniętej pętli – realizacja

x (t ) y _d ( t )

+ -

e(t) _{u(t )}

OBIEKT

ELEMENT WYKONAWCZY

REGULATOR

UKŁAD POMIAROWY

y (t )

y _p ( t )

OPÓŹNIENIE

W dalszej części wykładu analizować będziemy

obiekty liniowe, niezależne od czasu, o jednym

wejściu i jednym wyjściu, dla sygnałów ciągłych.

y ₁ ( t) y ₂ (t ) y _m ( t)

Liczba wejść i wyjść obiektu automatyki

x(t) Single Input y(t )

Single Output (SISO) system

Single Input Multiple Output (SIMO) system

x(t)

y ₁ ( t) y ₂ ( t ) y _m ( t)

...

Multiple Input Multiple Output (MIMO) system

x ₁ ( t ) x ₂ ( t ) x _m ( t )

Multiple Input Single Output (MISO) system

y(t )

...

...

x ₁ (t ) x ₂ (t ) x _m (t )

...

Układy liniowe niezależne od czasu (Linear time-invariant LTI)

Układ liniowy

x (t ) - wejście, y(t)=h(x (t )) - wyjście h(α x(t ))=α h( x(t ))=α y (t ) skalowanie

h( x ₁ ( t)+ x ₂ ( t))=h( x ₁ ( t))+h( x ₂ ( t )) superpozycja

Układy liniowe niezależne od czasu (Linear time-invariant LTI)

Układ niezależny od czasu

wyjście układu nie zależy wprost od czasu

jeżeli y(t)=h( x(t )) to y (t−τ)=h( x(t−τ))

Układ zależny od czasu

jeżeli y(t)=h( x(t )) to y (t−τ)≠h( x(t−τ))

Sygnały ciągłe i dyskretne

czas czas

Modelowanie matematyczne

Matematyczny opis procesu lub obiektu pomaga opracować układ sterowania bez przeprowadzania doświadczeń.

Model matematyczny może mieć postać:

• równania różniczkowego zwyczajnego

• równania różniczkowego cząstkowego

• równania całkowego

• równania rekurencyjnego

• tabeli danych

• reprezentacji stochastycznej

• sieci logicznej

• sieci neuronowej

• kombinacji powyższych

Modelowanie matematyczne

Przykład 1 – zbiornik prostopadłościenny

x ₁ ( t)[m ³ / s] - dopływ cieczy x ₂ ( t )[m ³ / s] - odpływ cieczy

v (t )[m ³ ] - objętość cieczy w zbiorniku

Zadanie: Stworzyć model

Modelowanie matematyczne

Przykład 1 – zbiornik prostopadłościenny

x ₁ (t)[m ³ / s] - dopływ cieczy x ₂ (t )[m ³ / s] - odpływ cieczy

v (t )[m ³ ] - objętość cieczy w zbiorniku

Modelowanie matematyczne

Przykład 1 – zbiornik prostopadłościenny

x ₁ (t)[m ³ / s] - dopływ cieczy x ₂ (t )[m ³ / s] - odpływ cieczy

v (t )[m ³ ] - objętość cieczy w zbiorniku

Modelowanie matematyczne

x ₁ ( t)[m ³ / s] - dopływ cieczy x ₂ ( t )[m ³ / s] - odpływ cieczy

v (t )[m ³ ] - objętość cieczy w zbiorniku

Zadanie: Stworzyć model

matematyczny opisujący relację

Odpowiedź:

t ₂ =t ₁ +Δ

v (t ₂ )≈ v(t ₁ )+Δ x ₁ ( t ₂ )−Δ x ₂ ( t ₂ ) v(t ₂ )− v(t ₁ )

Δ ≈ x ₁ ( t ₂ )− x ₂ ( t ₂ )

Przykład 1 – zbiornik prostopadłościenny

Modelowanie matematyczne

Przykład 1

dv (t )

dt = x ₁ (t )−x ₂ ( t )

v(t )

wejścia? wyjścia?

Modelowanie matematyczne

Przykład 1

dv (t )

dt = x ₁ (t )−x ₂ ( t )

v(t )

wejścia? wyjścia?

Modelowanie matematyczne

Przykład 1

dv (t )

dt = x ₁ (t )−x ₂ ( t )

v(t )

x ₁ ( t)

x ₂ ( t ) v (t )

Modelowanie matematyczne

Przykład 2

h(t)[W ] - moc grzałki

T _a ( t)[ K ] - temperatura otoczenia T _i (t)[ K ] - temperatura obiektu

Zadanie: opisać relację między mocą grzałki (wejściem) a

temperaturą obiektu (wyjściem).

Założyć straty energii tylko przez

konwekcję.

Modelowanie matematyczne

Przykład 2

Odpowiedź:

zmiana ciepła = ogrzewanie – konwekcja

Modelowanie matematyczne

Przykład 2

Odpowiedź:

zmiana ciepła = ogrzewanie – konwekcja

d Q(t)

dt =Q _H −Q _L

Modelowanie matematyczne

Przykład 2

Odpowiedź:

zmiana ciepła = ogrzewanie – konwekcja

d Q(t)

dt =Q _H −Q _L

Q [J ]=c _p m T _i - ciepło zgromadzone w obiekcie

c _p [ J /kg K ] - ciepło właściwe, m[kg] - masa obiektu

Modelowanie matematyczne

Przykład 2

Odpowiedź:

zmiana ciepła = ogrzewanie – konwekcja

d Q(t)

dt =Q _H −Q _L

Q [J ]=c _p m T _i - ciepło zgromadzone w obiekcie

c _p [ J /kg K ] - ciepło właściwe, m[kg] - masa obiektu

Q _H [ W ]=h(t ) - wzrost ciepła przez ogrzewanie grzałką

Modelowanie matematyczne

Przykład 2

Odpowiedź:

zmiana ciepła = ogrzewanie – konwekcja

d Q(t)

dt =Q _H −Q _L

Q [J ]=c _p m T _i - ciepło zgromadzone w obiekcie

c _p [ J /kg K ] - ciepło właściwe, m[kg] - masa obiektu

Q _H [ W ]=h(t ) - wzrost ciepła przez ogrzewanie grzałką

Q [ W ]=α(T −T ) - straty ciepła przez konwekcję

Modelowanie matematyczne

Przykład 2

c _p m dT _i ( t )

dt =h(t )−α(T _i (t )−T _a ( t))

Modelowanie matematyczne

Przykład 2

c _p m dT _i ( t )

dt =h(t )−α(T _i (t )−T _a ( t)) c _p m dT _i (t )

dt +α T _i ( t)=h(t )−α T _a ( t )

OBIEKT h(t)

T _a ( t)

T _i ( t)

Pytanie: Czy i kiedy możemy przekształcić ten model na model o jednym wejściu i jednym wyjściu?

Modelowanie matematyczne

Przykład 2

c _p m dT _i ( t )

dt =h(t )−α(T _i (t )−T _a ( t))

Pytanie: Czy i kiedy możemy przekształcić ten model na model o jednym wejściu i jednym wyjściu?

Modelowanie matematyczne

Przykład 2

c _p m dT _i ( t )

dt =h(t )−α(T _i (t )−T _a ( t))