Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2019/2020

Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2019/2020

dr inż. Sebastian Korczak

Wykład 6

Dynamika mechanizmów płaskich.

Dynamika maszyn.

Redukcja mas i sił.

Równanie ruchu maszyny.

Siły i momenty sił bezwładności

Dynamika mechanizmów

C ⃗ a

⃗ ε

siła bezwładności

B ⃗

=−m ⃗a

Moment od sił bezwładności

M ⃗

=− I

⃗ ε M ⃗

B ⃗

Dane:

z planu przyspieszeń

Reakcje w parach kinematycznych (bez tarcia)

Dynamika mechanizmów

Reakcje w parach kinematycznych (bez tarcia)

Dynamika mechanizmów

Siły napędzające i robocze

Dynamika mechanizmów

A

B

C

siła robocza moment napędzający

(równoważący) człon

napędowy

Przykład – sprężarka

kierunek ruchu

Siły napędzające i robocze

Dynamika mechanizmów

A

B

C

siła napędzająca (równoważąca) moment roboczy

człon napędowy

Przykład – silnik

kierunek ruchu

Pierwsze zadanie dynamiki – wyznaczenie sił i momentów sił działających na mechanizm wywołujących zadany ruch mechanizmu.

Drugie zadanie dynamiki – wyznaczenie ruchu mechanizmu pod wpływem sił i momentów zewnętrznych.

Dynamika mechanizmów

Pierwsze zadanie dynamiki

Dynamika mechanizmów

Wyznaczenie sił i momentów sił działających na mechanizm wywołujących zadany ruch mechanizmu – KINETOSTATYKA MECHANIZMÓW.

0. Zaprojektowanie mechanizmu do wykonywania konkretnego zadania.

Ustalenie napędu i sprawdzenie zgodności z założeniami przebiegu przemieszczeń, prędkości i przyspieszeń.

1. W oparciu o wyznaczone przyspieszenia wyznaczyć siły bezwładności działające na człony ruchome mechanizmu w wybranym położeniu mechanizmu.

2.Dokonać rozkładu mechanizmu na podukłady ujawniając reakcje w połączeniach.

3. Zapisać równania d'Alemberta dla podukładów mechanizmu (dla ruchu postępowego i obrotowego).

4. Rozwiązać powstałe równania metodą graficzną, analityczną lub mieszaną.

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

A B

E

D C

C

C

ω P

Dane:

Geometria, masy,

położenia środków mas i momenty bezwładności członów mechanizmu.

Zadana stała prędkość kątowa członu

napędowego

ω

mechanizmu.

Szukane:

Moment napędowy i siły reakcji w połączeniach.

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

A B

E

D C

C

C

ω

rozkład prędkości

⃗ v

⃗ v

⃗ v

⃗ v

⃗ v

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

A B

E

D C

C

C

ω

rozkład przyspieszeń

⃗ a

⃗ a

⃗ a

⃗ a

⃗ a

⃗ a

⃗ ε

⃗ε

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

A B

E

D C

C

C

ω

⃗ a

⃗ a

⃗ a

⃗ a

⃗ ε

⃗ ε

rozkład przyspieszeń

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

A B

E

D C

C

C

ω

siły bezwładności

⃗ a

⃗ a

⃗ a

⃗ a

⃗ ε

⃗ε

B ⃗

B ⃗

B ⃗

M ⃗

M ⃗

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

A B

E

D C

C

C

siły bezwładności

B ⃗

B ⃗

B ⃗

M ⃗

M ⃗

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

A B

E

D C

C

C

Siły bezwładności Siła robocza

Poszukiwana siła napędzająca

B ⃗

B ⃗

B ⃗

M ⃗

M ⃗

⃗ P

M ⃗

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

A

A B

E E

D

C

C

C

Podział strukturalny i reakcje

B ⃗

B ⃗

B ⃗

M ⃗

M ⃗

⃗ P M ⃗

B

⃗ R

⃗ R

⃗ R

⃗ R

⃗ R

⃗ R

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

E C

D

C

B ⃗

B ⃗

M ⃗

M ⃗

⃗ P B

⃗ R

⃗ R

⃗ R

+ ⃗ B

+ ⃗ B

+ ⃗ P+ ⃗R

=0

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

E C

D

C

B ⃗

B ⃗

M ⃗

M ⃗

⃗ P B

⃗ R

⃗ R

⃗ R

+ ⃗ R

+ ⃗ B

+ ⃗ B

+ ⃗ P+ ⃗R

+ ⃗ R

= 0

⃗ R

⃗ R

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

E C

D

C

B ⃗

B ⃗

M ⃗

M ⃗

⃗ P B

⃗ R

⃗ R

⃗ R

+ ⃗ R

+ ⃗ B

+ ⃗ B

+ ⃗ P+ ⃗R

+ ⃗ R

= 0

⃗ R

⃗ R

człon BD: ∑

i

M

= 0

⃗ R

=...

człon ED: ∑

i

M

= 0

⃗ R

=...

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

E E

C

D

C

B ⃗

B ⃗

M ⃗

M ⃗

⃗ P B

⃗ R

⃗ R

⃗ R

⃗ R

⃗ R

⃗ R

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

E E

C

D

C

B ⃗

B ⃗

M ⃗

M ⃗

⃗ P

⃗ B R

⃗ R

⃗ R

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

E E

C

D

C

B ⃗

B ⃗

M ⃗

M ⃗

⃗ P

⃗ B R

⃗ R

⃗ R

A

A B

C

B ⃗

M ⃗

⃗ R

⃗ R

⃗ R

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

A B

C

B ⃗

M ⃗

⃗ R

⃗ R

⃗ R

+ ⃗ B

+ ⃗ R

= 0

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

A B

C

B ⃗

M ⃗

⃗ R

⃗ R

M

=...

człon AB: ∑

i

M

=0

Pierwsze zadanie dynamiki – przykład

Dynamika mechanizmów

E E

C

D

C

B ⃗

B ⃗

M ⃗

M ⃗

⃗ P

⃗ B R

⃗ R

⃗ R

A

A B

C

B ⃗

M ⃗

⃗ R

⃗ R

⃗ R

Etapy pracy maszyny

Dynamika maszyn

czas

prędkość kątowa

rozruch ruch ustalony wybieg

Idea redukcji

Redukcja mas i sił

układ o wielu stopniach

swobody

¨x

(t )=F

( x

, x

, ... , t)

¨x

(t )=F

( x

, x

,... , t) ...

¨x

(t )=F

( x

, x

,... ,t ) +wiązania

+ ograniczenia

Source: James Albert Bonsack (1859 – 1924) - U.S. patent 238,640

Idea redukcji

Redukcja mas i sił

układ o wielu stopniach

swobody

lub

m

(t)

F

(t )

I

( t) M

(t)

φ_r(t)

układ o jednym

stopniu swobody

Energia kinetyczna

Redukcja mas

Całkowita energia kinetyczna układu

E

( m

, I

, v

, ω

)

Energia kinetyczna

Redukcja mas

m

(t)

F

(t )

E

= 1

2 m

v

masa

zredukowana v

= dx

( t )

Całkowita energia dt

kinetyczna układu

E

( m

, I

, v

, ω

)

Energia kinetyczna

Redukcja mas

m

(t)

F

(t )

I

(t) M

( t)

φ_r(t)

E

= 1

2 I

ω

zredukowany

E

= 1

2 m

v

masa zredukowana

lub

v

= dx

( t ) dt

d φ

( t)

Całkowita energia kinetyczna układu

E

( m

, I

, v

, ω

)

Moc układu

Redukcja sił

Całkowita moc układu

P(F

, M

,ω

, v

,...)

Moc układu

Redukcja sił

Całkowita moc układu

P(F

, M

,ω

, v

,...)

P=F

v

siła

zredukowana

m

( t)

F

( t )

x_r(t)

v

= dx

(t )

dt

Moc układu

Redukcja sił

Całkowita moc układu

P=M

ω

moment

P(F

, M

,ω

, v

,...)

P=F

v

siła

zredukowana

lub

m

( t)

F

( t )

I

( t) M

(t)

φ_r(t)

v

= dx

(t ) dt

d φ

( t)

Energia kinetyczna

Redukcja mas

E

= ∑

i=1

n

1

2 m

v

+ ∑

j=1

k

1

2 I

ω

n-elementów w

ruchu postępowym

k-elementów w

ruchu obrotowym

Energia kinetyczna

Redukcja mas

E

= ∑

i=1

n

1

2 m

v

+ ∑

j=1

k

1

2 I

ω

1

2 m

v

= ∑

i=1

n

1

2 m

v

+ ∑

j=1

k

1

2 I

ω

n-elementów w

ruchu postępowym

k-elementów w

ruchu obrotowym

Energia kinetyczna

Redukcja mas

E

= ∑

i=1

n

1

2 m

v

+ ∑

j=1

k

1

2 I

ω

1

2 m

v

= ∑

i=1

n

1

2 m

v

+ ∑

j=1

k

1

2 I

ω

m

= ∑

i=1 n

m

v

v

+ ∑

j=1 k

I

ω

v

1

2 I

ω

= ∑

i=1

n

1

2 m

v

+ ∑

j=1

k

1

2 I

ω

I

= ∑

i=1 n

m

v

ω

+ ∑

j=1 k

I

ω

ω

n-elementów w

ruchu postępowym

k-elementów w

ruchu obrotowym

Praca sił i momentów

Redukcja sił

dW = ∑

i=1 n

P

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

n-elementów w

ruchu postępowym

k-elementów w

ruchu obrotowym

Praca sił i momentów

Redukcja sił

dW = ∑

i=1 n

P

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

n-elementów w ruchu postępowym k-elementów w ruchu obrotowym

P

ds

= ∑

i=1 n

P

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

Praca sił i momentów

Redukcja sił

dW = ∑

i=1 n

P

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

n-elementów w ruchu postępowym k-elementów w ruchu obrotowym

P

ds

= ∑

i=1 n

P

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

P

= ∑

i=1 n

P

ds

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

ds

Praca sił i momentów

Redukcja sił

dW = ∑

i=1 n

P

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

n-elementów w ruchu postępowym k-elementów w ruchu obrotowym

P

ds

= ∑

i=1 n

P

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

P

= ∑

i=1 n

P

ds

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

ds

P

= ∑

i=1 n

P

v

dt

v

dt cos α

+ ∑

j=1 k

M

ω

dt

v

dt

Praca sił i momentów

Redukcja sił

dW = ∑

i=1 n

P

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

n-elementów w ruchu postępowym k-elementów w ruchu obrotowym

P

ds

= ∑

i=1 n

P

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

P

= ∑

i=1 n

P

ds

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

ds

P

= ∑

i=1 n

P

v

dt

v

dt cos α

+ ∑

j=1 k

M

ω

dt v

dt

n

v

ω

Praca sił i momentów

Redukcja sił

dW = ∑

i=1 n

P

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

n-elementów w ruchu postępowym k-elementów w ruchu obrotowym

P

ds

= ∑

i=1 n

P

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

M

d φ

= ∑

i=1 n

P

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

P

= ∑

i=1 n

P

ds

ds

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

ds

P

= ∑

i=1 n

P

v

dt

v

dt cos α

+ ∑

j=1 k

M

ω

dt v

dt

n

v

ω

M

= ∑

i=1 n

P

ds

d φ

cos α

+ ∑

j=1 k

M

d φ

d φ

M

= ∑

i=1 n

P

v

dt

ω

dt cos α

+ ∑

j=1 k

M

ω

dt ω

dt

n

v

ω

Redukcja sił i momentów sił

P

= ∑

i=1 n

P

v

v

cos α

+ ∑

j=1 k

M

ω

v

M

= ∑

i=1 n

P

v

ω

cos α

+ ∑

j=1 k

M

ω

ω

Redukcja mas i momentów bezwładności

m

= ∑

i=1 n

m

v

v

+ ∑

j=1 k

I

ω

v

I

= ∑

i=1 n

m

v

ω

+ ∑

j=1 k

I

ω

ω

dla ruchu postępowego

Równanie ruchu maszyny

m(t ) F (t) v (t)

dla ruchu postępowego

Równanie ruchu maszyny

m(t)

v (t)

dla ruchu postępowego

Równanie ruchu maszyny

dE

= dW

d ( ¹ 2 m(t)v (t)

) ^{= F (t )dx}

1

2 dm(t)v (t)

+m(t)v (t)dv (t)=F (t)dx 1

2 dm(t) v (t) dx (t)

dt +m(t) dx (t)

dt dv (t)=F (t)dx dm(t )

dt

v (t )

2 + m dv (t )

dt = F (t) jeżeli m=const . ⇒ m dv (t)

dt = P (t) lub m ¨x (t )=F (t ) m(t)

v (t)

dla ruchu obrotowego

Równanie ruchu maszyny

dE

= dW

d ( ^{I ω( 2 t)}

) ^{= M (t)d φ}

...

...

dI (t) dt

ω (t)

2 + I (t) d ω(t )

dt = M (t) jeżeli I =const . ⇒ I d ω (t)

dt = M (t) lub I ¨φ(t)=M (t)

M (t)

φ (t)

Koło toczące się bez poślizgu

Redukcja mas i sił

Dane: m – masa koła,

I

– moment bezwładności względem punktu O, r – promień koła,

M(t) – moment napędzający.

O

M(t)

r

Koło toczące się bez poślizgu

Redukcja mas i sił

Dane: m – masa koła,

I

– moment bezwładności względem punktu O, r – promień koła,

M(t) – moment napędzający.

O ^v

r

v(t) – prędkość liniowa środka koła, ω(t) – prędkość kątowa koła.

ω

M(t)

Koło toczące się bez poślizgu

Redukcja mas i sił

Dane: m – masa koła,

I

– moment bezwładności względem punktu O, r – promień koła,

M(t) – moment napędzający.

O ^v

r

v(t) – prędkość liniowa środka koła, ω(t) – prędkość kątowa koła.

ω

M(t)

Koło toczące się bez poślizgu

Redukcja mas i sił

Dane: m – masa koła,

I

– moment bezwładności względem punktu O, r – promień koła,

M(t) – moment napędzający.

O ^v

T = 1

2 m v

+ 1

2 I

ω

ale v=ω r T = 1

2 m v

+ 1

2 I

v

r

= 1

2 ( ^{m+ I} _r

) ^v

^{= 1} 2 m

v

m

=m+ I

r

=const.

r

P=M ω P=M v

r = M

r v=F

v F

= M

r

dv ( ^I ) ^{d v ( t ) M ( t )}

v(t) – prędkość liniowa środka koła, ω(t) – prędkość kątowa koła.

ω

M(t)

m

– masa całkowita

m

– masa zredukowana

m

– masa całkowita

m

– masa zredukowana

m

= m

m

m

Redukcja mas i sił

i= z

z

= ω

ω

Definicja

z

- liczba zębów koła wejściowego/wyjściowego Wartości dla

reduktora Wartości dla multiplikatora

Przełożenie kinematyczne przekładni

i= z

z

= ω

ω

Przykład 1

Redukcja mas i sił

Zbadajmy proces rozruchu wciągarki bębnowej składającej się z:

●

silnika elektrycznego (EM) generującego moment będący funkcją prędkości kątowej wału silnika ω według zależności: M=A-Bω, gdzie A i B są danymi stałymi parametrami; moment bezwładności wału wyjściowego silnika

wynosi I

;

●

przekładni dwustopniowej (reduktora) o zadanych momentach bezwładności kół I

, I

, I

, I

i momentach bezwładności wałów wynoszących I

;

przełożenia przekładni zadane są jako i

=ω

/ω

oraz i

=ω

/ω

;

●

bębna o średnicy D i momencie bezwładności I

; łożyskowanie bębna generuje stały moment oporów toczenia M

;

●

równi pochyłej o kącie α względem poziomu;

●

obiektu wciąganego o ciężarze G; tarcie między obiektem a równią opisane

jest modelem tarcia suchego ze współczynnikiem μ.

Przykład 1

Redukcja mas i sił

Redukcja mas i sił

Przykład 1

Redukcja mas i sił

Przykład 1

M

V ω

ω

ω

ω

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

=ω

i

i

v = D

2 ω

= D

2 ω

i

i

Redukcja mas i sił

Przykład 1

M

V ω

ω

ω

ω

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

=ω

i

i

v = D

2 ω

= D

2 ω

i

i

E

= 1

2 ( I

+ I

+ I

)ω

+ 1

2 ( I

+ I

+ I

) ω

+ 1

2 ( I

+ I

+ I

)ω

+ 1 2

G

g v

Redukcja mas i sił

Przykład 1

M

V ω

ω

ω

ω

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

=ω

i

i

v = D

2 ω

= D

2 ω

i

i

T = 1

2 ( I

+ I

+ I

) ω

+ 1

2 ( I

+ I

+ I

)ω

+ 1

2 ( I

+ I

+ I

)ω

+ 1 2

G g v

T = 1

2 ( I

+ I

+ I

) ω

+ 1

2 ( I

+ I

+ I

) ω

i

+ 1

2 ( I

+ I

+ I

)ω

i

i

+ 1 2

G g

D

4 ω

i

i

Redukcja mas i sił

Przykład 1

M

V ω

ω

ω

ω

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

=ω

i

i

v = D

2 ω

= D

2 ω

i

i

Zredukowany moment bezwładności

I

= I

+ I

+ I

+( I

+ I

+ I

)i

+( I

+ I

+ I

) i

i

+ G g

D

4 i

i

M

V ω

ω

ω

ω

P

M

Przykład 1

Redukcja mas i sił

Moc układu

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

=ω

i

i

v = D

2 ω

= D

2 ω

i

i

Przykład 1

Redukcja mas i sił

M

V ω

ω

ω

ω

P

M

Moc układu

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

=ω

i

i

v = D

2 ω

= D

2 ω

i

i

Redukcja mas i sił

Przykład 1

G

α

V

Redukcja mas i sił

Przykład 1

G

α

P

=

V V

Redukcja mas i sił

Przykład 1

G

α

G T N

P _O =T +G sin α=μ N +G sin α=μ G cos α+G sin α

V V

Przykład 1

Redukcja mas i sił

N =M

ω

− M

ω

− P

v

M

V ω

ω

ω

ω

P

M

Moc układu

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

ω

ω

= i

→ω

=ω

i

=ω

i

i

v = D

2 ω

= D

2 ω

i

i

Redukcja mas i sił

Przykład 1

N =M

ω

− M

ω

−(μ G cos α+G sin α) v

Redukcja mas i sił

Przykład 1

N =M

ω

− M

ω

−(μ G cos α+G sin α) v

N =M

ω

− M

ω

i

i

−(μ G cos α+G sin α) D

2 ω

i

i

Redukcja mas i sił

Przykład 1

N =M

ω

− M

ω

−(μ G cos α+G sin α) v

N =M

ω

− M

ω

i

i

−(μ G cos α+G sin α) D

2 ω

i

i

N = [ ^M

^{− M}

ⁱ

ⁱ

^−(μ G cos α+G sin α) D

2 i

i

] ^ω

Redukcja mas i sił

Przykład 1

N =M

ω

− M

ω

−(μ G cos α+G sin α) v

N =M

ω

− M

ω

i

i

−(μ G cos α+G sin α) D

2 ω

i

i

N = [ ^M

^{− M}

ⁱ

ⁱ

^−(μ G cos α+G sin α) D

2 i

i

] ^ω

M

= M

− ( ^M

ⁱ

ⁱ

^+(μ G cos α+G sin α) D

2 i

i

)

zredukowany moment

napędowy (czynny) zredukowany moment

oporów (bierny)

Redukcja mas i sił

Przykład 1

zredukowany moment napędowy (czynny)

M

= M

− M

zredukowany moment

oporów (bierny)

Moment zredukowany

Redukcja mas i sił

Przykład 1

I

d ω

dt = M

I

(t) M

(t)

ω

(t )

M

= A−B ω

− M

Rozruch maszyny