Teoria maszyn i podstawy automatyki

(1)

Teoria maszyn i podstawy automatyki

zima 2019/2020

ω

Przykład wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmu płaskiego metodą wykreślną

Dane: geometria mechanizmu (wymiary elementów, ich położenie

i orientacja) oraz stała prędkość kątowa ω elementu napędowego

(2)

SiMR, PW, IPBM, Zakład Mechaniki, dr inż. Sebastian Korczak, TMiPA, zima 2019/2020 2

Jak pracuje ten mechanizm?

(3)

Jak pracuje ten mechanizm?

(4)

Jak pracuje ten mechanizm?

zauważamy ruch względny

(5)

Wracamy do rozważanego położenia mechanizmu, numerujemy człony i nazywamy punkty

ω

A

B

E F

G

5 H

2

3

1

4 6

(6)

Ze względu na ruch względny suwaka 2 po pręcie 3 wprowadzamy oznaczenia punktów B

₂

i B

₃

B₃

E

G

H

3

1

ω

_A

B₂

2 3

(7)

Wyznaczamy prędkość końca członu 1

B₃

E

G

H

3

1

ω

_A

B₂

2 3

v_B2

v_B2 = ω |BB₂A|B

(8)

Przyjmujemy, że ruchem złożonym porusza się suwak 2, ruchem unoszenia jest zatem ruch pręta 3,

a ruchem względnym - ruch suwaka wzdłuż pręta

B₃

E

G

H

3

1

ω

_A

B₂

2 3

v_B2 v_B2 = v_B3 + v_B2B3

(9)

Określamy kierunki prędkości w równaniu ruchu względnego

B₃

E

G

H

3

1

ω

_A

B₂

2 3

v_B2 v_B2 = v_B3 + v_B2B3

3 3

1

(10)

Plan prędkości

v_B2 = v_B3 + v_B2B3

3 3

(11)

Plan prędkości

v_B2 v_B2 = v_B3 + v_B2B3

3 3

1

(12)

Plan prędkości

3 v_B2

v_B2 = v_B3 + v_B2B3

3 3

1

(13)

Plan prędkości

3 3

v_B2 v_B2 = v_B3 + v_B2B3

3 3

1

(14)

Plan prędkości

3 3

v_B2

v_B3 v_B2 = v_B3 + v_B2B3

3 3

1

(15)

Plan prędkości

3 3

v_B2

v_B2B3 v_B3 v_B2 = v_B3 + v_B2B3

3 3

1

(16)

Wyznaczona prędkość punktu B

₃

i prędkość względną

B₃

E

G

H

3

1

ω

_A

B₂

2 3

v_B2 v_B3

ω

₃ _v

B2B3 prędkość względna - element 2 porusza się po elemencie 3

(17)

Z wyznaczonej prędkości punktu B

₃

określamy prędkość kątową członu 3

B₃

E

G

H

3

1

ω

_A

B₂

2 3

v_B2 v_B3

ω

₃⁼ _|B^v^B3

3G|

ω

₃ _v

B2B3

(18)

Dzięki wyznaczeniu prędkość kątową członu 3 znajdziemy teraz prędkość dowolnego punktu członu 3, np. punktu E i H

B₃

E

G

H

3

1

ω

_A

B₂

2 3

v_B2 v_B3

ω

₃⁼ _|B^v^B3

3G|

ω

₃ _v

B2B3

v_E = ω₃ |BEG|B v_H

v_E

(19)

Prędkość punktu E oznaczymy też na planie prędkości

3 3

v_B2

v_B2B3 v_B3 v_B2 = v_B3 + v_B2B3

3 3

1

v_E

(20)

Z proporcji długości odcinków BG i BA oraz długości wektorów V

_B3

i V

_B2

wynika, że

B₃

E

G

H

3

1

ω

_A

B₂

2 3

v_B2 v_B3

ω

₃ _v

B2B3

v_H

v_E

ω > ω

₃

(21)

Rozważmy teraz ruch członu 4.

Prędkość punktu F wyznaczymy ze znajomości prędkości punktu E

B₃

E

G

H

3

1

ω

_A

B₂

2 3

v_B2 v_B3

ω

₃ _v

B2B3

v_H

v_E F

6 5

F

4

E v_E

v_F = v_E + v_FE

6 3 4

(22)

Plan prędkości

3 3

v_B2

v_B2B3 v_B3 1

v_E v_F = v_E + v_FE

3 4

6

(23)

Plan prędkości

v_B3

3 1 3

v_E

6

v_F = v_E + v_FE

3 4

6

v_B2

v_B2B3

(24)

Plan prędkości

v_B3

3 1 3

v_E

6

v_F = v_E + v_FE

3 4 4

6

v_B2

v_B2B3

(25)

Plan prędkości

v_B3

3 1 3

v_E

6

v_F = v_E + v_FE

4

v_FE

3 4

6

v_B2

v_B2B3

(26)

Plan prędkości

v_B3

3 1 3

v_E

v_F 6

v_F = v_E + v_FE

4

v_FE

3 4

6

v_B2

v_B2B3

(27)

Na zakończenie znajdźmy prędkość kątową elementu 4, jej zwrot wynika ze zwrotu prędkości V

_FE

a jej wartość liczymy

B₃

E

G

H

3

1

ω

_A

B₂

2 3

v_B2 v_B3

ω

₃ _v

B2B3

v_H

v_E F

6 5

F

4

E v_E

ω

₄⁼ _|FE|^v^FE

v_F

ω

₄

v_F

ω > ω

₃^>

ω

₄

(28)

Rozpocznijmy analizę przyspieszeń od członu napędowego

1

A B₂

(29)

Rozpocznijmy analizę przyspieszeń od członu napędowego

1

A B₂

p_B2 = p_A + pⁿ_B2A + p^t_B2A

(30)

Rozpocznijmy analizę przyspieszeń od członu napędowego

1

A B₂

|pⁿ_B2A| = ω² |B₂A|

p_B2 = p_A + pⁿ_B2A + p^t_B2A

=0 ||1

|p^t_B2A| = ε |B₂A|=0

ε=d ω dt =0

ω z założenia stałe

(31)

1

A B₂

p_B2

|pⁿ_B2A| = ω² |B₂A|

p_B2 = pⁿ_B2A

||1

Rozpocznijmy analizę przyspieszeń od członu napędowego

(32)

Rozpatrzmy ruch obrotowy elementu trzeciego

B₃

E

G

H

3

1

A B₂

p_B3 = p_G + pⁿ_B3G + p^t_B3G

=0 ||3 | 3

p_B2

|pⁿ_B3G| = ω₃² |B₃G|

z planu prędkości

|pⁿ_B2A| = ω² |B₂A|

p_B2 = pⁿ_B2A

||1

(33)

Rozpatrzmy ruch obrotowy elementu trzeciego

B₃

E

G

H

3

1

A B₂

p_B3 = p_G + pⁿ_B3G + p^t_B3G

=0 ||3 | 3

p_B2

|pⁿ_B3G| = ω₃² |B₃G|

|pⁿ_B2A| = ω² |B₂A|

p_B2 = pⁿ_B2A

||1

pⁿ

B3G t z planu

prędkości

(34)

Rozpatrzmy ruch obrotowy elementu trzeciego

B₃

E

G

H

3

1

A B₂

p_B3 = pⁿ_B3G + p^t_B3G

||3 | 3

p_B2

|pⁿ_B3G| = ω₃² |B₃G|

|pⁿ_B2A| = ω² |B₂A|

p_B2 = pⁿ_B2A

||1

pⁿ

B3G t

(35)

Rozpatrzmy ruch względny elementów 2 i 3

B₃

E

G

H

3

1

A B₂

||3 | 3

p_B2

|pⁿ_B3G| = ω₃² |B₃G|

|pⁿ_B2A| = ω² |B₂A|

p_B2 = pⁿ_B2A

||1

pⁿ

B3G t

B2

2 3

v_B2B3

ω

₃

(36)

Rozpatrzmy ruch względny elementów 2 i 3

B₃

E

G

H

3

1

A B₂

||3 | 3

p_B2

|pⁿ_B3G| = ω₃² |B₃G|

|pⁿ_B2A| = ω² |B₂A|

p_B2 = pⁿ_B2A

||1

pⁿ

B3G t

B2

2 3

v_B2B3

RUCH UNOSZENIA: ruch elementu 3 RUCH WZGLĘDNY: ruch elementu 2 wzdłuż elementu 3

ω

₃

(37)

Rozpatrzmy ruch względny elementów 2 i 3

B₃

E

G

H

3

1

A B₂

||3 | 3

p_B2

|pⁿ_B3G| = ω₃² |B₃G|

|pⁿ_B2A| = ω² |B₂A|

p_B2 = pⁿ_B2A

||1

pⁿ

B3G t

B2

2 3

v_B2B3

RÓWNANIE RUCHU WZGLĘDNEGO:

ω

₃

p_B2 = p^u_B3 + p^w + p^c

(38)

Rozpatrzmy ruch względny elementów 2 i 3

B₃

E

G

H

3

1

A B₂

||3 | 3

p_B2

|pⁿ_B3G| = ω₃² |B₃G|

|pⁿ_B2A| = ω² |B₂A|

p_B2 = pⁿ_B2A

||1

pⁿ

B3G t

B2

2 3

v_B2B3

ω

₃

p_B2 = p^u_B3 + p^w + p^c

pⁿ_B2A = pⁿ_B3G+ p^t_B3G + p^w_B2B3 + p^c

(39)

Rozpatrzmy ruch względny elementów 2 i 3

B₃

E

G

H

3

1

A B₂

||3 | 3

p_B2

|pⁿ_B3G| = ω₃² |B₃G|

|pⁿ_B2A| = ω² |B₂A|

p_B2 = pⁿ_B2A

||1

pⁿ

B3G t

B2

2 3

v_B2B3

ω

₃

p_B2 = p^u_B3 + p^w + p^c

1 3 3 3

(40)

Przyspieszenie Coriolisa

B₃

E

G

H

3

1

A B₂

p_B2 pⁿ_B3G

t

B₂

2 3

V_B2B3

ω

₃

p_B2 = p^u_B3 + p^w + p^c

1 3 3 3

p^c = 2ω₃ x V_B2B3

(41)

Przyspieszenie Coriolisa

B₃

E

G

H

3

1

A B₂

p_B2 pⁿ_B3G

t

B₂

2 3

V_B2B3

ω

₃

p_B2 = p^u_B3 + p^w + p^c

1 3 3 3

|p^c| = 2|ω₃| |V_B2B3| sin( <(ω₃, V_B2B3)) p^c = 2ω₃ x V_B2B3

(42)

Przyspieszenie Coriolisa

B₃

E

G

H

3

1

A B₂

p_B2 pⁿ_B3G

t

B₂

2 3

V_B2B3

ω

₃

p_B2 = p^u_B3 + p^w + p^c

1 3 3 3

|p^c| = 2|ω₃| |V_B2B3| sin( <(ω₃, V_B2B3)) p^c = 2ω₃ x V_B2B3

V_B2B3

ω

₃

wektor prostopadły do płaszczyzny rysunku, zwrot za rysunek

3

(43)

Przyspieszenie Coriolisa

B₃

E

G

H

3

1

A B₂

p_B2 pⁿ_B3G

t

B₂

2 3

V_B2B3

ω

₃

p_B2 = p^u_B3 + p^w + p^c

1 3 3 3

|p^c| = 2|ω₃| |V_B2B3| sin( <(ω₃, V_B2B3))=2|ω₃| |V_B2B3| p^c = 2ω₃ x V_B2B3

V_B2B3

ω

₃

3

p^c

3

kąt prosty

(44)

Plan przyspieszeń

1 3 3 3 3

pⁿ_B2A – p^c – p^w_B2B3 = pⁿ_B3G+ p^t_B3G

1 3 3 3 3

(45)

Plan przyspieszeń

1 3 3 3 3

(46)

Plan przyspieszeń

1 3 3 3 3

pⁿ_B2A

1

(47)

Plan przyspieszeń

1 3 3 3 3

pⁿ_B2A -p^c

3 1

(48)

Plan przyspieszeń

1 3 3 3 3

pⁿ_B2A -p^c

3 3

1

(49)

Plan przyspieszeń

1 3 3 3 3

pⁿ_B2A -p^c

pⁿ_B3G

3 3

3 1

(50)

Plan przyspieszeń

1 3 3 3 3

pⁿ_B2A -p^c

pⁿ_B3G

3

3 3

3 1

(51)

Plan przyspieszeń

1 3 3 3 3

pⁿ_B2A -p^c

pⁿ_B3G

-p^w_B2B3

3

3 3

3 1

(52)

Plan przyspieszeń

1 3 3 3 3

pⁿ_B2A -p^c

pⁿ_B3G

-p^w_B2B3

p^t_B3G

3

3 3

3 1

(53)

Plan przyspieszeń

1 3 3 3 3

pⁿ_B2A -p^c

pⁿ_B3G

-p^w_B2B3 p^t_B3G

p_B3

3

3 3

3 1

(54)

Przyspieszenia dla elementu 3

B₃

E

G

3 H

pⁿ_B3G

p^t_B3G p_B3

(55)

Przyspieszenia dla elementu 3

B₃

E

G

3 H

ε

₃

pⁿ_B3G

p^t_B3G p_B3

|p^t_B3G| ε₃ =

|B₃G|

(56)

Przyspieszenia dla punktu E

B₃

E

G

3 H

ε

₃

pⁿ_B3G

p^t_B3G p_B3

|p^t_B3G| ε₃ =

|B₃G|

|pⁿ_EG| = ω₃² |EG|

|p^t_EG| = ε₃|EG|

p_E = p_G + pⁿ_EG + p^t_EG

(57)

Przyspieszenia dla punktu E

B₃

E

G

3 H

ε

₃

pⁿ_B3G

p^t_B3G p_B3

|p^t_B3G| ε₃ =

|B₃G|

|pⁿ_EG| = ω₃² |EG|

|p^t_EG| = ε₃|EG|

|pⁿ_B3G| = ω₃² |B₃G|

|p^t_B3G| = ε₃|B₃G|

podstawiamy zależności

(58)

Przyspieszenia dla punktu E

B₃

E

G

3 H

ε

₃

pⁿ_B3G

p^t_B3G p_B3

|p^t_B3G| ε₃ =

|B₃G|

|EG|

|B₃G|

|EG|

|pⁿ_EG| = ω₃² |EG| = |pⁿ_B3G|

|p^t_EG| = ε₃|EG| = |p^t_B3G|

|pⁿ_B3G| = ω₃² |B₃G|

|p^t_B3G| = ε₃|B₃G|

(59)

Przyspieszenia dla punktu E

B₃

E

G

3 H

ε

₃

pⁿ_B3G

p^t_B3G p_B3

|p^t_B3G| ε₃ =

|B₃G|

|EG|

|B₃G|

|EG|

|pⁿ_EG| = ω₃² |EG| = |pⁿ_B3G|

|p^t_EG| = ε₃|EG| = |p^t_B3G|

|pⁿ_B3G| = ω₃² |B₃G|

|p^t_B3G| = ε₃|B₃G|

i mamy proporcjonalnie mniejsze przyspieszenia

pⁿ_EG p^t_EG p_E p_E = p_G + pⁿ_EG + p^t_EG

(60)

Plan przyspieszeń

pⁿ_B2A -p^c

pⁿ_B3G

-p^w_B2B3 p^t_B3G

p_B3

3

3 3

3 1 pⁿ_EG

p^t_EG

p_E

(61)

F

6 5

F

4

E

Przyspieszenia punktów elementu 4

p_E

(62)

F

6 5

F

4

E

Przyspieszenia punktów elementu 4

p_E

p_F = p_E + pⁿ_FE + p^t_FE

(63)

F

6 5

F

4

E

Przyspieszenia punktów elementu 4

p_E

|pⁿ_FE| = ω₄² |FE|

4 4

(64)

F

6 5

F

4

E

Przyspieszenia punktów elementu 4

p_E

|pⁿ_FE| = ω₄² |FE|

4 4

punkt F porusza się po nieruchomym elemencie 6 – przyspieszenie jest styczne do toru ruchu

6

(65)

Plan przyspieszeń

pⁿ_B2A -p^c

pⁿ_B3G

-p^w_B2B3

p^t_B3G p_B3 pⁿ_EG

p^t_EG

p_E

4 4

6

(66)

Plan przyspieszeń

pⁿ_B2A -p^c

pⁿ_B3G

-p^w_B2B3

p^t_EG

p_E

4 4

6

pⁿ_FE

4

(67)

Plan przyspieszeń

pⁿ_B2A -p^c

pⁿ_B3G

-p^w_B2B3

p^t_EG

p_E

4 4

6

pⁿ_FE

4

6

(68)

Plan przyspieszeń

pⁿ_B2A -p^c

pⁿ_B3G

-p^w_B2B3

p^t_EG

p_E

4 4

6

pⁿ_FE

4 4

6

(69)

Plan przyspieszeń

pⁿ_B2A -p^c

pⁿ_B3G

-p^w_B2B3

p^t_EG

p_E

4 4

6

pⁿ_FE

4 4

6

p_F

(70)

Plan przyspieszeń

pⁿ_B2A -p^c

pⁿ_B3G

-p^w_B2B3

p^t_EG

p_E

4 4

6

pⁿ_FE

4 4

6

p^t_FE p_F

(71)

F

6 5

F

4

E

Przyspieszenia punktów elementu 4

p_E p_F

p_F

(72)

F

6 5

F

4

E

Przyspieszenia punktów elementu 4

p_E p_F

ε

₄

p_F

p^t_FE

kierunek

przyspieszenia kątowego na podstawie przyspieszenia

(73)

F

6 5

F

4

E

Przyspieszenia w całym mechanizmie

p_E p_F

ε

₄

p_F

p^t

kierunek

przyspieszenia kątowego na podstawie przyspieszenia

B₃

E

G

3 H

ε

₃

pⁿ_B3G

p^t_B3G p_B3

pⁿ_EG p^t_EG p_E

1

A B₂

p_B2

(74)

ω

A

B

E F

G

H

p_B2

p_E pF

p^w_B2B3

Wybrane przyspieszenia w mechanizmie

ε

₃

ε

₄