Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2019/2020

(1)

Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2019/2020

dr inż. Sebastian Korczak

(2)

25.10.2019 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego 2

Wykład 4 Ruch złożony.

Analityczna metoda wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów płaskich.

Mechanizmy krzywkowe.

(3)

Prędkości w ruchu złożonym

(4)

Prędkości w ruchu złożonym

B

₁

B

₂

B

(5)

Prędkości w ruchu złożonym

B

₁

B

₂

⃗v

_{B 2}

=⃗v

_{B 1}

+⃗v

_{B 2 B 1}

Prędkość bezwzględna punktu B

₂

Prędkość unoszenia (prędkość bezwzględna punktu B

₁

)

Prędkość względna

B

(6)

Przyspieszenia w ruchu złożonym

B

₁

B

₂

B

⃗ a

_{B 2}

=⃗ a

^u_{B 1}

+⃗ a

_{B 2 B 1}^w

+⃗ a

^c

Bezwzględne przyspieszenie punktu B2

Przyspieszenie unoszenia (bezwzględne przyspieszenie punktu B1)

Przyspieszenie względne

Przyspieszenie Coriolisa

⃗ a

^c

=2 ⃗ ω

_u

×⃗v

_{B 2 B 1}

(7)

Ruch złożony

⃗ a

_{B 2}

=⃗ a

^u_{B 1}

+⃗ a

_{B 2 B 1}^w

+⃗ a

^c

⃗v

_{B 2}

=⃗v

_{B 1}

+⃗v

_{B 2 B 1}

B

Metody rozkładu ruchu płaskiego

B A

⃗v

_B

=⃗v

_A

+⃗v

_BA

⃗ a

_B

=⃗ a

_A

+⃗ a

_BA

B

₁

B

₂

(8)

Prędkości i przyspieszenia w ruchu złożonym

Przykład Dane: geometria, prędkość

kątowa członu napędowego

ω=const.

A B

E

D

(9)

Prędkości i przyspieszenia w ruchu złożonym

Przykład

ω=const.

B

₂

A

E

D 2 1

3 B

₃

(10)

Prędkości i przyspieszenia w ruchu złożonym

Przykład

ω=const.

B

₂

A

E

D 2 1

3 B

₃

(11)

Prędkości i przyspieszenia w ruchu złożonym

Przykład

ω=const.

B

₂

A

E

D 2 1

3 B

₃

(12)

Prędkości i przyspieszenia w ruchu złożonym

Przykład

ω=const.

B

₂

A

E

D 2 1

3 B

₃

(13)

Prędkości i przyspieszenia w ruchu złożonym

Przykład

ω=const.

B

₂

A

E

D 2 1

3 B

₃

(14)

Przykład do projektów – rozwiązany w dodatku 1 do wykładu 3

Prędkości i przyspieszenia

ω

(15)

Metoda rozszerzania członu

Przykład do projektów – rozwiązany w dodatku 2 do wykładu 3

ω=const.

A B

E

D

(16)

Prędkości i przyspieszenia

Przykład – do ćwiczenia w domu

E A

B C

D

ω=const.

(17)

ω=const.

Prędkości i przyspieszenia

Przykład – do ćwiczenia w domu

(18)

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń

punktów mechanizmów płaskich

(19)

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń

punktów mechanizmów płaskich

1. Wprowadzić kartezjański układ współrzędnych O

_xy

.

(20)

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń

punktów mechanizmów płaskich

1. Wprowadzić kartezjański układ współrzędnych O

_xy

.

2. Człony mechanizmu zastąpić układem wektorów, które mogą w czasie

ruchu mechanizmu zmieniać swoją długość, położenie i orientację.

(21)

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń

punktów mechanizmów płaskich

1. Wprowadzić kartezjański układ współrzędnych O

_xy

.

2. Człony mechanizmu zastąpić układem wektorów, które mogą w czasie ruchu mechanizmu zmieniać swoją długość, położenie i orientację.

3. Wprowadzone wektory muszą tworzyć zamknięte wieloboki, często

występując w obrębie grup strukturalnych mechanizmu.

(22)

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń

punktów mechanizmów płaskich

1. Wprowadzić kartezjański układ współrzędnych O

_xy

.

2. Człony mechanizmu zastąpić układem wektorów, które mogą w czasie ruchu mechanizmu zmieniać swoją długość, położenie i orientację.

3. Wprowadzone wektory muszą tworzyć zamknięte wieloboki, często występując w obrębie grup strukturalnych mechanizmu.

4. Dla wszystkich wektorów wprowadzić jednakowo określone kąty ich

orientacji względem wybranej osi (tzw. kąty skierowane). Przyjmijmy, że

będą to kąty między dodatnią półosią osi x układu współrzędnych

a dodatnim kierunkiem wektora, mierzone z dodatnim znakiem przeciwnie

do ruchu wskazówek zegara.

(23)

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń

punktów mechanizmów płaskich

4. Dla wszystkich wektorów wprowadzić jednakowo określone kąty ich

orientacji względem wybranej osi (tzw. kąty skierowane). Przyjmijmy, że

będą to kąty między dodatnią półosią osi x układu współrzędnych

a dodatnim kierunkiem wektora, mierzone z dodatnim znakiem przeciwnie

do ruchu wskazówek zegara.

(24)

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń

punktów mechanizmów płaskich

1. Wprowadzić kartezjański układ współrzędnych O

_xy

.

2. Człony mechanizmu zastąpić układem wektorów, które mogą w czasie ruchu mechanizmu zmieniać swoją długość, położenie i orientację.

3. Wprowadzone wektory muszą tworzyć zamknięte wieloboki, często występując w obrębie grup strukturalnych mechanizmu.

4. Dla wszystkich wektorów wprowadzić jednakowo określone kąty ich orientacji względem wybranej osi (tzw. kąty skierowane). Przyjmijmy, że będą to kąty między dodatnią półosią osi x układu współrzędnych a dodatnim kierunkiem wektora, mierzone z dodatnim znakiem przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

5. Dla każdego z wieloboku wektorów zapisać wektorowe równanie ich sumy, np.:

∑

i=1 i=n

⃗l

_i

=0

(25)

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń

punktów mechanizmów płaskich

6. Zrzutować równania wektorowe na osie układu współrzędnych, np.:

x: ∑

i=1 i=n

|⃗l

_i

|cos φ

_i

=0 y: ∑

i=1 i=n

|⃗l

_i

|sin φ

_i

=0

(26)

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń

punktów mechanizmów płaskich

6. Zrzutować równania wektorowe na osie układu współrzędnych, np.:

(przyjęcie jednakowej procedury wprowadzania kątów skierowanych pozwala wykonać powyższe rzutowanie bez konieczności rozpatrywania znaków)

x: ∑

i=1 i=n

|⃗l

_i

|cos φ

_i

=0 y: ∑

i=1 i=n

|⃗l

_i

|sin φ

_i

=0

(27)

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń

punktów mechanizmów płaskich

6. Zrzutować równania wektorowe na osie układu współrzędnych, np.:

(przyjęcie jednakowej procedury wprowadzania kątów skierowanych pozwala wykonać powyższe rzutowanie bez konieczności rozpatrywania znaków)

Na tym etapie warto oznaczyć, które długości wektorów i kąty skierowania są znane (są stałe bo wynikają z geometrii mechanizmu), a które się zmieniają i są niewiadomymi funkcjami.

x: ∑

i=1 i=n

|⃗l

_i

|cos φ

_i

=0 y: ∑

i=1 i=n

|⃗l

_i

|sin φ

_i

=0

(28)

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń

punktów mechanizmów płaskich

6. Zrzutować równania wektorowe na osie układu współrzędnych, np.:

(przyjęcie jednakowej procedury wprowadzania kątów skierowanych pozwala wykonać powyższe rzutowanie bez konieczności rozpatrywania znaków)

Na tym etapie warto oznaczyć, które długości wektorów i kąty skierowania są znane (są stałe bo wynikają z geometrii mechanizmu), a które się zmieniają i są niewiadomymi funkcjami.

W prawidłowo postawionym zadaniu na koniec tego etapu liczba niewiadomych powinna być równa liczbie równań rzutów.

x: ∑

i=1 i=n

|⃗l

_i

|cos φ

_i

=0 y: ∑

i=1 i=n

|⃗l

_i

|sin φ

_i

=0

(29)

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń

punktów mechanizmów płaskich

6. Zrzutować równania wektorowe na osie układu współrzędnych, np.:

(przyjęcie jednakowej procedury wprowadzania kątów skierowanych pozwala wykonać powyższe rzutowanie bez konieczności rozpatrywania znaków)

Na tym etapie warto oznaczyć, które długości wektorów i kąty skierowania są znane (są stałe bo wynikają z geometrii mechanizmu), a które się zmieniają i są niewiadomymi funkcjami.

W prawidłowo postawionym zadaniu na koniec tego etapu liczba niewiadomych powinna być równa liczbie równań rzutów.

7. Rozwiązać równania rzutów wyznaczając niewiadome funkcje.

Otrzymujemy na tym etapie funkcyjny opis ruchu mechanizmu.

x: ∑

i=1 i=n

|⃗l

_i

|cos φ

_i

=0 y: ∑

i=1 i=n

|⃗l

_i

|sin φ

_i

=0

(30)

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń

punktów mechanizmów płaskich

8. Zróżniczkować wyznaczone w pkt. 7 funkcje aby uzyskać prędkości zmian długości wektorów i ich prędkości kątowe.

Dokonać kolejnego różniczkowania w celu uzyskania przyspieszeń zmian

długości wektorów i przyspieszeń kątowych.

(31)

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń

punktów mechanizmów płaskich

8. Zróżniczkować wyznaczone w pkt. 7 funkcje aby uzyskać prędkości zmian długości wektorów i ich prędkości kątowe.

Dokonać kolejnego różniczkowania w celu uzyskania przyspieszeń zmian długości wektorów i przyspieszeń kątowych.

9. Jeśli w pkt. 8 nie uzyskano pożądanych informacji należy zróżniczkować

równania rzutów z pkt. 6. i wyznaczyć prędkości. Po kolejnym

różniczkowaniu można wyznaczyć przyspieszenia. Bardzo pomocnicze

może okazać się na tym etapie obrócenie układu współrzędnych o pewien

kąt, co upraszcza niektóre składniki w równaniach rzutów.

(32)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

A

B

C

Dane:

|AB| = r

|BC| = l φ(t)

Szukane:

v

_C

, a

_C

φ(t)

(33)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

A

B

C

Dane:

|AB| = r

|BC| = l φ(t)

Szukane:

v

_C

, a

_C

φ(t)

(34)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

A

B

C

Dane:

|AB| = r

|BC| = l φ(t)

Szukane:

v

_C

, a

_C

φ(t)

(35)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

A

B

C

Dane:

|AB| = r

|BC| = l φ(t)

Szukane:

v

_C

, a

_C

φ(t)

x

y

(36)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

A

B

C

Dane:

|AB| = r

|BC| = l φ(t)

Szukane:

v

_C

, a

_C

φ(t)

x y

⃗a

⃗c

⃗b

(37)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

A

B

C

Dane:

|AB| = r

|BC| = l φ(t)

Szukane:

v

_C

, a

_C

φ(t)

x y

⃗a

⃗c

⃗b

(38)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

A

B

C

Dane:

|AB| = r

|BC| = l φ(t)

Szukane:

v

_C

, a

_C

φ(t)

x y

⃗a

⃗c

⃗b

(39)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

A

B

C

Dane:

|AB| = r

|BC| = l φ(t)

Szukane:

v

_C

, a

_C

φ(t)

x y

⃗a

⃗c

⃗b

(40)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

A

B

C

Dane:

|AB| = r

|BC| = l φ(t)

Szukane:

v

_C

, a

_C

φ(t)

x y

⃗a

⃗c

⃗b

φ

_b

(41)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

A

B

C

Dane:

|AB| = r

|BC| = l φ(t)

Szukane:

v

_C

, a

_C

φ(t)

x y

⃗a

⃗c

⃗b

φ

_b

φ

_c

(42)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

A

B

C

Dane:

|AB| = r

|BC| = l φ(t)

Szukane:

v

_C

, a

_C

φ(t)

x y

⃗a

⃗c

⃗b

φ

_b

φ

_c

|⃗ a|=r

|⃗ b|=l

|⃗c|=c(t)

φ (t) φ

_b

(t )

φ

_c

=0

(43)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

A

B

C

Dane:

|AB| = r

|BC| = l φ(t)

Szukane:

v

_C

, a

_C

φ(t)

x y

⃗a

⃗c

⃗b

φ

_b

φ

_c

⃗a + ⃗b = ⃗c

|⃗ a|=r

|⃗ b|=l

|⃗c|=c(t)

φ (t) φ

_b

(t )

φ

_c

=0

(44)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

A

B

C

Dane:

|AB| = r

|BC| = l φ(t)

Szukane:

v

_C

, a

_C

φ(t)

x y

⃗a

⃗c

⃗b

φ

_b

φ

_c

⃗a + ⃗b = ⃗c

|⃗ a|=r

|⃗ b|=l

|⃗c|=c(t)

φ (t) φ

_b

(t )

φ

_c

=0

x: r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t )=c (t ) cos 0

y: r sin φ (t )+ l sin φ

_b

(t )= c (t )sin 0

(45)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t)= c (t )cos 0

r sin φ (t ) +l sin φ

_b

(t )= c (t ) sin 0 2 niewiadome

(46)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t)= c (t )cos 0

r sin φ (t ) +l sin φ

_b

(t )= c (t ) sin 0 2 niewiadome

(47)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t)= c (t )cos 0

r sin φ (t ) +l sin φ

_b

(t )= c (t ) sin 0 2 niewiadome

(48)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t)= c (t )cos 0

r sin φ (t ) +l sin φ

_b

(t )= c (t ) sin 0 2 niewiadome

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t )= c (t )

r sin φ (t )+ l sin φ

_b

(t )=0

(49)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t)= c (t )cos 0

r sin φ (t ) +l sin φ

_b

(t )= c (t ) sin 0 2 niewiadome

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t )= c (t ) r sin φ (t )+ l sin φ

_b

(t )=0

sin φ

_b

(t )= ⁻ r

l sin φ (t )= ⁻ λ sin φ (t )

(50)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t)= c (t )cos 0

r sin φ (t ) +l sin φ

_b

(t )= c (t ) sin 0 2 niewiadome

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t )= c (t ) r sin φ (t )+ l sin φ

_b

(t )=0

sin φ

_b

(t )= ⁻ r

l sin φ (t )= ⁻ λ sin φ (t ) φ

_b

(t )= ⁻ arcsin (λ sin φ (t ))

(51)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t)= c (t )cos 0

r sin φ (t ) +l sin φ

_b

(t )= c (t ) sin 0 2 niewiadome

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t )= c (t ) r sin φ (t )+ l sin φ

_b

(t )=0

sin φ

_b

(t )= ⁻ r

l sin φ (t )= ⁻ λ sin φ (t ) φ

_b

(t )= ⁻ arcsin (λ sin φ (t )) sin

²

φ

_b

(t)+cos

²

φ

_b

(t )=1

cos φ

_b

(t )=± √ ¹ ⁻ ^sin

²

^φ

b

(t )

(52)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t)= c (t )cos 0

r sin φ (t ) +l sin φ

_b

(t )= c (t ) sin 0 2 niewiadome

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t )= c (t ) r sin φ (t )+ l sin φ

_b

(t )=0

sin φ

_b

(t )= ⁻ r

l sin φ (t )= ⁻ λ sin φ (t ) φ

_b

(t )= ⁻ arcsin (λ sin φ (t )) sin

²

φ

_b

(t)+cos

²

φ

_b

(t )=1

cos φ

_b

(t )=± √ ¹ ⁻ ^sin

²

^φ

b

(t )

cos φ

_b

(t )=± √ ¹ ⁻ ^λ

²

^sin

²

^{φ (t )}

(53)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t)= c (t )cos 0

r sin φ (t ) +l sin φ

_b

(t )= c (t ) sin 0 2 niewiadome

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t )= c (t ) r sin φ (t )+ l sin φ

_b

(t )=0

sin φ

_b

(t )= ⁻ r

l sin φ (t )= ⁻ λ sin φ (t ) φ

_b

(t )= ⁻ arcsin (λ sin φ (t )) sin

²

φ

_b

(t)+cos

²

φ

_b

(t )=1

cos φ

_b

(t )=± √ ¹ ⁻ ^sin

²

^φ

b

(t ) cos φ

_b

(t )=± √ ¹ ⁻ ^λ

²

^sin

²

^{φ (t )}

c (t )=r cos φ (t )±l √ ¹ ⁻ ^λ

²

^sin

²

^{φ (t )}

(54)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t)= c (t )cos 0

r sin φ (t ) +l sin φ

_b

(t )= c (t ) sin 0 2 niewiadome

r cos φ (t )+ l cos φ

_b

(t )= c (t ) r sin φ (t )+ l sin φ

_b

(t )=0

sin φ

_b

(t )= ⁻ r

l sin φ (t )= ⁻ λ sin φ (t ) φ

_b

(t )= ⁻ arcsin (λ sin φ (t )) sin

²

φ

_b

(t)+cos

²

φ

_b

(t )=1

cos φ

_b

(t )=± √ ¹ ⁻ ^sin

²

^φ

b

(t ) cos φ

_b

(t )=± √ ¹ ⁻ ^λ

²

^sin

²

^{φ (t )}

c (t )=r cos φ (t )±l √ ¹ ⁻ ^λ

²

^sin

²

^{φ (t )} ale dla φ (t )=0

musi być c (t )=r +l

c (t )=r cos φ (t )+l √ ¹ ⁻ ^λ

²

^sin

²

^{φ (t)}

(55)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

c (t )=r cos φ (t )+l √ ¹ ⁻ ^λ

²

^sin

²

^{φ (t)}

v

_C

(t )= dc(t )

dt = ⁻ r ˙φ (t )sin φ (t) ⁻ ⁻ 2 l λ

²

˙φ (t)sin φ (t )cos φ (t ) 2 √ ¹ ⁻ ^λ

²

^sin

²

^{φ (t )}

a

_C

(t )= dv

_C

(t )

dt =.. .

ruch wodzika

(56)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

obliczenia w programie wxmaxima

(57)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy l+r

l-r

pr ze m ie s zc z e ni e wodz ik a

0 π 2π 3π 4π

Kąt obrotu korby

(58)

Metoda analityczna – przykład:

mechanizm korbowo-wodzikowy

c(t)

t

Polecany artykuł: http://www.enginebuildermag.com/2016/08/understanding-rod-ratios/