Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2019/2020

Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2019/2020

dr inż. Sebastian Korczak

Wykład 6 cd.

Równanie ruchu maszyny – przykład.

Redukcja mas i sił

Przykład 1 M

V ω₃

ω₃ ω₂

ω₁

ω₂

ω₁=i₁→ ω₂=ω₁i₁ ω₃

ω₂=i₂→ω₃=ω₂i₂=ω₁i₁i₂ v =D

2 ω₃= D

2 ω₁i₁i₂

I_R=I_m+ I₁+ I_s+(I₂+ I₃+ I_s)i₁²+( I₄+ I_d+ I _s)i₁²i₂²+ G D²

i₁²i₂²

Redukcja mas i sił

Przykład 1

ω₁(t ) I_R(t ) M_R (t )

M_R= A⁻ B ω₁⁻ M_B

Rozruch maszyny

d ω₁

dt + B

I_R ω₁= A ⁻ M_B

I_R stałe: A , M _B, B , I_R I_R d ω₁

dt =M _R

Redukcja mas i sił

Przykład 1

ω₁(t ) I_R(t ) M_R (t )

M_R= A⁻ B ω₁⁻ M_B

Rozruch maszyny

d ω₁

dt + B

I_R ω₁= A ⁻ M_B

I_R stałe: A , M _B, B , I_R I_R d ω₁

dt =M _R

Redukcja mas i sił

Przykład 1

ω₁(t ) I_R(t ) M_R (t )

M_R= A⁻ B ω₁⁻ M_B

Rozruch maszyny

d ω₁

dt + B

I_R ω₁= A ⁻ M_B

I_R stałe: A , M _B, B , I_R I_R d ω₁

dt =M _R

Redukcja mas i sił

Przykład 1

I_R(t ) M_R (t )

ω₁(t )

Rozruch maszyny

rozwiązanie ogólne rozwiązanie szczególne

ω

(t)=E e

− B I_R t

ω

(t)=F

warunek początkowy

ω (t =0)=0

d ω₁

dt + B

I_R ω₁= A ⁻ M_B I_R I_R d ω₁

dt =M _R

Redukcja mas i sił

Przykład 1

Rozruch maszyny

ω

(t )= A

M

B ( 1

e

− B I_Rt

)

t

ω₁(t)

Redukcja mas i sił

Przykład 1

Rozruch maszyny

t

ω₁(t)

ω

(t )= A

M

B ( 1

e

− B I_Rt

)

ω

= A

M

B

0,95 ω = A

M

( 1

e

− B I_R t₉₅

)

prędkość ruchu ustalonego:

czas rozruchu

(95% maks. prędk.):

Wykład 7

Nierównomierność biegu maszyny.

Koło zamachowe.

Wstęp do automatyki.

silnik maszyna

φ ( t) I_R

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

silnik maszyna

φ ( t) I_R

˙φ ( t)

t ω_max

ω_min

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

silnik maszyna

φ ( t) I_R

˙φ ( t)

t ω_max

ω_min

δ=ω_max⁻ ω_min

ω_śr ^ωśr=

ω_max+ ω_min 2

Nierównomierność biegu maszyny

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

silnik maszyna

φ ( t) I_R

˙φ ( t)

t ω_max

ω_min

δ=ω_max⁻ ω_min

ω_śr ^ωśr=

ω_max+ ω_min 2

Nierównomierność biegu maszyny

Pompy silniki spalinowe generatory

δ=1/5÷1/ 30 δ=1/50÷1/ 150 δ=1/200÷1/ 300

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

silnik maszyna

φ ( t) I_R

˙φ ( t)

t ω_max

ω_min

E_{k .max}=1

2 I_Rω_max² E_{k .min}=1

2 I_Rω_min²

δ=ω_max⁻ ω_min

ω_śr ^ωśr=

ω_max+ ω_min 2

Nierównomierność biegu maszyny

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

silnik maszyna

φ ( t) I_R

˙φ ( t)

t ω_max

ω_min

E_{k .max}=1

2 I_Rω_max² E_{k .min}=1

2 I_Rω_min² Δ L=E_{k .max}− E_{k . min}=δ I_Rω_śr²

δ=ω_max⁻ ω_min

ω_śr ^ωśr=

ω_max+ ω_min 2

Nierównomierność biegu maszyny

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

˙x (t)

t

v_max v_min

Δ L=δ m_Rv²_śr

δ=v_max⁻ v_min

v_śr ^vśr=

v_max+ v_min 2

Nierównomierność biegu maszyny

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

maszyna m_R

F_R( t) x (t )

ω( t)

φ ( t)

silnik maszyna

φ (t) I_R

M_C M_B

φ ( t)

M_C M_B

π 2 π

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

przyczyna nierównomierności biegu - przykład

ω( t)

silnik maszyna

φ (t) I_R

M_C M_B

φ ( t)

M_C M_B

π 2 π

Δ L

Δ L=∫

φ_min φmax

( M_C⁻ M_B) d φ

Δ L

Nierównomierność biegu maszyny

w ruchu ustalonym

przyczyna nierównomierności biegu - przykład

ω_max ω_min

Δ L=E_{k .max}⁻ E_{k . min}=δ I_Rω_śr²

Koło zamachowe

silnik maszyna

φ (t) I_R

˙φ (t)

t ω_max

ω_min

w ruchu ustalonym

silnik maszyna

φ (t) I_R

I_KZ

Koło zamachowe

silnik maszyna

φ (t) I_R

˙φ (t)

t ω_max

ω_min

w ruchu ustalonym

˙φ ( t)

t ω_max

ω_min

koło zamachowe

silnik maszyna

φ (t) I_R

I_KZ

Δ L=δ₁I_Rω²_{śr I}^założenie

R≈ const .

Koło zamachowe

silnik maszyna

φ (t) I_R

˙φ (t)

t ω_max

ω_min

w ruchu ustalonym

˙φ ( t)

t ω_max

ω_min

Δ L=δ₂( I_R+ I_FW)ω_śr²

silnik maszyna

φ (t) I_R

I_KZ

Δ L=δ₁I_Rω²_{śr I}^założenie

R≈ const .

Koło zamachowe

silnik maszyna

φ (t) I_R

˙φ (t)

t ω_max

ω_min

w ruchu ustalonym

˙φ ( t)

t ω_max

ω_min

Δ L=δ₂( I_R+ I_FW)ω_śr² δ₁I_Rω_śr² =δ₂( I _R+ I _KZ)ω²_śr

silnik maszyna

φ (t) I_R

I_KZ

I_KZ=

(

)

Δ L=δ₁I_Rω²_{śr I}^założenie

R≈ const .

Koło zamachowe

silnik maszyna

φ (t) I_R

˙φ (t)

t ω_max

ω_min

w ruchu ustalonym

˙φ ( t)

t ω_max

ω_min

Δ L=δ₂( I_R+ I_FW)ω_śr² δ₁I_Rω_śr² =δ₂( I _R+ I _KZ)ω²_śr

Koło zamachowe

silnik maszyna

ω( t ) I_R

Przykład 1

ω_max=1000 obr/min ω_min=950 obr/min I_R=10 kgm²

Dane:

Zadanie: dobrać koło zamachowe

aby wahania obrotów spadły do

10obr/min.

Koło zamachowe

silnik maszyna

ω( t ) I_R

Przykład 1

I_R=10 kgm²

Dane:

Zadanie: dobrać koło zamachowe

aby wahania obrotów spadły do

10obr/min.

ω_max=1000 obr/min ω_min=950 obr/min

Koło zamachowe

silnik maszyna

ω( t ) I_R

Przykład 1

I_R=10 kgm²

Dane:

Zadanie: dobrać koło zamachowe

aby wahania obrotów spadły do

10obr/min.

δ₁=ω_max⁻ ω_min

ω_śr = 50

975 =0,05128

δ₂= 10

975=0,01025

Nierównomierność biegu bez koła zamachowego:

Nierównomierność biegu z kołem zamachowym:

ω_max=1000 obr/min ω_min=950 obr/min

Koło zamachowe

Przykład 1

I_KZ=1

2 m r²=1

2 ρ π h r⁴

r

Walec pełen

h

Koło zamachowe

Przykład 1

I_KZ=40 kgm²

I_KZ=1

2 m r²=1

2 ρ π h r⁴

r

Walec pełen

h

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

r [m]

ρ_stal=7800 kg /m³

Koło zamachowe

Przykład 1

I_KZ=1

2 m r²=1

2 ρ π h r⁴

r

Walec pełen

h

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

h [m]

r [m]

Koło zamachowe

Przykład 1 I_FW=1

2m r²=1

2ρ π h r⁴=40 kgm² Walec

ρ_steel=7800 kg/ m³

1 2 3 4

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

r [m]

1

2 3 4

400 600 800 1000 1200 1400 1600

masa [kg]

2 3

4

Koło zamachowe

Przykład 1 Walec z otworem I_KZ=1

2ρ π h r⁴− 1

2 ρ π h r_OTW⁴ =40 kgm²

r

h

r_OTW

Koło zamachowe

Przykład 1 Walec z otworem I_KZ=1

2ρ π h r⁴− 1

2 ρ π h r_OTW⁴ =40 kgm²

Lity walec Walec z 90%

otworem Lity walec Walec z 98%

otworem

h= 10 cm 10 cm 5 cm 5 cm

r= 43 cm 56 cm 50 cm 96 cm

r_OTW= -- 50.4 cm -- 94 cm

m= 442.8 kg 143.5 kg 313 kg 44.5 kg

+30% +92%

Koło zamachowe

Przykład 1 I_FW=1

2 ρ π h r⁴− 1

2 ρ π h r_OTW⁴ =40 kgm²

Koło zamachowe – przykład 2

silnik

ω₁(t ) maszyna

I_R

ω₂( t )

reduktor

Dane:

Zadanie: dobrać koło zamachowe aby wahania prędkości wału maszyny spadły do 5obr/min.

I_R=2 kgm² i=ω₂(t)

ω₁(t )=0,2

ω_{2 max}=105 obr/min ω_{2 min}=95 obr/min

- dla redukcji do wału maszyny

Koło zamachowe – przykład 2

silnik

ω₁(t ) maszyna

I_R

ω₂( t )

reduktor

Dane:

Zadanie: dobrać koło zamachowe aby wahania prędkości wału maszyny spadły do 5obr/min.

I_R=2 kgm² i=ω₂(t)

ω₁(t )=0,2

ω_{2 max}=105 obr/min ω_{2 min}=95 obr/min

- dla redukcji do wału maszyny

Koło zamachowe – przykład 2

silnik

ω₁(t ) maszyna

I_R

ω₂( t )

reduktor

Dane:

Zadanie: dobrać koło zamachowe aby wahania prędkości wału maszyny spadły do 5obr/min.

I_R=2 kgm² i=ω₂(t)

ω₁(t )=0,2

ω_{2 max}=105 obr/min ω_{2 min}=95 obr/min

- dla redukcji do wału maszyny

Koło zamachowe – przykład 2

silnik

ω₁(t ) maszyna

I_R

ω₂( t )

reduktor

Dane:

Zadanie: dobrać koło zamachowe aby wahania prędkości wału maszyny spadły do 5obr/min.

Dla koła zamachowego na wale maszyny:

ω_{2 max}=105 obr/min ω_{2 min}=95 obr/min I_R=2 kgm²

i=ω₂(t)

ω₁(t )=0,2

δ=ω_{2 max}⁻ ω_{2 min}

ω_{2 śr} = 10

100=0,1 δ_KZ=ω_{2 max}− ω_{2 min}

ω_{2 śr} = 5

100=0,05

I_{KZ 1}=

(

− 1

)

Dla koła zamachowego na wale silnika:

δ I_Rω_{2 śr}² =δ_KZ( I_R+ I_{KZ 1})ω_{2 śr}²

I_{KZ 2}=

(

− 1

)

δ I_Ri²ω_{2 śr}² =δ_KZ I_Rω_{2 śr}² +δ_KZ I_{KZ 2}ω_{1 śr}²

- dla redukcji do wału maszyny

uwaga: parametr nierównomierności biegu nie zależy od wyboru wału

Koło zamachowe

Moment bezwładności koła zamachowego zmniejsza:

- montaż na najszybciej obracającym się wale maszyny - montaż koła na dodatkowym wale, którego prędkość

zwiększamy z użyciem przekładni

Podstawy automatyki

Podstawowe pojęcia automatyki

Automatyka – dyscyplina naukowa z dziedziny nauk inżynieryjno-technicznych (wymieniana razem z

elektroniką i elektrotechniką) zajmująca się

zagadnieniami sterowania procesami bez stałego nadzoru człowieka

Sterowanie – wpływanie na obiekt lub proces w celu osiągnięcia jego określonego zachowania

automatyka ≠ automatyzacja

Teoria sterowania – gałąź matematyki i cybernetyki

Historia automatyki

Starożytna Grecja, Egipt, Państwo Arabskie

- układy utrzymywania poziomu płynów

- układy automatycznego otwierania drzwi

Źródło-wikipedia: Abraham Rees (1819) "Clepsydra" in

Cyclopædia: or, a New Universal Dictionary of Arts and

Sciences The image is the JPEG reproduction published 2007-02-01 by the Horological

Klepsydra Ktesibiosa (3w. p.n.e.)

Historia automatyki

XVII-XVIII

Regulacja temperatury pieców i kotłów regulacja ciśnienia

XVIII-XIX

regulacja przepływu w dystrybucji wody i silnikach parowych

regulacja prędkości i siły w młynach wiatrakowych regulator Watta dla silników parowych

XIX-XX

Transformata Laplace'a i Z-transformata Lapunow – analiza stabilności

Routh – analiza stabilności Hurwitz – analiza stabilności

Nyquist – analiza stabilności i częstościowa

Teoria sterowania

Klasyczna teoria sterowania

układy o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO)

układy liniowe

układy niezależne od czasu opis za pomocą transmitancji

analiza w dziedzinie czasu i częstości zainteresowanie odpowiedzią układu

Teoria sterowania

Klasyczna teoria sterowania

Współczesna teoria sterowania

(od około 1950)

układy o jednym wejściu i jednym

wyjściu (SISO) układy o wielu wejściach i wyjściach

układy liniowe często układy nieliniowe

układy niezależne od czasu układy zależne od czasu opis za pomocą transmitancji opis równaniami stanu analiza w dziedzinie czasu i częstości analiza w dziedzinie czasu

Sterowanie w otwartej pętli

OBIEKT

u(t )=x (t ) y (t )

REGULATOR/

STEROWNIK/

KONTROLER

y

pożądane wyjście obiektu

sygnał sterujący

wyjście obiektu wejście

obiektu

Sterowanie w otwartej pętli

silniki krokowe platformy mobilne

(płaskie podłoże, brak poślizgu)

Zastosowania

Sterowanie w zamkniętej pętli

OBIEKT

u(t )= x (t ) y (t )

REGULATOR/

STEROWNIK/

KONTROLER

(prawo sterowania)

w (t )

wartość zadana - pożądane wyjście obiektu

(setpoint - SP)

sygnał sterujący

wyjście obiektu (process variable - PV)

wejście obiektu

+

-

e(t )

błąd sterowania

sprzężenie zwrotne (feedback)

Węzeł informacyjny Węzeł sumacyjny

CELE STEROWANIA

Ograniczenie zakresu wartości błędu Minimalizacja zmian błędu

Dążenie do zerowego błędu

Układy regulacji

Układ regulacji stałowartościowej – posiada stałą wartość zadaną

Układ regulacji nadążnej (śledzącej, tracking) – wartość zadana jest zmienną funkcją o

nieustalonym z góry przebiegu

Sterowanie w zamkniętej pętli – realizacja

x (t ) y

+ -

e(t ) u(t )

OBIEKT

ELEMENT WYKONAWCZY

REGULATOR

UKŁAD POMIAROWY

y (t )

y

OPÓŹNIENIE

W dalszej części wykładu analizować będziemy obiekty liniowe, niezależne od czasu, o jednym wejściu i jednym wyjściu, dla sygnałów ciągłych.

y₁(t ) y₂(t ) (t)

Liczba wejść i wyjść obiektu automatyki

x (t ) Single Input y (t )

Single Output (SISO) system

Single Input Multiple Output (SIMO) system

x (t )

y₁(t ) y₂(t ) y_m(t)

...

Multiple Input Multiple Output (MIMO) system

x₁(t ) x₂(t ) (t )

Multiple Input Single Output (MISO) system

y (t )

...

...

x₁(t ) x₂(t ) (t )

...

Układy liniowe niezależne od czasu (Linear time-invariant LTI)

Układ liniowy

x (t ) - wejście, y (t )=h( x (t )) - wyjście h(α x (t ))=α h( x (t ))=α y (t ) skalowanie

h( x

(t)+ x

(t ))=h( x

(t))+h( x

(t )) superpozycja

Układy liniowe niezależne od czasu (Linear time-invariant LTI)

Układ niezależny od czasu

wyjście układu nie zależy wprost od czasu

jeżeli y (t )=h( x (t )) to y (t ⁻ τ)=h( x (t ⁻ τ))

Układ zależny od czasu

jeżeli y (t )=h( x (t )) to y (t τ)

h( x (t

Sygnały ciągłe i dyskretne

czas czas

Modelowanie matematyczne

Matematyczny opis procesu lub obiektu pomaga opracować układ sterowania bez przeprowadzania doświadczeń.

Model matematyczny może mieć postać:

 równania różniczkowego zwyczajnego

 równania różniczkowego cząstkowego

 równania całkowego

 równania rekurencyjnego

 tabeli danych

 reprezentacji stochastycznej

 sieci logicznej