Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska

Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania

mgr inż. Szymon WOJCIECHOWSKI

Siły w procesie skrawania frezem kulistym zahartowanej stali

ROZPRAWA DOKTORSKA

Promotor: dr hab. inż. Paweł TWARDOWSKI Promotor pomocniczy: dr inż. Damian PRZESTACKI

Poznań, wrzesień 2014

SPIS TREŚCI

STRESZCZENIE ... 2

ABSTRACT ... 3

WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ ... 4

1. WPROWADZENIE ... 10

2. AKTUALNY STAN ZAGADNIENIA ... 12

2.1. Parametry geometryczne warstwy skrawanej w procesie frezowania frezem kulistym ... 12

2.2. Doświadczalne modele siły w procesie skrawania ... 30

2.3. Analityczne modele siły w procesie skrawania ... 32

2.4. Mechanistyczne modele siły w procesie skrawania ... 44

2.4.1. Przegląd modeli ... 44

2.4.2. Metody szacowania współczynników proporcjonalności ... 53

2.4.3. Zestawienie wyników symulacji sił ... 61

2.5. Podsumowanie analizy literatury i wnioski do dalszych badań ... 63

3. CEL I GŁÓWNE TEZY PRACY ... 67

4. OPIS BADAŃ ... 69

4.1. Cel, zakres i warunki badań ... 69

4.2. Metodyka badań ... 70

4.2.1. Frezowanie powierzchni pochylonych względem osi obrotu frezu kulistego ... 70

4.2.2. Pomiar składowych siły całkowitej ... 73

4.2.3. Pomiar statycznego bicia promieniowego ostrza frezu kulistego ... 78

5. KONSTYTUOWANIE MODELU SIŁY ... 80

5.1. Wstęp ... 80

5.2. Parametry geometryczne warstwy skrawanej ... 82

5.3. Współczynniki proporcjonalności ... 89

6. WYNIKI I ANALIZA BADAŃ ... 92

6.1. Badania wstępne ... 92

6.1.1. Analiza wpływu grubości warstwy skrawanej na siły w układzie narzędzia ... 92

6.1.2. Analiza wpływu parametrów skrawania na składowe siły całkowitej ... 94

6.1.3. Wyznaczanie współczynników proporcjonalności... 96

6.2. Badania zasadnicze ... 100

6.2.1. Weryfikacja modelu w dziedzinie czasu ... 100

6.2.2. Analiza błędu modelu ... 105

7. WNIOSKI KOŃCOWE ... 107

7.1. Wnioski poznawcze ... 107

7.2. Wnioski utylitarne ... 107

7.3. Wnioski do dalszych badań ... 108

8. LITERATURA ... 109

9. DODATEK ... 116

STRESZCZENIE

Głównym celem rozprawy było opracowanie modelu składowych siły całkowitej w procesie frezowania frezem kulistym zahartowanej stali w zakresie zmiennych parametrów skrawania, a następnie potwierdzenie poprawności zaproponowanego modelu poprzez weryfikację doświadczalną.

W pierwszej części pracy dokonano przeglądu literaturowego modeli składowych siły całkowitej w procesie skrawania, kładąc głównie nacisk na proces frezowania frezami kulistymi. Poddano analizie wybrane czynniki – ważne z punktu widzenia procesu frezowania frezami kulistymi zahartowanych stali, wpływające na generowane siły.

W ramach badań wstępnych określono wpływ różnych parametrów frezowania (prędkości skrawania v

, kąta pochylenia obrabianej powierzchni α oraz posuwu na ostrze f

) na składowe siły całkowitej. Na podstawie przeprowadzonych badań wstępnych zostały wyznaczone współczynniki proporcjonalności (K

, K

), niezbędne do sformułowania modelu mechanistycznego sił. Dokonano również pomiaru statycznego bicia promieniowego ostrzy.

Uzyskane wyniki badań i wyznaczone doświadczalnie współczynniki (K

, K

) stały się punktem wyjścia do badań zasadniczych, których celem było sformułowanie modelu składowych siły całkowitej.

W badaniach wykazano, że zastosowany model umożliwia oszacowanie wartości składowych siły całkowitej w szerokim zakresie parametrów frezowania (v

, f

, α), zapewniając wartość błędu względnego nieprzekraczającą 16%. Uwzględnienie w opracowanym modelu siły zjawiska bicia promieniowego ostrzy umożliwia obniżenie wartości błędu względnego oszacowania sił o ponad 7% w stosunku do wartości uzyskanych dla modelu nieujmującego powyższego czynnika.

Zaobserwowano również ilościowy oraz jakościowy wpływ kąta pochylenia obrabianej powierzchni α na składowe siły całkowitej (F

, F

, F

) w procesie skrawania frezem kulistym.

Potwierdza to zasadność wzięcia pod uwagę kąta α w opracowanym modelu.

Rozprawę zakończono prezentując wnioski poznawcze, wnioski utylitarne, a także

wnioski do dalszych badań z analizowanego zakresu.

CUTTING FORCES DURING BALL-END MILLING OF HARDENED STEEL

ABSTRACT

The main objective of the dissertation was the development of cutting force model for the ball-end milling of hardened steel process, in the range of variable milling parameters.

Subsequently, the model was validated during its experimental verification.

In the first part of the work, the literature survey of cutting force models – applied mainly during ball-end milling was carried out. The selected factors influencing cutting forces were analyzed.

As part of preliminary studies, the influence of cutting parameters: cutting speed – v

, feed per tooth – f

, surface inclination angle – α on the cutting forces was investigated. On the basis of the research results, the specific cutting force coefficients (K

, K

), which are essential for cutting force model’s formulation were determined. Furthermore, the static radial run-out was also measured.

The obtained results of preliminary studies were the starting point to the primary studies, which were focused on the cutting force model’s formulation.

The research revealed, that formulated model enables cutting force estimation in the wide range of cutting parameters (v

, f

, α), assuring relative error’s values below 16%.

Furthermore, the consideration of cutter’s radial run-out phenomenon in the developed model enables the reduction of model’s relative error by the 7% in relation to the model excluding radial run-out phenomenon.

The quantitative and qualitative influence of surface inclination angle on cutting forces (F

, F

, F

) generated during ball-end milling was also observed. This observation confirms the validity of α angle’s consideration in the developed model.

In the last part of the dissertation, the cognitive and utilitarian conclusions, as well as

conclusions related to the further research were formulated.

WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ

















n k j

i , , , – wektory jednostkowe;

  [m/s] – prędkość odkształcenia plastycznego;

µ

– średni współczynnik tarcia wyznaczany na

podstawie prawa tarcia według Coulomba;

A [mm

] – pole przekroju poprzecznego warstwy skrawanej;

A

[mm

] – pole przekroju czynnego warstwy skrawanej;

a

, b

, c

– współczynniki wyznaczane doświadczalnie,

charakteryzujące wartość oporu właściwego skrawania;

A

(φ) [mm

] – chwilowe pole przekroju czynnego warstwy skrawanej przypadające na ostrze;

A

[mm

] – nominalne pole przekroju poprzecznego warstwy skrawanej;

a

[mm] – promieniowa głębokość skrwania;

a

, b

, c

, d

– współczynniki wyznaczane doświadczalnie, charakteryzujące parametry: K

(z), K

(z);

a

, a

, a

, a

– współczynniki wyznaczane doświadczalnie, charakteryzujące opór właściwy skrawania;

a

[mm] – osiowa głębokość skrwania;

a

(Ω) [mm] – chwilowa głębokość skrawania, zależna od kąta obrotu narzędzia;

A

[mm

] – pole przekroju resztowego;

A

[mm

] – pole płaszczyzny poślizgu;

a

, a

, a

– współczynniki wyznaczane doświadczalne,

ujmujące intensywność wpływu grubości warstwy skrawanej na siły;

A

[mm

] – pole przekroju poprzecznego warstwy skrawanej przypadające na ostrze;

A

[mm

] – maksymalne pole przekroju poprzecznego warstwy

skrawanej na ostrze;

B [mm] – szerokość frezowania;

b [mm] – szerokość warstwy skrawanej;

b

[mm] – nominalna szerokość warstwy skrawanej;

b

, b

, b

– współczynniki wyznaczane doświadczalnie, charakteryzujące opór właściwy skrawania;

b

[mm] – maksymalna szerokość warstwy skrawanej;

b

[mm] – odległość wierszowania;

c

, c

, c

, c

c

, c

, c

, c

– współczynniki wyznaczane doświadczalnie, charakteryzujące parametry: k

, k

;

D [mm] – średnica narzędzia;

D

[mm] – długość drogi ścinania;

d

[mm] – odstępy pomiędzy segmentami wióra;

D

(φ) [mm] – efektywna średnica frezu zależna od chwilowego kąta styku;

D

[mm] – efektywna średnica frezu;

e

[mm] – bicie promieniowe narzędzia;

e

[mm] – bicie promieniowe j-tego ostrza narzędzia;

e

, e

,

e

, e

[N] – błąd średniokwadratowy dla kierunków: X, Y, Z,

błąd średniokwadratowy wypadkowy (dla trzech kierunków jednocześnie);

f [mm/obr] – posuw na obrót;

F [N] – siła całkowita (wypadkowa siła skrawania);

F’

[N] – wypadkowa siła na powierzchni przyłożenia;

F

[N] – siła skrawania;

F

[N] – siła skrawania normalna;

F

[N] – siła posuwowa;

F

[N] – siła posuwowa normalna;

F

[N] – siła nacisku normalna na powierzchni natarcia;

f

[Hz] – częstotliwość prędkości obrotowej wrzeciona;

f

[Hz] – częstotliwość odcięcia filtru dolnoprzepustowego;

F

[N] – siła odporowa;

f

[Hz] – częstotliwość próbkowania sygnału;

f

[Hz] – częstotliwość własna przedmiotu obrabianego;

f

_

, f

_

[Hz] – częstotliwości własne siłomierza;

F

[N] – siła ścinania (poślizgu);

F

[N] – siła ścinania normalna;

F

, F

, F

[N] – siły w układzie narzędzia: styczna, promieniowa, poprzeczna;

F

[N] – siła wywierana przez ostrze narzędzia skrawającego na formowany wiór;

F

_

, F

_

,

F

_

[N] – siły w układzie narzędzia stosowane

podczas kalibracji współczynników proporcjonalności odpowiadające maksymalnym i minimalnym siłom na ostrze w układzie obrabiarki;

F

_

, F

_

,

F

_

[N] – siły krawędziowe (bruzdujące);

F

[N] – siła tarcia normalna na powierzchni natarcia;

f

[Hz] – częstotliwość własna układu oprawka – narzędzie;

f

[Hz] – częstotliwość własna wrzeciona;

F

, F

, F

[N] – siły w układzie obrabiarki oddziaływujące w kierunkach: X, Y, Z;

F

_

, F

_

,

F

_

[N] – maksymalne i minimalne siły przypadające na ostrze w układzie obrabiarki, wyznaczone na podstawie sygnałów zmierzonych doświadczalnie;

F

_

, F

_

,

F

_

, F

[N] – wartości średniokwadratowe składowych w kierunkach: X, Y, Z oraz siły wypadkowej, wyznaczone na podstawie sygnałów zmierzonych doświadczalnie;

F

_

, F

_

,

F

_

[N] – maksymalne, minimalne siły doświadczalne,

w kierunkach: X, Y, Z, przypadające na j-te

skrawające ostrze, dla i-tego przejścia;

F

_

,

F

_

, F

_

[N] – maksymalne, minimalne siły teoretyczne, w kierunkach: X, Y, Z, przypadające na j-te skrawające ostrze, dla i-tego przejścia;

F

_

, F

_

[N] – maksymalna siła przypadająca na j-te odwzorowanie ostrza w kierunku X i Z;

F

[N] – siła bruzdująca wzdłużna;

F

[N] – minimalna siła przypadająca na j-te odwzorowanie ostrza

w kierunku Y;

F

[N] – siła bruzdująca poprzeczna;

f

[mm/ostrze] – posuw na ostrze;

f

[mm/ostrze] – posuw na ostrze z uwzględnieniem bicia promieniowego;

f

[Hz] – częstotliwość prędkości obrotowej wrzeciona zwielokrotniona liczbą ostrzy;

F

[N] – siła składowa na powierzchni przyłożenia;

F

[N] – siła składowa oddziaływująca prostopadle do powierzchni przyłożenia;

F

[N] – siła na powierzchni natarcia;

F

[N] – siła na powierzchni natarcia normalna;

h [mm] – grubość warstwy skrawanej;

h

[mm] – nominalna grubość warstwy skrawanej równa 1 milimetrowi;

h

[mm] – nominalna grubość warstwy skrawanej;

h

[mm] – minimalna grubość warstwy skrawanej;

HSM – obróbka z dużymi prędkościami skrawania;

h

[mm] – średnia grubość warstwy skrawanej;

h

(φ) [mm] – chwilowa grubość warstwy skrawanej, przypadająca na 1 ostrze;

h

[mm] – grubość warstwy skrawanej odpowiadającą kątom

φ

, φ

;

h

(φ, φ

) [mm] – chwilowa grubość warstwy skrawanej

z uwzględnieniem bicia promieniowego ostrzy dla frezu kulistego;

J – liczba chwilowych amplitud siły w czasie pomiaru;

j – numer ostrza frezu;

k – numer pełnego obrotu narzędzia;

k

– współczynnik rozszerzenia wióra;

K

(z), K

(z) [N/mm

] – współczynniki proporcjonalności wyznaczane doświadczalnie i zależne od współrzędnej w osi Z, zdefiniowanej wzdłuż osi obrotu frezu;

k

[N/mm

] – opór właściwy skrawania (siła skrawania na jednostkę powierzchni warstwy skrawanej);

k

[N/mm

] – siła właściwa skrawania wyznaczana

doświadczalnie, odpowiadająca sile skrawania potrzebnej do uformowania wióra o szerokości 1 milimetra i grubości 1 milimetra;

k

[N/mm

] – opór właściwy (siła właściwa) skrawania normalny;

k

– współczynnik zgrubienia wióra;

k

– współczynnik skrócenia wióra;

k

[N/mm

] – siła właściwa nacisku normalna przypadająca na jednostkę powierzchni warstwy skrawanej;

K

, K

, K

[N/mm

] – współczynniki proporcjonalności związane ze ścinaniem: styczny, promieniowy, poprzeczny;

K

, K

, K

[N/mm] – współczynniki proporcjonalności krawędziowe:

styczny, promieniowy, poprzeczny;

k

– współczynnik proporcjonalności siły tarcia;

l [mm] – czynna długość krawędzi skrawającej ostrza;

l

[mm] – początkowa długość krawędzi skrawającej ostrza;

l

[mm] – końcowa długość krawędzi skrawającej ostrza;

L

[mm] – długości próbki;

l

[mm] – maksymalna długość czynnej krawędzi skarawającej;

l

[mm] – wysięg narzędzia;

m

, m

, m

– wykładniki potęgowe wyznaczane doświadczalnie;

m

– stała opisująca wrażliwość prędkości

odkształcenia plastycznego;

n [obr/min] – prędkość obrotowa wrzeciona;

n

– liczba przejść, odpowiadająca różnym badanym kombinacjom parametrów wejściowych (v

, f

, α);

n

– współczynnik umocnienia;

OUPN – układ obrabiarka-uchwyt-przedmiot-narzędzie;

P [mm] – grubość segmentu wióra;

P

– płaszczyzna osiowa;

P

– płaszczyzna głównej krawędzi skrawającej;

P

– płaszczyzna ścinania;

R [mm] – promień frezu;

r – wektor zawarty pomiędzy punktem 0, znajdującym

się na początku układu współrzędnych, a dowolnym punktem P na krzywoliniowej krawędzi skrawającej;

r(z) [mm] – promień wodzący punktu P na krawędzi skrawającej;

r(ψ

) [mm] – promień wodzący frezu odpowiadający wartości kąta opasania;

R

[mm] – promień krzywizny narzędzia;

R

[mm] – promieniowa odległość j-tego ostrza frezu od osi obrotu wrzeciona 0’;

r

[µm] – promień zaokrąglenia głównej krawędzi skrawającej;

r

[mm] – promień naroża;

SGP – struktura geometryczna powierzchni;

t [s] – czas;

T[φ, λ

(z)] – macierz transformacji obracająca powierzchnię natarcia o wartość chwilowego kąta styku φ i lokalnego kąta pochylenia głównej krawędzi skrawającej λ

(z);

T

[K] – temperatura absolutna;

T

[s] – okres obrotu narzędzia;

T

[K] – temperatura odniesienia;

T

[K] – temperatura topnienia;

T [K] – średnia temperatura styku ostrza narzędzia

skrawającego z formowanym wiórem;

VB

[mm] – zużycie na powierzchni przyłożenia ostrza;

v

[m/min] – prędkość skrawania;

v

[m/min] – maksymalna prędkość skrawania;

v

[mm/min] – prędkość ruchu posuwowego;

V

[mm

] – objętość warstwy skrawanej;

V

[mm

] – objętość wióra;

x

, y

, z

[mm] – odległości w osiach: X, Y, Z od punktu 0 narzędzia;

y

[mm] – przemieszczenie ostrza w kierunku prostopadłym do obrobionej powierzchni;

z – liczba ostrzy narzędzia;

z

– liczba ostrzy czynnych narzędzia;

α [rad] – kąt pochylenia obrabianej powierzchni

zdefiniowany jako kąt zawarty pomiędzy wektorem prędkości ruchu posuwowego v

, a płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu frezu;

α

[rad] – kąt pochylenia obrabianej powierzchni

w płaszczyźnie prostopadłej względem wektora kierunku ruchu posuwowego v

;

α

[rad] – lokalny kąt pochylenia obrabianej powierzchni;

α

[rad] – efektywny kąt przyłożenia w płaszczyźnie ortogonalnej;

γ

[rad] – efektywny kąt natarcia;

γ

[rad] – kąt natarcia normalny;

γ

[rad] – kąt natarcia główny;

δ [rad] – kąt bicia promieniowego narzędzia;

Δe [mm] – składnik ujmujący wpływ bicia promieniowego na wartość posuwu na ostrze;

Δe

[mm] – przyrost bicia promieniowego dla j-tego ostrza narzędzia;

δ

, δ

,

δ

, δ

[%] – błąd średniokwadratowy względny dla kierunków:

X, Y, Z, błąd średniokwadratowy wypadkowy (dla trzech kierunków jednocześnie);

Δφ

[rad] – przyrost kąta położenia krawędzi skrawającej pod wpływem bicia promieniowego narzędzia;

ε – zastępcze odkształcenie plastyczne;

η

[rad] – kąt spływu wióra;

η

[rad] – kąt kierunku poślizgu (ścinania);

Θ [rad] – średni kąt tarcia wióra o powierzchnię natarcia;

Θ

[rad] – średni kąt tarcia na powierzchni natarcia;

Θ

[rad] – średni kąt tarcia w płaszczyźnie normalnej;

κ’

[rad] – kąt przystawienia pomocniczy;

κ

[rad] – kąt przystawienia;

λ

[rad] – kąt pochylenia głównej krawędzi skrawającej;

λ

(z) [rad] – lokalny kąt pochylenia głównej krawędzi skrawającej;

μ – średni współczynnik tarcia;

μ

– średni współczynnik tarcia wióra o powierzchnię

natarcia;

τ

[N/mm

] – naprężenie poślizgu;

υ

– współczynnik odkształcenia termicznego;

φ [rad] – chwilowy kąt styku (pracy) narzędzia;

Φ [rad] – kąt ścinania;

φ

[rad] – początkowy kąt styku;

φ

[rad] – końcowy kąt styku;

Φ

[rad] – efektywny kąt ścinania;

φ

[rad] – kąt styku przypadający na j-te ostrze;

φ

[rad] – kąt syku zastosowany podczas szacowania współczynników proporcjonalności;

φ

[rad] – maksymalny kąt styku na ostrze;

φ

[rad] – minimalny kąt styku na ostrze;

φ

[rad] – kąt położenia elementarnego fragmentu krawędzi skrawającej względem osi obrotu narzędzia;

ϕ

[rad] – kąt położenia elementarnego fragmentu krawędzi skrawającej względem płaszczyzny XY narzędzia;

φ

[rad] – maksymalny kąt położenia elementarnego

fragmentu krawędzi skrawającej względem osi obrotu narzędzia;

φ

[rad] – początkowy kąt położenia elementarnego fragmentu krawędzi skrawającej względem osi obrotu narzędzia;

φ

[rad] – początkowy kąt położenia krawędzi skrawającej uwzględniający wpływ bicia promieniowego ostrza;

φ

[rad] – końcowy kąt położenia elementarnego fragmentu krawędzi skrawającej względem osi obrotu narzędzia;

φ

[rad] – kąt położenia krawędzi skrawającej względem osi obrotu narzędzia przypadający na j-te ostrze;

φ

[rad] – kąt położenia krawędzi skrawającej względem osi

obrotu narzędzia zastosowany podczas szacowania współczynników proporcjonalności;

φ

[rad] – maksymalny kąt położenia krawędzi skrawającej

względem osi obrotu narzędzia;

φ

[rad] – minimalny kąt położenia krawędzi skrawającej

względem osi obrotu narzędzia;

ψ [rad] – kąt pracy frezu;

ψ

[rad] – kąt opasania;

ψ

[rad] – maksymalny kąt opasania;

ψ

[rad] – poczatkowy kąt opasania;

ψ

[rad] – końcowy kąt opasania;

ψ

(Ω) [rad] – kąt pracy frezu w płaszczyźnie podstawowej, zależny od kąta obrotu narzędzia Ω;

ψ

[rad] – kąt podziałki międzyostrzowej;

Ω [rad] – kąt obrotu narzędzia;

Ω

, Ω

, Ω

, Ω

[rad] – graniczne kąty obrotu narzędzia.

1. WPROWADZENIE

Siły generowane w procesie skrawania należą do istotnych zjawisk wpływających na efekty fizyczne i technologiczne procesu. Ważne jest zatem ich badanie i dokładne oszacowanie w aspekcie określenia skrawalności obrabianego materiału, analizy zużycia ostrza narzędzia oraz drgań w układzie obrabiarka-uchwyt-przedmiot-narzędzie, a także kształtowania struktury geometrycznej obrobionej powierzchni. Bardzo istotnego znaczenia nabiera zwłaszcza zmienność siły w czasie, która może być spowodowana wieloma różnymi czynnikami, m. in.:

 kinematyką procesu (w przypadku frezowania związaną ze zmiennością pola przekroju warstwy skrawanej),

 oscylacjami parametrów skrawania (głębokości skrawania a

, a

, posuwu f),

 niejednorodnością właściwości fizyko-chemicznych obrabianego materiału (oscylacje twardości, różnorodność struktury),

 błędami geometrycznymi elementów układu OUPN (obrabiarka-uchwyt-przedmiot- narzędzie) i niewyrównoważeniem masy, wpływającymi na bicie ostrzy.

Zmienna część siły w czasie generuje drgania układu OUPN i w ten sposób oddziałuje również na jego stabilność [54-56, 96, 119, 133]. Konsekwencją drgań są przemieszczenia części roboczej frezu, które wpływają na efekty fizyczne i technologiczne procesu skrawania.

Według wielu badań drgania występujące w procesie frezowania w istotnym stopniu wpływają na dokładność wymiarowo-kształtową obrabianego przedmiotu [49, 70, 86, 91, 93 114, 127], a także na chropowatość obrobionej powierzchni [3, 110, 126].

Istotność problematyki związanej z pomiarem i szacowaniem sił w procesie skrawania przyczyniła się do opracowania na przełomie kilkudziesięciu ostatnich lat wielu modeli składowych siły całkowitej. Zgodnie z pracą Ehmann’a i in. [29] oraz Jayaram’a i in. [53]

modele te można sklasyfikować w trzech podstawowych grupach:

 doświadczalnych,

 analitycznych,

 mechanistycznych (analityczno-doświadczalnych).

Wyżej wymienione modele posiadają wiele cech wspólnych, dlatego powyższy podział należy traktować umownie.

Obecnie przedmiotem wielu badań jest proces frezowania frezami kulistymi krzywoliniowych powierzchni [18, 19, 20, 35, 43, 47, 57, 101, 128], który często realizowany jest w zakresie tzw. dużych prędkości skrawania (HSM). Technologię tę stosuje się aktualnie w wielu dziedzinach przemysłu m.in. w produkcji form, matryc i tłoczników z zahartowanych stali [7, 11, 30, 81, 126], w przemyśle lotniczym do produkcji skrzydeł ze stopów aluminium i kompozytów [6, 107], a także części silników i łopatek turbin ze stopów tytanu [95].

W procesie skrawania frezem kulistym krzywoliniowych powierzchni występuje zmienność

kąta pochylenia obrabianej powierzchni α wpływająca na zmianę czynnej długości krawędzi

skrawającej narzędzia. W następstwie wpływa to na chwilowe wartości składowych siły

całkowitej. Z tego powodu, w celu dokładnego oszacowania wartości sił w procesie

skrawania frezem kulistym krzywoliniowych powierzchni należy uwzględnić oprócz

parametrów technologicznych (głębokości a

, a

, posuwu f, prędkości skrawania v

) również wpływ kąta pochylenia obrabianej powierzchni α. Z przeglądu literaturowego wynika, że spośród prac podejmujących tematykę szacowania sił w procesie skrawania frezem kulistym, bardzo niewiele [11, 97] dotyczy zahartowanych stali oraz frezowania w warunkach tzw.

obróbki z dużymi prędkościami skrawania (HSM). W związku z tym problem ten wymaga dalszych, intensywnych badań.

W analizie stanu zagadnienia rozprawy dokonano przeglądu literaturowego modeli składowych siły całkowitej w procesie skrawania, skupiając się głównie na procesie frezowania frezami kulistymi. Rozpatrzono wybrane czynniki – ważne z punktu widzenia procesu frezowania frezami kulistymi zahartowanych stali, wpływające na generowane siły.

Dokonano również przeglądu literatury pod kątem analizy parametrów geometrycznych warstwy skrawanej oraz geometrii frezu kulistego. Dla przedstawienia istoty fizycznej omawianego problemu, niektóre zacytowane przykłady dotyczą również innych odmian kinematycznych frezowania oraz wiercenia i toczenia.

W ramach badań własnych sformułowano model składowych siły całkowitej w procesie

frezowania frezem kulistym zahartowanej stali, który następnie zweryfikowano

doświadczalnie w zakresie zmiennych parametrów frezowania.

2. AKTUALNY STAN ZAGADNIENIA

2.1. Parametry geometryczne warstwy skrawanej w procesie frezowania frezem kulistym

Parametry geometryczne warstwy skrawanej, czyli jej szerokość, grubość oraz pole przekroju wywierają istotny wpływ na siły generowane w procesie skrawania, a w ten sposób również na efekty fizyczne i technologiczne procesu. Z punktu widzenia dynamiki skrawania istotnego znaczenia nabiera zwłaszcza zmienność parametrów geometrycznych warstwy skrawanej w czasie, która może być wywołana:

 kinematyką procesu skrawania (zmienność pola przekroju warstwy skrawanej w funkcji kąta obrotu narzędzia),

 błędami geometrycznymi elementów układu OUPN (np. bicie promieniowe i osiowe ostrzy),

 przemieszczeniami ostrza względem przedmiotu obrabianego w czasie (drganiami mechanicznymi).

Geometrię warstwy skrawanej rozpatruje się najczęściej w płaszczyźnie prostopadłej do wektora prędkości skrawania v

i przechodzącej przez rozpatrywany punkt D leżący na krawędzi skrawającej [109]. Według autora [46] w ruchu głównym obrotowym geometrię warstwy skrawanej rozpatruje się w płaszczyźnie osiowej P

.

Zgodnie z PN [116] nominalne pole przekroju poprzecznego warstwy skrawanej będące funkcją następujących parametrów kinematyczno-geometrycznych procesu A

= f(a

, a

, f, r

, κ

, κ’

) wyraża się równaniem:

D D

D

h b

A   , (2.1)

gdzie: h

– nominalna grubość warstwy skrawanej, b

– nominalna szerokość warstwy skrawanej.

Ze względu na konieczność uwzględnienia wielu parametrów kinematyczno-geometrycznych określanie wielkości A

jest kłopotliwe i w praktyce potrzebne jedynie przy analizie zjawisk dotyczących procesu skrawania narzędziem o względnie dużym promieniu naroża (lub promieniu frezu) oraz przy małych głębokościach skrawania. W związku z tym często przyjmuje się uproszczenie polegające na założeniu, że r

, R = 0 i κ’

= 0. Wówczas określić można pole przekroju poprzecznego warstwy skrawanej (dla procesu toczenia) według równania:

f a b h

A   

 , (2.2)

gdzie: h – grubość warstwy skrawanej, b – szerokość warstwy skrawanej.

Na rysunku 2.1 przedstawiono geometrię warstwy skrawanej w procesie

nieortogonalnego i nieswobodnego toczenia. Z porównania rysunku 2.1a i 2.1b wynika, że

wartość nominalnego pola przekroju poprzecznego warstwy skrawanej A

różni się od

wartości pola przekroju poprzecznego warstwy skrawanej A pewnym przekrojem resztkowym

A

, którego geometria zależy od geometrii naroża ostrza oraz posuwu. Można to wyrazić przy pomocy równania:

A

 A  A

. (2.3)

Według badań [62] przekrój poprzeczny warstwy skrawanej A wyrażony równaniem (2.2) w zakresie obróbki wykończeniowej różni się od 0,2 do 5% w porównaniu z dokładną zależnością wyrażoną (2.1).

a) b) c)

Rys. 2.1. Geometria warstwy skrawanej w procesie toczenia nieortogonalnego, nieswobodnego: a) oznaczenie nominalnego pola przekroju poprzecznego warstwy skrawanej A_D [116], b) oznaczenie pola przekroju poprzecznego warstwy skrawanej A [109], c) oznaczenie nominalnego pola przekroju poprzecznego warstwy

skrawanej A_D przy odwzorowaniu łukowym [63]

Przy założeniach, że wartości posuwu f oraz głębokości skrawania a

są równe dla przypadków przedstawionych na rysunku 2.1a i 2.1c, wartość pola przekroju poprzecznego warstwy skrawanej A w obu przypadkach będzie również taka sama. Oznacza to, iż wartość pola A jest niezależna od kształtu krawędzi skrawającej ostrza.

Równania (2.1, 2.2) nie uwzględniają przy szacowaniu pola przekroju warstwy skrawanej kąta natarcia γ

i kąta pochylenia głównej krawędzi skrawającej λ

, ponieważ rozpatrują parametry geometryczne warstwy skrawanej tylko w płaszczyźnie osiowej P

. W przypadku narzędzi o dużych wartościach kątów γ

i λ

np. niektórych frezów walcowych i kulistych może to wywołać znaczne błędy przy określaniu warunków styku czynnej długości krawędzi skrawającej i powierzchni natarcia ostrza z warstwą skrawaną. Pominięcie tych czynników może ujemnie wpłynąć na szacowanie wartości składowych siły całkowitej. Autor [27] wprowadził więc pojęcie pola przekroju czynnego warstwy skrawanej A

uwzględniającego również wpływ kątów γ

i λ

. W najprostszym przypadku toczenia swobodnego (prostoliniową krawędzią skrawającą ostrza) nieortogonalnego z kątem pochylenia głównej krawędzi skrawającej ostrza λ

≠ 0, kątem natarcia γ

≠ 0 i kątem przystawienia κ

= 90° pole przekroju czynnego warstwy skrawanej A

wyraża się równaniem:

s o

c

h A b



 cos cos 

  . (2.4)

Z równania (2.4) wynika, że jeśli kąty λ

= 0 i γ

= 0, wówczas pole przekroju czynnego

warstwy skrawanej będzie równe polu przekroju poprzecznego warstwy skrawanej A

W przypadku narzędzi obrotowych o krzywoliniowym, przestrzennym zarysie krawędzi skrawającej (np. niektóre frezy walcowe i kuliste z kątem λ

≠ 0) pole przekroju czynnego warstwy skrawanej nie może być rozpatrywane w płaszczyźnie osiowej P

, lecz w płaszczyźnie, na którą zrzutowano powierzchnię skrawania w rozwinięciu, a na niej ślad czynnej krawędzi skrawającej. Ogólna postać równania chwilowego pola przekroju czynnego warstwy skrawanej przypadającego na 1 ostrze A

(φ) w procesie skrawania narzędziem obrotowym o krzywoliniowym, przestrzennym zarysie krawędzi skrawającej wyrażona jest wzorem [27]:

l h A

l

l z o

cz

. ( ) d

cos ) 1 (

2

1



 

  , (2.5)

gdzie: h

(φ) – chwilowa grubość warstwy skrawanej, przypadająca na 1 ostrze zależna od chwilowego kąta styku φ,

dl – elementarny przyrost czynnej długości krawędzi skrawającej odpowiadający chwilowemu położeniu ostrza na powierzchni skrawania.

Dla frezu kulistego grubość warstwy skrawanej zależy od chwilowego kąta styku, posuwu na ostrze oraz położenia wybranego punktu na krawędzi skrawającej względem osi obrotu narzędzia (rys. 2.2): h

(φ) = f(f

, φ, φ

), natomiast elementarny przyrost czynnej długości krawędzi skrawającej dl jest funkcją następujących parametrów: dl = f(D, λ

, φ, a

).

Z przeglądu literaturowego wynika, że istnieje wiele metod określania wartości parametrów geometrycznych warstwy skrawanej dla frezu kulistego, w związku z tym zostaną one omówione w niniejszej części pracy.

a) b)

Rys. 2.2. Widok frezu o krzywoliniowym, przestrzennym zarysie krawędzi skrawającej: a) od powierzchni czołowej, b) oznaczenie parametrów geometrycznych warstwy skrawanej [34]

Autorzy prac [39, 40] wyznaczyli grubość warstwy skrawanej na ostrze h

i jej elementarną szerokość db poprzez podział sferycznej części krawędzi skrawającej na nieskończenie małe odcinki, których położenie określone jest biegunowo przy pomocy dwóch kątów: chwilowego kąta styku φ oraz kąta położenia elementarnego fragmentu krawędzi skrawającej ϕ

względem płaszczyzny XY narzędzia. Elementarny fragment krawędzi skrawającej wraz z oznaczeniem kątów φ i ϕ

przedstawiono na rysunku 2.3. W celu obliczenia parametrów geometrycznych warstwy skrawanej należy wyznaczyć wartości kątów φ i ϕ

(zgodnie z rys. 2.3: ϕ

= 90° – φ

). Wartość kąta położenia elementarnego fragmentu krawędzi skrawającej względem osi obrotu narzędzia ϕ

, zależy od zadanej głębokości skrawania a

i promienia frezu R. Chwilowy kąt styku j-tego ostrza frezu autorzy [39, 40] zdefiniowali w postaci:

j z

Ω

2 π

) 1 ( tg

sin    





  

 , (2.6)

gdzie: Ω – kąt obrotu narzędzia, którego wartość związana jest z czasem t, z – liczba ostrzy frezu.

Rys. 2.3. Parametry geometryczne warstwy skrawanej frezu kulistego według [39, 40]

Z równania (2.6) wynika, że chwilowy kąt styku φ ujmuje wpływ kąta obrotu narzędzia, kąta położenia elementarnego fragmentu krawędzi skrawającej względem osi obrotu narzędzia ϕ

, liczby ostrzy frezu, a także kąta pochylenia głównej krawędzi skrawającej.

W badaniach autorów [39, 40] kąt λ

= const., co w dużym stopniu ułatwia wyznaczenie kąta styku φ. Jednakże w praktyce wiele frezów kulistych posiada kąt λ

(z) zmienny na sferycznej części krawędzi skrawającej. Zmienność kąta λ

(z) utrudnia obliczenia i nasuwa konieczność wyrażenia kąta pochylenia głównej krawędzi skrawającej w funkcji następujących parametrów: λ

(z) = f(ϕ

, R, λ

).

Proces frezowania frezem kulistym jest zazwyczaj stosowany do obróbki zarysów

krzywoliniowych, czyli takich, w których kąt pochylenia obrabianej powierzchni α ≠ 0

(rys. 2.3). W celu uwzględnienia przy obliczaniu wartości elementów geometrycznych

warstwy skrawanej (h

, db) kąta α należy sformułować wyrażenia na: chwilowy kąt styku φ(α)

oraz kąt położenia elementarnego fragmentu krawędzi skrawającej względem osi obrotu

narzędzia ϕ (α) w funkcji kąta α:

      





( )  arcsin sin  cos

 sin  sin

 cos , (2.7)

 

 



 

 cos ( )

cos arccos cos

)

(  



 



r

r

. (2.8)

Chwilową grubość warstwy skrawanej i elementarną szerokość warstwy skrawanej z uwzględnieniem kąta pochylenia obrabianej powierzchni α można wyrazić zależnościami:

) ( sin  





z

f

h , (2.9)

d b  R  cos 

(  ) d 

(  ) . (2.10)

Istnieje bardzo duża grupa frezów kulistych charakteryzujących się zmiennym kątem pochylenia głównej krawędzi skrawającej λ

(z) na sferycznym obszarze tej krawędzi.

Wywiera to wpływ na wartości parametrów geometrycznych warstwy skrawanej.

W literaturze znane są dwie grupy metod wyznaczania lokalnego kąta pochylenia głównej krawędzi skrawającej λ

(z):

 analityczne,

 doświadczalne.

W metodach analitycznych wyznacza się wielkość λ

(z) w oparciu o zależności geometryczne występujące we frezie kulistym. Najczęściej narzędzia tego typu posiadają śrubowy zarys krawędzi skrawającej na cylindrycznym obszarze, (charakteryzujący się stałością kąta λ

) rozszerzony na sferyczny obszar narzędzia. W metodach doświadczalnych dokonuje się pomiaru zarysu krawędzi skrawającej, najczęściej przy pomocy maszyny współrzędnościowej, skanera trójwymiarowego lub mikroskopu warsztatowego, a następnie formułuje się równanie regresji krawędzi skrawającej na podstawie zmierzonych punktów.

Na rysunku 2.2 przedstawiono widok frezu od powierzchni czołowej wraz z oznaczeniem kątów charakteryzujących zarys krawędzi skrawającej. Symbol ψ

oznacza kąt podziałki międzyostrzowej, natomiast r(z) jest promieniem wodzącym punktu P na krawędzi skrawającej. Zdefiniowano go jako długość odcinka pomiędzy punktem 0, a dowolnym punktem P na sferycznej części krawędzi skrawającej. Poprzez ψ

oznaczono kąt opasania (z ang. lag angle). Jest to kąt rozpatrywany w płaszczyźnie XY frezu, określony pomiędzy odcinkiem stycznym do krawędzi skrawającej w punkcie 0, a promieniem wodzącym punktu P na krawędzi skrawającej r(z) [34].

Promień wodzący punktu P na krawędzi skrawającej można opisać równaniem [34]:

^r   ^{z  R}

^{ ( R  z}

⁾

. (2.11)

W równaniu (2.11) z

oznacza dowolną odległość w osi Z od punktu 0 (w warunkach obróbki jest to odległość zależna od osiowej głębokości skrawania a

i kąta pochylenia obrabianej powierzchni α). Na podstawie prac [34, 85] kąt opasania można wyrazić według zależności:

R

z

l

  ^{ tg}  . (2.12)

Zależność (2.12) jest prawdziwa przy założeniach, że maksymalny kąt opasania ψ

spełnia warunek: ψ

= tg λ

.

Lokalny kąt pochylenia głównej krawędzi skrawającej λ

(z) można opisać równaniem [34]:

  _



 



 

 R

z

z r

s

 ( ) arctg ^tg  . (2.13)

Według badań [88] przy definiowaniu kąta opasania (a tym samym kąta λ

(z)) należy uwzględnić również promień krzywizny krawędzi skrawającej R

oraz doświadczalnie zmierzony maksymalny kąt opasania ψ

. Współrzędne krawędzi skrawającej w trzech prostopadłych osiach (X, Y, Z), zgodnie z rysunkiem 2.4 można opisać równaniem:

   

).

cos 1 (

, sin

, cos

r i

l i

l i

R z

z r y

z r x





















(2.14)

Promień krzywizny krawędzi skrawającej R

(patrz rys. 2.4a) zależy od maksymalnego kąta opasania ψ

.

a) b)

Rys. 2.4. Widok frezu kulistego: a) oznaczenie promienia krzywizny krawędzi skrawającej Rc oraz maksymalnego kąta opasania ψlmax, b) oznaczenie lokalnego

kąta pochylenia głównej krawędzi skrawającej λ_s(z) [88]

Promień R

zdefiniowany jest w płaszczyźnie ZY frezu. Według [88] jego wartość można opisać równaniem:





 



 





max

sin sin 1

2

c

R R 

 ^. (2.15)

Następnie można sformułować wyrażenie na kąt opasania ψ

z uwzględnieniem promienia krzywizny krawędzi skrawającej R

[88]:

 

 





 













 

r

r c

c

l

R

R R R



 

sin

cos arcsin 1

2 2 2

. (2.16)

Zarys krawędzi skrawającej frezu kulistego jest przestrzenny (rys. 2.4b). W związku z tym według autorów [88] lokalny kąt pochylenia głównej krawędzi skrawającej λ

(z) zdefiniowany może być jako kąt zawarty pomiędzy elementarnym wektorem dq leżącym na elementarnej płaszczyźnie dxdz, przez którą przechodzi oś frezu, a wektorem dl, który jest wypadkowy względem kierunków dx, dy, dz. Wektor dl wyznacza elementarną długość krawędzi skrawającej frezu.

Na podstawie powyższych rozważań i rysunku 2.4 można sformułować następujące równanie lokalnego kąta pochylenia głównej krawędzi skrawającej:

 





 









 

2 2 2

2 2

d d d

d arccos d

) (

i i i

i i

s

x y z

z z x

 . (2.17)

W celu wyznaczenia kąta λ

(z) w oparciu o równanie (2.17) należy podstawić wielkości opisane równaniem (2.14) i wykonać odpowiednie przekształcenia. Interpretację graficzną równania (2.17) przedstawiono na rysunku 2.5.

a) b)

Rys. 2.5. Wpływ kątów ψ_l i φ_r na wartość lokalnego kąta pochylenia głównej krawędzi skrawającej λs(z) frezu kulistego według [88]

Przebiegi przedstawione na rysunku 2.5 dotyczą frezu o kącie pochylenia głównej krawędzi skrawającej (wyznaczonej na walcowej części frezu) λ

= 30º. Można zaobserwować, że wartości kąta λ

(z) zwiększają się wraz ze wzrostem kątów ψ

, φ

i osiągają wartości bliskie 30º dla maksymalnych wartości kątów ψ

i φ

.

Według [9] zarys frezu kulistego w obszarze sferycznym może być (w wyniku pewnych

błędów wytwarzania) przypadkowy i różnić się między kolejnymi egzemplarzami narzędzi

tego samego producenta. Dodatkowo, zarys krawędzi skrawającej frezu kulistego zależy

również w dużej mierze od samego producenta narzędzia. W związku z tym autorzy prac

[9, 89] opracowali metody doświadczalne pomiaru zarysu krawędzi skrawającej. Według

autora [32] badania te polegają na pomiarze współrzędnych krawędzi skrawającej frezu przy

stałych odległościach wzdłuż osi narzędzia. Na podstawie przeprowadzonych pomiarów

formułuje się matematyczną funkcję regresji, najczęściej w postaci wielomianu 3-ego stopnia

[149]. Autorzy pracy [9] dokonali pomiaru zarysu krawędzi skrawającej frezu kulistego

z węglika spiekanego (D = 12 mm, z = 2, powłoka TiAlN) przy pomocy mikroskopu

warsztatowego. Autor pracy [89] w celu wyznaczenia profilu frezu kulistego (D = 19.05 mm,

z = 2, bez powłoki) z węglika spiekanego zastosował maszynę współrzędnościową ze stołem

obrotowym. Zmienność kąta opasania ψ

frezu kulistego wzdłuż osi narzędzia – według badań

[9] przedstawia równanie (2.18), natomiast według badań [89] – równanie (2.19):

3 2

162 . 0 078

. 0 243

. 0 007 .

0 



 



 

 



 



 

 



 



 





 R

z R

z R

z



, (2.18)

3 2

077 . 46 460

. 101 574

. 82 530 .

3 



 



 

 



 



 

 



 



 



 R

z R

z R

z



. (2.19)

Wyniki pomiarów zarysu krawędzi skrawającej frezu kulistego z zastosowaniem maszyny współrzędnościowej przedstawiono na rysunku 2.6.

Rys. 2.6. Zarys krawędzi skrawającej frezu kulistego zmierzony przy pomocy maszyny współrzędnościowej [89]

Z rysunku 2.6 wynika, że złożony, przestrzenny zarys krawędzi skrawającej frezu kulistego wpływa na nieliniowy przebieg kątów ψ

i λ

(z) wzdłuż osi narzędzia, co w znacznym stopniu komplikuje ich dokładne wyznaczenie.

Na rysunkach 2.7 i 2.8 przedstawiono porównanie kątów ψ

i λ

(z) wyznaczonych w oparciu o metody doświadczalne [9, 89] i analityczne [34, 88]. Rysunek 2.7 uwidacznia, że przebiegi kąta opasania ψ

wyznaczone w oparciu o metody doświadczalne znacznie się różnią między sobą zarówno w aspekcie jakościowym, jak i ilościowym. Krzywa wyznaczona przy pomocy maszyny współrzędnościowej [89] jest funkcją wklęsłą, natomiast krzywa zmierzona przy pomocy mikroskopu warsztatowego [9] – wypukłą. Maksymalna wartość kąta opasania według badań [89] wynosi ψ

= 29.9°, a według badań [9] jedynie 18.5°, co stanowi istotną różnicę. Dodatkowo w zakresie: 0.2 ≤ z

/R ≤ 0.8 różnice w wartościach ψ

dla krzywych zmierzonych doświadczalnie są ponad dwukrotne. Tak duże rozbieżności jakościowe i ilościowe pomiędzy tymi krzywymi wywołuje częściowo zastosowanie odmiennych metod pomiarowych, lecz główna przyczyna to różnice w rzeczywistym zarysie krawędzi skrawającej narzędzi wytwarzanych przez różnych producentów.

Krzywe na rysunku 2.7 oznaczone przerywanymi liniami wyznaczono w oparciu o metody analityczne za pomocą równań: (2.12) – badania [34] i (2.16) – badania [88].

Przebieg ψ

= f(z

/R) wyznaczony według badań [34] ma charakter liniowy. Pozostaje to

w sprzeczności z przebiegami krzywych doświadczalnych, których kształt można opisać

wielomianami 3-ego stopnia (patrz równania: 2.18, 2.19). Przyjęte w modelu [34] założenie,

skrawającej na walcowej części frezu, wynoszącego λ

= 30°, maksymalny kąt opasania powinien wynosić ψ

= 33.08°. W praktyce jednak wynosi on 29.9° dla narzędzia zastosowanego w badaniach [89] i 18.5° dla narzędzia z badań [9]. Z rysunku 2.7 wynika również, że przebieg ψ

= f(z

/R) opracowany przez Lazoglu i Liang’a uwzględniający promień krzywizny głównej krawędzi skrawającej [88] wykazuje dużą zgodność jakościową i ilościową z przebiegiem doświadczalnym, wyznaczonym według badań Azeem i in. [9].

Model Lazoglu i Liang’a [88] uwzględnia wartość doświadczalnie wyznaczonego maksymalnego kąta opasania, która (jak wynika z przeprowadzonych badań doświadczalnych) może być różna. W odniesieniu do krzywej doświadczalnej – [89]

zgodność jakościowa modelu [88] jest niewielka. Według rysunku 2.8 przebiegi doświadczalne i teoretyczne λ

(z) = f(z

/R) mają charakter nieliniowy. Jednakże w aspekcie ilościowym występują między nimi znaczne różnice.

Rys. 2.7. Porównanie zmienności kąta opasania frezu kulistego ψl wzdłuż osi narzędzia według różnych badań (kąt pochylenia głównej krawędzi skrawającej na części walcowej frezu λs = 30°).

Opracowane na podstawie [9, 34, 88, 89]

Rys. 2.8. Porównanie zmienności lokalnego kąta pochylenia głównej krawędzi skrawającej λ_s(z) frezu kulistego wzdłuż osi narzędzia według [9, 34], (kąt pochylenia głównej krawędzi skrawającej na części

walcowej frezu λ_s = 30°)

Z powyższych rozważań wynika, że analizowane przebiegi kąta opasania i lokalnego kąta pochylenia głównej krawędzi skrawającej wzdłuż osi frezu znacznie się między sobą różnią. Różnice te dotyczą zarówno przebiegów doświadczalnych, jak i modeli teoretycznych.

Należy mieć na uwadze, że rozbieżności jakościowe i ilościowe przebiegów λ

(z), ψ

= f(z

/R) mogą znacząco wpływać na dokładność szacowania chwilowych wartości składowych siły całkowitej wygenerowanych w procesie skrawania narzędziami o krzywoliniowym, przestrzennym zarysie krawędzi skrawającej (np. frezy kuliste). W związku z tym, problem wyznaczania przebiegów λ

(z), ψ

= f(z

/R) wymaga dalszych badań.

Z wcześniejszych rozważań wynika, że w celu określenia pola przekroju czynnego warstwy skrawanej A

(φ) niezbędne jest obliczenie długości czynnej krawędzi skrawającej l (patrz równanie 2.5). Wartość długości czynnej krawędzi skrawającej l najczęściej wyrażana jest na podstawie określenia wektora r zawartego pomiędzy punktem 0, znajdującym się na początku układu współrzędnych, a dowolnym punktem P na krzywoliniowej krawędzi skrawającej (rys. 2.9).

Rys. 2.9. Profil krzywoliniowej krawędzi skrawającej frezu z oznaczeniem wektora r [34]

Zgodnie z pracami [1, 34, 85] wektor r w funkcji chwilowego kąta styku φ można określić następującym równaniem:

















     R  k

j r

i r

r

s l l

l



 







 ) ( ) sin ( ) cos tg

( , (2.20)

gdzie:













k j

i , , – wektory jednostkowe,

r(ψ

) – promień wodzący frezu odpowiadający wartości dowolnego kąta opasania ψ

.

Wielkość r(ψ

) występującą w równaniu (2.20) można wyznaczyć z zależności:

2

tg 1 1 )

(  

 



 







s l

l

R

r 

  . (2.21)

Według autorów [1, 34, 85] chwilowy kąt styku j-tego ostrza frezu opisuje równanie:

Ω  

     