5.1. Wprowadzenie do grafów przepływowych

5. WYKORZYSTANIE GRAFÓW PRZEPŁYWU SYGNAŁÓW DO BUDOWY MODELI MATEMATYCZNYCH

5.1. Wprowadzenie do grafów przepływowych

Najczęściej spotykaną postacią graficzną układów automatyki są schematy strukturalne (blokowe). Obliczenie transmitancji tak narysowanego układów stwarza bardzo duże trudności, zwłaszcza układów złożonych a w szczególności przy występowaniu sprzężeń zwrotnych. Wady tej pozbawiona jest metoda grafów przepływowych.

Tworzenie grafów przepływowych obwodów jest możliwe na podstawie:

- schematu blokowego;

- znanej transmitancji;

- bezpośrednio z obiektu poprzez znajomość praw zachodzących w nim.

Podstawowymi elementami grafów są:

Węzeł - symbolizuje sygnał (zmianę układu);

Gałąź – wzajemne zależnośći x G= y

Źródło (węzeł czynny, źródłowy) – jest to węzeł jeśli istnieją tylko gałęzie wychodzące y₁ =a₁x , y₂ =a₂x , y₃ =a₃x

Odbiornik (węzeł bierny, odbiorczy) - jest to węzeł jeśli istnieją tylko gałęzie wchodzące y=a₁x₁ +a₂x₂ +a₃x₃

Pośredni węzeł (wtórny węzeł) grafu można podzielić na źródło i odbornik (czynny i bierny). Tak podzielony węzeł nie ma transmitancji.

Podstawowe przekształcenia grafów przepływowych:

a)

b)

c) x G y

y3

x y1

y2

a1

a2

a3

x3

x1 y x2

a1

a2

a3

x y

a

b

x a+b y

x1 a y

b x1 bc y

x2

c

ac x2

x 1 a b y

c

x1 a b y

ac

d)

e)

f)

g)

h)

Przykład 5.1.

Redukując grafy znaleźć wypadkową transmitancję układu jak na rysunku 5.1.

Rys. 5.1 eG

y

Hy x e

=

−

=

x a b y

cd+ef

x a b y

cd ef

x ab y

x a b y

x1

y1

a b

d c

x2

y2

x1

y1

ab x2

y2

cd ac

bd

x d ab y

ac

x ac ab y

d

− 1

x1 y x2

x3

a1

a2 a3

x1

x2 x3

y

1

1 a

1 2

a

−a ¹

3

a

−a

x 1 e G y

x 1 e G y

-H

y

x e

H G -

Przykład 5.2.

Redukując grafy znaleźć wypadkową transmitancję układu jak na rysunku 5.2.

Rys. 5.2 e

yG x

G eG y

c o

=

− +

= ω _ω

ω

ω c o c

o o

G G x G

G G y G

+ +

= +

1 1

Przykład 5.3.

Redukując grafy znaleźć wypadkową transmitancję układu jak na rysunku 5.3.

Rys. 5.3

x G y

e 1

-HG

x ₁₊^G_HG y x ₁₊¹_HG e G y

ω

x 1 Go

-Gc

e y G_ω ω

y Gω ω x 1 e Go

-Gc

Go y -Gc

Go

x

y Go

e 1

-G0Gc

Gω ω -G0Gc

x

y

c oG G G +

1 ^ω ω

c o o

G G G + 1

x

y Go

e

c oG +G 1

1

c oG G G + 1

ω ω

y y

x e

Gc

Gω

Go

-

+

x ε

3

1 G

G3

G1 G2

ε1 ε2 ε3

- - -

Przykład 5.4.

Redukując grafy znaleźć wypadkową transmitancję układu jak na rysunku 5.4.

Rys. 5.4

x 1 ε 1 ε1 G1 ε2 G2 ε3 G3 y -1

-1

3

1

−G

x 1 ε1 G1 y

-G2G3

G2G3

ε2

-1

3

1

−G

x 1 ¹G²₂G³₃ y G G G

+ 1 ε1

-1

3

1

−G

x ^{2 3 1 2 1 2 3}

3 2 1

1 G G GG GGG G

G G

+ +

+ _y

x 1 ¹G²₂G³₃ G G G

+ 1 ε1

3 2

3 2 1

3 1 1

1

G G

G G G G  +

 +

−

y

x 2 3

3 2 1 3

3 2

3 2 1

11 1 1

1

G G

G G G G

G G

G G G

 +

 

 +

+ +

y

x 1 G1 ε1 G3 ε2 G4 y

ε3

ε

-G5 1 -G2 1

x 1 ε G1 ε1 G3 ε2 G4 y ε3

-G5

1 -G1G2 1

x _{1 2} ε1 G3 ε2 G4 ε3 1

1 GG G +

1 -G4G5

x ε1

5 4

4 3

1 GG G G

+ ε3

2 1 1

1 GG G +

1

x ε3

( )

( 1 2)( 4 5)

5 4 4 3 1

1 1

1

G G G G

G G G G G

+ +

+ +

x  ε3

 + +

+ 4 5

4 3 2

1 1

1 1

1 GG

G G G

G G

x ε y

G5

G2

G3

ε1 ε2

G1 G4

ε3

- -

-

Przykład 5.5.

Redukując grafy znaleźć wypadkową transmitancję G0 układu jak na rysunku 5.5.

Rys. 5.5

(

)

2

1G 1 G G G G G

G + + + =

5.2. Reguła Masona dla obliczania transmitancji grafem

Podstawowe pojęcia umożliwiające stosowanie reguły Masona:

Pętla – taka sekwencja gałęzi, która tworzy obieg zamknięty a14, a43, a31, (Rys.5.6)

Pętle sprzężone – są przyległe, mają wspólne węzły lub gałęzie

































31 43 14 33

31 43 14

31 43 24 12

a a a a a

a a

a a a a

!

! ,

x ε y

G5

G3

ε1

G1G2

G4

A B

C D

x 1 A G1G2 B y

ε ε

G5

1 1

G3

G4

D

1 1

-1

G1G2 B

ε 1

G3

G4

1

G5

G1G2 B

ε 1

G3G4

G4

1

G5

- +

+

+

Pętle rozprężone – nie są przyległe, nie mają wspólnych węzłów lub gałęzi,

Ścieżka – taka sekwencja gałęzi, które nie przechodzą powtórnie przez te same węzły, Pętla własna – np.: a22,

Kaskada – to ścieżka, która prowadzi od punktu początkowego do końcowego.

Rys. 5.6 Transmitancję grafu można wyrazić za pomocą wzoru:

( )

∆

∆

⋅

=∑ G^{k k} G

gdzie:

Gk – kaskada, funkcja przejścia k- tej (ścieżki grafu) kaskady grafu;

Δ – wyróżnik (wyznacznik) grafu;

"

+

∑

−

∑ +

∑

−

=

∆ 1 p_i p_ip_j p_ip_jp_l

pi – współczynnik wzmocnienia i – tej pętli grafu, usuwamy te wyrazy, które zawierają iloczyn współczynników wzmocnienia pętli sprzężonych;

Δk – powstaje z Δ przez usunięcie wyrazów zawierających wzmocnienia tych pętli, które przylegają do k – tej kaskady.

pi

∑ - suma transmitancji wszystkich pętli,

j ip

∑ p - suma iloczynów transmitancji pętli nie stykających się ze sobą (nie sprzężonych) branych po dwie,

l j ip p

∑ p - suma iloczynów transmitancji pętli nie stykających się ze sobą (nie sprzężonych) branych po trzy,

k

Gk ⋅∆

∑ - suma iloczynów transmitancji Gk wszystkich kaskad grafu przez wartość Δk

odpowiadającą wielkości Δ dla części grafu nie stykającej się z k - tą kaskadą.

Przykład 5.6.

Wyznaczyć transmitancję grafu jak na rysunku 5.6.

c 1

d e

1

b

a y

x 1

f 1

c d

e b

a y

x 1

f 1

u 1

a12

x1

x2

x3

x4

a24

a31 a43

a22

a33

a14

Rys. 5.7 Kaskady:

edb b

d e G

a a G

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

⋅

⋅

=

1 1

1 1

2 1

Pętle:

edbf p

cd p

af p

=

=

=

3 2 1

sprzężone:

3 2

3 1

p p

p

p nie sprzężone: p₁p₂

( )

afcd edbf

cd af

edb cd

a G

G G G

cd

afcd edbf

cd af

p p p p p p p p p p p p

k k

+

−

−

−

+

= −

∆

∆ +

= ∆

∆

∆

⋅

=∑

=

∆

−

=

∆

+

−

−

−

=

∆

− +

+ +

−

−

−

=

∆

1

1 1

1 1 1

2 2 1 1 2

1

3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 1

Przykład 5.7.

Wyznaczyć transmitancję grafu jak na rysunku 5.7.

Rys. 5.8

cd d

e b

a y

x 1

f 1

cd edb

− 1

a y

x 1

f 1

cd cda a edb

−

− +

1 y

x 1 1

cd a edb +

− 1

y

x 1

f 1

cd cda a edb

−

− +

1 y

x

cd cdaf af edbf

−

− + +

1 1 cd af edbf cdaf

cdaf af edbf

+

−

−

−

− + +

1 1

a y

x b

f g

c d e

h i

Pętle:

fghi p

di p

ch p

bg p

=

=

=

=

4 3 2 1

Tylko dwie pętle nie stykają się ze sobą p1 i p2, stąd: ∆=1−

(

)

Kaskady:

abcde

G₁ = nie ma pętli nie złączonej z kaskadą G1, stąd ∆₁ =1 afe

G₂ = jest pętla p2 nie złączona z kaskadą G2, stąd: ∆₂ =1−G₂ =1−ch

(

)

G − + + + +

−

= + 1

Przykład 5.8.

Dla grafu wyznaczyć transmitancję metodą Masona.

Rys. 5.9 Pętle:

abc p

ab p

bc p

−

=

−

=

−

=

3 2 1

Wszystkie pętle stykają się ze sobą, stąd: ∆=1+ab+abc+bc Kaskady:

abc

G₁ = nie ma pętli nie złączonej z kaskadą G1, stąd Δ1=1

bc abc ab G abc

G ^{k k}

+ +

= +

∆

∆

=∑

1 Przykład 5.9.

Dla układu jak na rysunku 5.10 wyznaczyć transmitancję metodą Masona.

Rys. 5.10

( ) ( )

x₁ = - wejście

( )

y = #

x 1 1 a b c y

-1

-1 ^c

−1

m C1

C2 B

x1 x2 x3

f(t)

(

) ( )

D

C ₁ − ₂ =

1

1 # #

( )

( )

1

3 2 2 1 2 1

2 + − + x −x =

D x C

D x x C

mD# # # # #

→

( )

( )

t mD mD f

x 1 1

2 =− +

#

( )

1

2 3 2

3 + x −x =

D x C

B# # #

→ (

)

2

1 x x

D

y=C # − # B y x x B

y 1

3

3 → =

= # #

Pętle:





−

=



 

−

=



−

=

D C p B

mD D

p C

D C p mD

2 3

2 2

1 1

1 1

1 1

1 1

Nie stykają się p1 i p3, stąd: ∆=1− p₁ − p₂ − p₃ + p₁p₃ Kaskady:

D C mD D G C

2 1

1

1 1

1 ⋅ ⋅

= nie ma pętli nie złączonych z kaskadą G1, stąd Δ1=1

3 2 2 1

2 2 2

1

3 2 1

1 1

1 1 1

1

BD C D mC

D BC mC D

mC

mD C C G G^{k k}

+ +

+ +

−

∆ =

∆

=∑

B 1

D C₂

− 1

x#2 x#3

x#1 C₁D ^{f y}

1

1 mD

1

mD

− 1

D C₁

− 1

D C₂

1