Wyznaczy´c dystrybuanty i ge‘sto´sci zmiennych losowych: a) aX + b, a 6= 0

(1)

Zadania ze statystyki matematycznej Rok akad. 2009/10, lista nr 1

Niekt´ore zadania z tej listy zawieraja

‘materia l uzupe lniaja

‘cy z rachunku prawdopodobie´nstwa, niezbe

‘dny do zrozumienia wyk ladu. Definicje i oznaczenia wyste

‘puja

‘ce w zadaniach mo˙zna znale´z´c w I rozdziale ksia

‘˙zki:

J. Bartoszewicz, Wyk lady ze statystyki matematycznej, PWN Warszawa 1996.

1. Niech F_X be

‘dzie dystrybuanta

‘zmiennej losowej X, a f_X jej ge

‘sto´scia

‘. Wyznaczy´c dystrybuanty i ge‘sto´sci zmiennych losowych: a) aX + b, a 6= 0; b) |X|; c) X²; d) √

X, przy za lo˙zeniu, ˙ze P (X ≥ 0) = 1;

e) sin X; f) [X]; g) X − [X].

2. Niech X i Y be

‘da

‘zmiennymi losowymi, a F_X i F_Y odpowiednio ich dystrybuantami. Czy naste

‘puja

‘ce funkcje sa

‘dystrybuantami:

a) F_XF_Y; b) F_X + F_Y; c) F_X − F_Y; d) F_X/F_Y; e) max(F_X, F_Y); f) min(F_X, F_Y)?

3. Niech wektor losowy X = (X₁, X₂)⁰ ma ge

‘sto´s´c postaci f_X(x₁, x₂) =

( 1/π, gdy x²₁+ x²₂ ≤ 1, 0 poza tym.

a) Znale˙z´c ge

‘sto´sci brzegowe zmiennych losowych X₁ i X₂. b) Obliczy´c warto´s´c oczekiwana

‘E(X) i macierz kowariancji Σ.

c) Czy zmienne losowe X₁ i X₂ sa

‘niezale˙zne?

4. Niech X be

‘dzie zmienna

‘losowa

‘z dystrybuanta

‘F₁. Niech F₂ oznacza dystrybuante

‘zmiennej losowej Y = g(X), a F niech oznacza dystrybuante

‘ wektora losowego (X, Y )⁰. a) Udowodni´c, ˙ze je˙zeli g jest funkcja

‘´sci´sle rosna

‘ca

‘, to F (x, y) = min[F₁(x), F₂(y)].

b) Udowodni´c, ˙ze je˙zeli g jest funkcja

‘´sci´sle maleja

‘ca

‘, to F (x, y) = max[F₁(x) + F₂(y) − 1, 0].

5. Niech X = (X₁, X₂)⁰ be‘dzie wektorem losowym typu cia‘g lego z ge‘sto´scia‘f_X. Znale˙zć ge‘sto´sć wektora losowego Y = (Y₁, Y₂)⁰, gdzie Y₁ = X₁X₂ i Y₂ = X₁/X₂. Wyznaczyć naste

‘pnie ge

‘sto´sci brzegowe zmiennych losowych Y₁ i Y₂.

6. Niech X i Y be‘da‘niezale˙znymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozk ladzie wyk ladniczym Ex(λ).

Niech V = X − Y . a) Znale´z´c la

‘czna

‘ge

‘sto´sć wektora losowego (V, Y )⁰. b) Udowodnić, ˙ze V ma ge‘sto´sć postaci

f_V(v) = 1

2λe^−λ|v|, v ∈ R.

(Rozk lad o tej ge

‘sto´sci nazywa sie

‘rozk ladem Laplace’a albo dwustronnym rozk ladem wyk ladniczym.) 7. Niech X be

‘dzie zmienna

‘losowa

‘o rozk ladzie wyk ladniczym Ex(λ). Znale´z´c ge

‘sto´s´c rozk ladu zmiennej losowej Y = X^1/β. (Rozk lad zmiennej losowej Y nazywa sie

‘rozk ladem Weibulla W (λ, β).)

8. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli zmienne losowe X i Y sa‘niezale˙zne o rozk ladach gamma odpowiednio G(1, β₁) i G(1, β₂), to zmienna losowa X/(X + Y ) ma rozk lad beta B(β₁, β₂).

9. Udowodni´c, ˙ze

Xn x=k

n x

!

p^x(1 − p)^n−x= I_p(n − k + 1, k), gdzie

I_z(a, b) = Γ(a + b) Γ(a)Γ(b)

Z _z

0 u^a−1(1 − u)^b−1du jest tzw. niekompletna

‘ funkcja

‘ beta (dystrybuanta

‘rozk ladu beta B(a, b). (Wskaz´owka. Ca lkowa´c przez cze‘´sci.)

10. Wyprowadzi´c wzory na ge‘sto´sci rozk lad´ow: a) χ²(n); b) t(n); c) F (n, r).

11. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli zmienna losowa X ma rozk lad F (n, r), to zmienna losowa Y = nX/(r + nX) ma rozk lad beta B(n/2, r/2)

12. Korzystaja‘c z wyników zadań 9 i 11, znale´zć zwia‘zek mie‘dzy rozk ladem dwumianowym b(n, p) a rozk ladem F (n, r).

(2)

Informacja o wyk ladzie ,,Statystyka matematyczna”

(,,Statystyka B”), obowia

‘zkowym w V semestrze dla specjalno´sci Zastosowania rachunku prawdopodobie´nstwa i statystyki matematycznej i specjalno´sci Biomatematyka

(45 godz. wyk ladu i 30 godz. ´cwicze´n w semestrze zimowym r. 2009/2010)

Celem wyk ladu jest przedstawienie teoretycznych podstaw statystyki matematycznej oraz najwa˙zniejszych zagadnień wnioskowania statystycznego. Niektóre zagadnienia nale˙zy traktować jako wste

‘p do bardziej za- awansowanej teorii i metod, kt´ore be

‘da

‘przedstawione w wyk ladach ze statystyki w nastepnych semestrach.

Wymagania: Funkcje rzeczywiste, Rachunek prawdopodobie´nstwa B1.

Zalecenia: Zapisanie sie

‘w tym samym semestrze na Rachunek prawdopodobie´nstwa B2.

Program wyk ladu:

1. Wektory losowe: dystrybuanty i ge

‘sto´sci wielowymiarowe, macierz kowariancji, wielowymiarowy rozk lad normalny.

2. Przestrzenie statystyczne i statystyki: przestrzeń prób, statystyki i ich rodziny rozk ladów, dystrybuanta empiryczna, charakterystyki próbkowe, statystyki pozycyjne, rozk lady asymptotyczne statystyk.

3.Teoria estymacji: estymatory nieobcia

‘˙zone z minimalna

‘wariancja

‘. Dostateczno´sć i zupe lno´sć statystyk, twierdzenie Rao-Blackwella. Informacja Fishera, dolne ograniczenie Craméra-Rao.

4. Metoda najmniejszych kwadrat´ow. Twierdzenie Gaussa-Markowa. 5. Metoda najwie

‘kszej wiarogodno´sci.

Zgodno´sć i asymptotyczna normalno´sć estymatorów.

6. Zbiory ufno´sci.

7. Teoria testowania hipotez statystycznych: testy jednostajnie najmocniejsze, lemat Neymana-Pearsona.

8. Testy oparte na ilorazie wiarogodno´sci. Testy dla rozk ladu normalnego. Problem dw´och pr´ob. Testy zgodno´sci.

9. Elementy teorii statystycznych funkcji decyzyjnych.

Literatura podstawowa

1. J. Bartoszewicz, Wyk lady ze statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1996.

2. T. Ferguson, Mathematical Statistics. A Decision Theoretic Approach, Academic Press, New York 1967.

3. M. Krzy´sko, Statystyka matematyczna, Wyd. UAM, Pozna´n 2004.

4. C.R. Rao, Modele liniowe statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1982.

5. S.D. Silvey, Wnioskowanie statystyczne, PWN Warszawa 1978.

6. G.R. Shorack, Probability for Statisticians, Springer, New York 2000.

7. R. Zieli´nski, Siedem wyk lad´ow wprowadzaja

‘cych do statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1990.

Literatura uzupe lniaja

‘ca

1. H. Cram´er, Metody matematyczne w statystyce, PWN Warszawa 1958.

2. E. Dudewicz i S. Mishra, Modern Mathematical Statistics, Wiley, New York 1988.

3. A. Jokiel-Rokita i R. Magiera, Modele i metody statystyki matematycznej w zadaniach, GiS, Wroc law 2005.

4. J. Shao, Mathematical Statistics, Springer, New York 2003.

5. J. Shao, Mathematical Statistics: Exercises and Solutions, Springer, New York 2005.

6. E.L. Lehmann, Testowanie hipotez statystycznych, PWN Warszawa 1967.

7. E.L. Lehmann, Teoria estymacji punktowej, PWN Warszawa 1991.

8. R. Magiera, Modele i metody statystyki matematycznej, Cz.I., GiS, Wroc law 2005.

9. C.R. Rao, Statystyka i prawda, PWN Warszawa 1995.

10. R. Serfling, Twierdzenia graniczne statystyki matematycznej, PWN Warszawa 1991.

Zaliczenie ´cwicze´n: na podstawie aktywno´sci w rozwia

‘zywaniu og laszanych zadań na ćwiczeniach, ocen zadań domowych i wyników pisemnych sprawdzianów.

Egzamin: pisemny i ustny.

Jaros law Bartoszewicz Wroc law, 1 pa´zdziernika 2009 r.

St09-10-LISTA1.tex