Niech F i G be ‘da ‘dystrybuantami zmiennych losowych X i Y odpowiednio

Zadania ze statystyki matematycznej (Statystyka B) Rok akad. 2009/2010, lista nr 3

1. Niech F i G be

‘da

‘dystrybuantami zmiennych losowych X i Y odpowiednio. M´owimy, ˙ze zmienna losowa Y jest stochastycznie wie

‘ksza od zmiennej losowej X, co oznaczamy symbolem X ≤^st Y , je˙zeli F (x) ≥ G(x) dla ka˙zdego x ∈ R. Gdy uto˙zsamiamy zmienne losowe z ich rozk ladami, u˙zywamy r´ownie˙z oznaczenia F ≤^stG.

a) Udowodni´c, ˙ze tak zdefiniowana relacja w zbiorze dystrybuant na prostej R jest relacja

‘cze

‘´sciowego porza

‘dku (zwana porza

‘dkiem stochastycznym), tzn. jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.

b) Udowodni´c, ˙ze warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby F ≤^st G, jest istnienie dw´och niemaleja‘cych funkcji φ i ψ oraz zmiennej losowej V , dla kt´orych: (i) φ(v) ≤ ψ(v) dla ka˙zdego v;

(ii) dystrybuantami zmiennych losowych φ(V ) i ψ(V ) sa

‘odpowiednio F i G.

2. Udowodni´c, ˙ze naste

‘puja

‘ce warunki sa

‘r´ownowa˙zne:

(i) X ≤^stY ;

(ii) E[φ(X)] ≤ E[φ(Y )] dla ka˙zdej funkcji niemaleja

‘cej φ, dla kt´orej istnieja

‘warto´sci oczekiwane;

(iii) φ(X) ≤^stφ(Y ) dla ka˙zdej funkcji niemaleja

‘cej φ.

3. Niech X be‘dzie zmienna‘losowa‘o dystrybuancie F . Niech φ(a) = E|X − a| i niech φ(a) < ∞ dla pewnego a. Udowodni´c, ˙ze funkcja φ jest osia

‘ga minimum dla ka˙zdej liczby m, dla kt´orej F (m − 0) ≤ 1/2 ≤ F (m).

(Wskaz´owka: a) udowodni´c najpierw, ˙ze zbi´or liczb m spe lniaja‘cych powy˙zsza‘nier´owno´s´c jest przedzia- lem domknie

‘tym (oznaczmy go [m₀, m₁]); b) niech m₀≤ m ≤ m₁ i niech m₁ < c; wtedy E|X − c| − E|X − m| = (c − m)[P (X ≤ m) − P (X > m)] + 2

Z

m<x<c

(c − m)dF (x).) 4. Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘z rozk ladu o dystrybuancie F . Udowodni´c, ˙ze:

a) suma kwadrat´ow odchyle´n P_n

i=1(x_i− a)² osia‘ga minimum, gdy a jest warto´scia‘´sredniej pr´obkowej z pr´oby X;

b) suma odchyle´n bezwzgle

‘dnychP_n

i=1|x_i− a| osia

‘ga minimum, gdy a jest warto´scia

‘mediany pr´obkowej z pr´oby X.

5. Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘ z rozk ladu P ∈ P o dystrybuancie F , niech t₁ <

t₂ < . . . < t_k be

‘da

‘ dowolnymi punktami na prostej R oraz t₀ = −∞, t_k+1 = +∞. Oznaczmy ∆_j = n[F_n(t_j+1; X) − F_n(t_j; X)], j = 0, 1, 2, . . . , k. Znale´z´c rozk lad wektora losowego (∆₀, ∆₁, . . . , ∆_k)⁰, jego warto´s´c oczekiwana

‘i macierz kowariancji. Jaki jest jego rozk lad graniczny, gdy n → ∞.

6. Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘ z rozk ladu o sko´nczonym czwartym momencie α₄. Udowodni´c, ˙ze cia

‘g {S_n², n > 1} wariancji pr´obkowych S_n² = P_n

i=1(X_i − X)²/n jest asymptotycznie normalny. Wyznaczy´c sta le normuja

‘ce.

7. Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘z rozk ladu P z warto´scia

‘oczekiwana

‘m i wariancja σ². Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja h : R → R ma druga ‘

‘ pochodna

‘ h⁰⁰, cia

‘g la

‘ w punkcie m i h⁰⁰(m) = 0.

Udowodni´c, ˙ze √

n[h(X) − h(m)] →^{P 1} 0, podczas gdy zmienna losowa n[h(X) − h(m)] ma asympto- tyczny rozk lad taki jak h⁰⁰(m)σ²V /2, gdzie V jest zmienna

‘losowa

‘o rozk ladzie χ²(1).

8. Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘z rozk ladu P z warto´scia

‘oczekiwana

‘m i wariancja

‘σ². Niech h(x) = x(1 − x). Znale´z´c asymptotyczny rozk lad zmiennej losowej Y = h(X), gdy:

a) m 6= 1/2, b) m=1/2.

9. Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘z rozk ladu dwumianowego b(2, p), p ∈ (0, 1).

a) Znale´z´c aproksymacje

‘dla prawdopodobie´nstwa P (X ≤ t) jako funkcji zmiennych p i t.

b) Znale´z´c aproksymacje

‘dla prawdopodobie´nstwa P (√

X ≤ t) jako funkcji zmiennych p i t.

c) Jakim rozk ladem mo˙zna przybli˙za´c rozk lad zmiennej losowej√

n(X − µ) + X², gdzie µ = E(X₁)?

10. Niech X be

‘dzie zmienna

‘losowa

‘, dla kt´orej istnieje warto´s´c oczekiwana m = E(X). ´Srednim odchyleniem zmiennej losowej X wzgle

‘dem sta lej a nazywamy warto´s´c oczekiwana

‘E|X − a|. W szcze- g´olno´sci, gdy a = m, m´owimy o ´srednim odchyleniu zmiennej X.

Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘z rozk ladu P ∈ P. Statystyke

‘ Λ = 1

n Xn

i=1

|X_i− a|

nazywamy ´srednim pr´obkowym odchyleniem wzgle

‘dem sta lej a. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli X jest pr´oba

‘z rozk ladu normalnego N (a, σ²), gdzie a jest znane, a σ > 0, to E(Λ) =

q2

πσ i Var(Λ) = ^σ_n² 1 −²_π
. 11. Niech X_n i Y_n be

‘da

‘pr´obami z rozk lad´ow o dystrybuantach odpowiednio F i G, przy czym F jest funkcja

‘cia

‘g la

‘. Udowodni´c, ˙ze

(Y_1:n, Y_2:n, . . . , Y_n:n)⁰=^st (G⁻¹F (X_1:n), G⁻¹F (X_2:n), . . . , G⁻¹F (X_n:n))⁰, gdzie G⁻¹F oznacza superpozycje‘ funkcji G⁻¹ i F .

12. Niech (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘z rozk ladu jednostajnego U (0, 1). Oznaczmy przez D_i = X_i:n− X_i−1:n, i = 1, 2, . . . , n + 1, spacje (odste

‘py) z rozk ladu jednostajnego U (0, 1), przy czym przyjmi- jmy X_0:n= 0 i X_n+1:n= 1. Niech Y₁, Y₂, . . . , Y_n+1be‘da‘niezale˙znymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozk ladzie wyk ladniczym Ex(1). Oznaczmy Z_k= Y₁+ Y₂+ . . . + Y_k, k = 1, 2, . . . , n + 1. Udowodni´c, ˙ze

(X_1:n, X_2:n, . . . , X_n:n)⁰ =^st

 Z₁ Z_n+1, Z₂

Z_n+1, . . . , Z_n Z_n+1

₀ , a sta

‘d

(D₁, D₂, . . . , D_n+1)⁰ =^st

 Y₁ Z_n+1, Y₂

Z_n+1, . . . ,Y_n+1 Z_n+1

₀ .

13. Niech Y₁, Y₂, . . . , Y_n+1 be‘da‘niezale˙znymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozk ladzie wyk- ladniczym Ex(1). Rozpatrzmy zmienne losowe Y_i⁰ = (n − i + 2)(Y_i:n − Y_i−1:n), i = 1, 2, . . . , n + 1.

Udowodni´c, ˙ze

(Y₁⁰, Y₂⁰, . . . , Y_n+1⁰ )⁰ =^st (Y₁, Y₂, . . . , Y_n+1)⁰ oraz P_n+1

i=1 Y_i⁰ =P_n+1

i=1 Y_i.

14. Niech D = (D₁, D₂, . . . , D_n+1)⁰ be‘dzie wektorem spacji z rozk ladu jednostajnego U (0, 1) i niech D_i:n oznacza i-ta

‘ statystyke

‘ pozycyjna

‘ wektora D, a D˜_i = (n − i + 2)(D_i:n − D_i−1:n), i = 1, 2, . . . , n + 1, D_0:n= 0. Udowodni´c, ˙ze

( ˜D₁, ˜D₂, . . . , ˜D_n+1)⁰ =^st (D₁, D₂, . . . , D_n+1)⁰. (Wskaz´owka: skorzysta´c z wynik´ow zada´n 12 i 13.)

15. Przy za lo˙zeniach zada´n 12 i 14 udowodni´c, ˙ze la

‘czny rozk lad wektora losowego (D₁, D₂, . . . , D_n+1)⁰ jest taki sam, jak warunkowy rozk lad wektora (Y₁, Y₂, . . . , Y_n+1)⁰ pod warunkiem Z_n+1= 1.

16. Niech X_n i Y_n be

‘da

‘pr´obami z rozk lad´ow o dystrybuantach F i G odpowiednio. Udowodni´c, ˙ze je´sli F ≤^st G, to r´ownie˙z F_j:n ≤^st G_j:n, gdzie F_j:n i G_j:n sa

‘dystrybuantami statystyk pozycyjnych X_j:n i Y_j:n odpowiednio.

17. Niech X_n be

‘dzie pr´oba

‘ z rozk ladu o cia

‘g lej dystrybuancie F . a) Znale´z´c rozk lad statystyk:

W = X_n:n− X_1:n i M = (X_1:n+ X_n:n)/2 (statystyke

‘ W nazywamy rozste

‘pem z pr´oby); b) Udowodni´c,

˙ze E(W ) =R_∞

−∞{1 − [F (x)]ⁿ− [1 − F (x)]ⁿ}dx.

18. Niech f_k:n oznacza ge

‘sto´s´c rozk ladu statystyki pozycyjnej X_k:n z pr´oby X_n z rozk ladu o ge

‘sto´sci f wzgle

‘dem miary Lebesgue’a, symetrycznego wzgle

‘dem punktu m. Udowodni´c, ˙ze f_k:n(m + x) = f_n−k+1:n(m − x) dla ka˙zdego x. Uog´olni´c ten wynik dla la

‘cznych rozk lad´ow statystyk pozycyjnych.

19. (a) Udowodni´c, ˙ze je´sli istnieje r−ty moment rozk ladu o dystrybuancie F , to dla ka˙zdego k = 1, 2, . . . , n, istnieje r−ty moment statystyki pozycyjnej X_k:n z pr´oby z rozk ladu F .

(b) Pokaza´c, ˙ze twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

(Wskaz´owka: rozpatrzy´c pr´obe

‘ rozmiaru n ≥ 3 z rozk ladu Cauchy’ego C(0, 1), r = 1 i X_k:n dla 2 ≤ k ≤ n − 1.)

St09-10-lista3.tex

29.10.2010 r. J. Bartoszewicz