Matematyka dla Wydziału Geologii, semestr 2., 2019/2020 ćwiczenia 9.
22 i 23 kwietnia 2020
1. Pokazać, że funkcja f określona wzorem f(x) =√
2x− x3 spełnia równanie f′′f3= −1 dla x ∈ (0, 2).
2. Sprawdź, czy następujące funkcje spełniają równanie Laplace’a
∂f2
∂x2+∂f2
∂y2 = 0.
a) f(x, y) =√ x2+ y2, b) f(x, y) = e−xsin y.
3. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej oblicz w przybliżeniu wartość f(2, 01) dla f(x) =
x2−3 x2+5.
4. Pomiar długości boków prostopadłościanu wykonano z dokładnością 0, 1 cm otrzymując wyniki x= 6, y= 3, z = 1 [cm]. Z jaką dokładnością wyznaczono:
a) objętość prostopadłościanu,
b) pole powierzchni tego prostopadłościanu.
5. Obliczając granicę ciągu sum częściowych oblicz sumę szeregu:
∞
∑
n=1
1 n(n + 1). 6. Udowodnij, że szereg
∞
∑
n=1
n n+ 1 nie jest zbieżny.
7. Korzystając z kryterium porównawczego wykaż, że zbieżny jest szereg∑∞n=1n12. 8. Na podstawie kryterium d’Alemberta zbadaj zbieżność szeregu
∞
∑
n=1
n!
nn.
9. Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadaj zbieżność szeregu:
∞
∑
n=1
n 2n. 10. Korzystając z kryterium Leibniza zbadaj zbieżność szeregu:
∞ n=1∑
(−1)n+1 n .
11. Wypisz wzór Taylora dla n-tego rzędu dla funkcji f(x) =1x w punkcie x0= −1.
12. Przedstaw wielomian w(x) = x4− 5x3+ x2− 3x + 4 za pomocą dwumianu (x − 1).
13. Oblicz wartość cos(0, 1) z dokładnością do 0, 00001.
1
