Matematyka dla Wydziału Geologii, semestr 2., 2019/2020 ćwiczenia 13. – rozwiązania zadań do przećwiczenia w domu

Matematyka dla Wydziału Geologii, semestr 2., 2019/2020 ćwiczenia 13. – rozwiązania zadań do przećwiczenia w domu

20 i 21 maja 2020

1. Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi y= sin xπ/2 oraz y = 2x²− x.

Zauważam, że przecinają się w 0 i w 1, i na tym odcinku niżej jest druga krzywa. Czyli:

P = ∫₀¹sin xπ/2 dx − ∫₀¹(2x²− x) dx = − 2 cos xπ/2

π ∣

1

0

− (2x³ 3 −x²

2 )∣

1

0

= 2 π−1

6. 2. Oblicz całkę krzywoliniową skierowaną

∮_Oy dx− x dy po okręgu O: x²+ y²= 1:

a) zamieniając ją na całkę oznaczoną,

Parametryzacja tego okręgu to x= cos t, y = sin t.

∮_Oy dx− x dy = ∫₀^2πsin t(− sin t) − cos t ⋅ cos t dt = ∫₀^2π−1 dt = −2π.

b) stosując Tw. Greena.

Mamy

∂(y)

∂y = 1

oraz ∂(−x)

∂x = −1, zatem

∮_Oy dx− x dy = ∬_K(−1 − 1)dx dy = −2π.

1