Matematyka dla Wydziału Geologii, semestr 2., 2019/2020 ćwiczenia 13. – rozwiązania
20 i 21 maja 2020
1. Oblicz
a) ∬D6xy dx dy, gdzie D jest prostokątem [0, 1] × [2, 3],
∬D
6xy dx dy =∫
3 2 (∫
1 0
6xy dx) dy =∫
3 2
3x2y∣10dy =∫
3 2
3y dy = 3y2/2∣32=27/2 − 12/2 = 15/2.
b) ∬Dexsin y dy dx, gdzie D jest prostokątem [0, 1] × [0, π],
∬Dexsin y dy dx =∫
1 0 ∫
π
0 exsin y dy dx =∫
1 0
−excos y∣π0dx =∫
1
0 2exdx = 2ex∣10=2e − 2.
c) ∬Dxy2dx dy, gdzie D to podzbiór R2 pomiędzy krzywymi y = x2i y = x3.
∬D
xy2dx dy =∫
1 0 ∫
x2 x3
xy2dy dx =∫
1 0
xy3/3∣xx23dx =
= 1 3∫
1 0
x7−x10dx = 1
3(x8/8 − x11/11)∣10= 1
3(1/8 − 1/11) = 1/88.
d) ∬D(x2+y) dx dy, gdzie D jest obszarem ograniczonym prostymi y = x, y = 2x oraz x + y = 6.
Obszar D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (2, 4) i (3, 3), którego dolna krawędź to prosta y = x, a górna krawędź na przedziale x ∈ (0, 2) to prosta y = 2x, zaś na przedziale x ∈ (2, 3) prosta y = −x + 6.
Zatem
∬D
(x2+y) dx dy =∫
2 0 ∫
2x x
(x2+y) dy dx +∫
3 2 ∫
−x+6 x
(x2+y) dy dx =
= ∫
2 0
(x2y + y/2)2xx dx +∫
3 2
(x2y + y/2)−x+6x dx =
= ∫
2 0
(x3+ 3x2
2 )dx +∫
3 2
(−2(x3−3x2+3x − 9)) dx = (x4/4 + x3/2)∣02−2(x4/4 − x3+3x2/2 − 9x)∣32=
=8 + 17/2 = 33/2.
e) ∭D(x + 2y + z3), gdzie D jest prostopadłościanem [0, 1] × [0, 2] × [1, 3].
∭D
(x + 2y + z3) = ∫
3 1 ∫
2 0 ∫
1 0
(x + 2y + z3)dx dy dz =∫
3 1 ∫
2 0
(x2/2 + 2xy + z3x)∣01dy dz =
= ∫
3 1 ∫
2 0
(1/2 + 2y + z3)dy dz =∫
3 1
(y/2 + y2+z3y)∣20dz =
= ∫
3 1
(1 + 4 + 2z3)dz = (5z + z4/2)31=15 + 81/2 − 5 − 1/2 = 50.
1
2. Oblicz
∬D
e−x2−y2dx dy, gdzie D to koło x2+y2≤1.
Wprowadzamy zamianę zmiennych Φ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) = (x, y). Zatem x2+y2=r2(cos2θ+sin2θ) = r2. Co więcej
Φ′= [ cos θ −r sin θ sin θ r cos θ ], zatem
det Φ′=r(cos2θ + sin2θ) = r.
Zatem
∬De−x2−y2dx dy =∫
(0,∞)×(0,2π)∣r∣er2dr dθ =
= ∫
1 0 ∫
2π 0
rer2dθ dr =∫
1 0
θ ⋅ rer2∣2π2 dr =
=π∫
1 0
2rer2dr = πer2∣10=π(e − 1).
3. Dana jest trójwymiarowa bryła o podstawie w kształcie obszaru ograniczonego osiami x = 0, y = 0 oraz krzywą√
x +√
y = 1. Wysokość bryły nad punktem x, y to h(x, y) = 2x2y. Oblicz jej objętość.
Pole przekroju naszej bryły wzdłuż osi y (dla danego x) to∫
(1−√ x)2
0 2x2y dy, a zatem objętość, to:
∫
1 0 (∫
(1−√x)2 0
2x2y dy) dx =∫
1 0
x2y2∣(1−
√x)2
0 dx =∫
1 0
x2(1 −√
x)4dx =
(−
8x92 9 −
8x72 7 +
x5 5 +
3x4 2 +
x3 3 )∣
1
0
= 1 630.
4. Oblicz objętość figury powstałej z obrotu wokół osi x figury ograniczonej krzywą y = x2 oraz y = 1.
∫
1
−1π(1 − x4)dx = π(x − x5/5)∣1−1=π(1 − 1/5 + 1 − 1/5) =8π 5 .
5. Wyprowadź wzór na pole powierzchni i objętość stożka o wysokości l i promieniu podstawy r,
Przekrój na wysokości z ma promień (l − z)r/l = r(1 − z/l). Czyli ma obwód 2πr(1 − z/l) oraz pole πr2(1 − z/l)2=πr2(1 − 2z/l + z2/l2). Zatem objętość to
∫
l 0
πr2(1 − 2z/l + z2/l2)dz = πr2(z − z2/l + z3/3l2)∣l0=πr2(l − l + l/3) =πlr 3 . natomiast pole powierzchni to
∫
l
0 2πr(1 − z/l) dz = 2πr(z − z2/2l)∣l0=2πr(l − l/2) = πrl.
6. Wyznaczyć siłę nacisku wody na pionową śluzę w kształcie prostokąta o szerokości 20 m i wysokości 16 m, jeśli woda sięga do górnego brzegu śluzy.
Nacisk to całka po ciśnieniu na powierzchni śluzy, a ciśnienie na głębokości h to p = ρgh, gdzie ρ ≃ 100kg/m3 to gęstość wody, a g ≃ 10m/s2 – przyspieszenie ziemskie, czyli
N =∬
S
ρgh dy dh =∫
20
0 ∫
16 0
ghρ dh dy = gρ∫
20 0
h2/2∣160 dy = 1000 ⋅ 128y∣200 =128000 ⋅ 20 = 2560000[N ].
2
7. Znajdź środek ciężkości półkola o x2+y2≤1, x ≥ 0 o gęstości masy zadanej funkcją ρ(x, y) = 1 (rozłożonej jednorodnie).
Oczywiście współrzędna y0 środka ciężkości wynosi 0. Jeśli x0 jest środkiem ciężkości, to moment się równoważy, czyli
∫
1 0
(x − x0)M (x) dx = 0, czyli
x0=∫
1
0 xM (x) dx
∫
1
0 M (x) dx , gdzie masa dla współrzędnej x to
M (x) =∫
√1−x2
−√
1−x2 ρ(x, y) dy = 2
√ 1 − x2. Cała masa, czyli∫
1
0 M (x) dx wynosi π/2, zatem
x0= ∫
1
0 xM (x) dx
π/2 =∫
1 0 2x
√
1 − x2dx π/2 =− ∫10
√ t dt
π/2 = (−t3/2)∣01/(3π/4) = 4 3π. 8. Oblicz średnią wartość funkcji exsin y dy dx, na prostokącie D [0, 1] × [0, π],
∬D
exsin y dy dx =∫
1 0 ∫
π 0
exsin y dy dx =∫
1 0
−excos y∣π0dx =∫
1
0 2exdx = 2ex∣10=2e − 2.
Aby dostać średnią wartość, trzeba to podzielić przez pole całego prostokąta, czyli π i dostajemy (2e−2)/π.
9. Oblicz całkę nieskierowaną po krzywej S zadanej jako y(t) = t2, x(t) = t na przedziale t ∈ [0, 2] funkcji f (t) = t.
∫S
f ds =∫
2 0
t
√
4t2+1 dt =1 8∫
17 1
√
u du = 1
12u3/2∣171 =
√ 173−1
12 , gdzie u = 4t2+1, du/dt = 8t, u(0) = 1, u(2) = 17.
10. Oblicz pole powierzchni powstałej z obrotu wokół osi x funkcji y = x3 na przedziale [0, 1].
Mamy krzywą S zadanej jako y(t) = t3, x(t) = t na przedziale t ∈ [0, 1] i funkcję odpowiadającą obwodowi w danym punkcie f (t) = 2πt3.
∫S
f ds =∫
1 0
2πt3
√
1 + 9t4= π 18∫
10 0
√
u du = π
27(u3/2)∣101 = π(10
√ 10 − 1)
27 ,
gdzie u = 1 + 9t4, du/dt = 36t3, u(0) = 1, u(1) = 10.
11. Oblicz całkę krzywoliniową skierowaną
∮O
xy dx + y dy
po okręgu O: x2+y2=1:
a) zamieniając ją na całkę oznaczoną,
Parametryzacja tego okręgu to x = cos t, y = sin t.
∮O
xy dx + y dy =∫
2π 0
((cos t sin t)(− sin t) + sin t cos t) dt.
Mamy
∫ ((cos t sin t)(− sin t) + sin t cos t) dt =∫ (−u2+u) du = −u3/3 + u2/2 + C = −sin3t
3 +
sin2t 2 +C.
dla u = sin t. Zatem
∮O
xy dx + y dy =∫
2π 0
((cos t sin t)(− sin t) + sin t cos t) dt = (−sin3t 3 +
sin2t
2 ) ∣2π0 =0.
3
b) stosując Tw. Greena.
Mamy
∂(xy)
∂y =x oraz
∂(y)
∂x =0, zatem
∮O
xy dx + y dy =∬
K
(0 − x)dx dy = −∫
1
−1∫
√1−x2
−√
1−x2x dy dx = −∫
1
−1xy∣
√1−x2
−√
1−x2= ∫
1
−12x
√
1 − x2=0, bo to funkcja nieparzysta całkowana po przedziale symetrycznym względem zera.
4
