Matematyka dla Wydziału Geologii, semestr 2., 2019/2020 ćwiczenia 13.
20 i 21 maja 2020
Zadania
1. Oblicz
a) ∬D6xy dx dy, gdzie D jest prostokątem [0, 1] × [2, 3],
b) ∬Dexsin y dy dx, gdzie D jest prostokątem [0, 1] × [0, π],
c) ∬Dxy2dx dy, gdzie D to podzbiór R2 pomię- dzy krzywymi y = x2i y = x3.
d) ∬D(x2+y) dx dy, gdzie D jest obszarem ogra- niczonym prostymi y = x, y = 2x oraz x+y = 6.
e) ∭D(x+2y +z3), gdzie D jest prostopadłościa- nem [0, 1] × [0, 2] × [1, 3].
2. Oblicz
∬D
e−x2−y2dx dy,
gdzie D to koło x2+y2≤1.
3. Dana jest trójwymiarowa bryła o podstawie w kształcie obszaru ograniczonego osiami x = 0, y = 0 oraz krzywą√
x +√
y = 1. Wysokość bryły nad punktem x, y to h(x, y) = 2x2y. Oblicz jej obję- tość.
4. Oblicz objętość figury powstałej z obrotu wokół osi x figury ograniczonej krzywą y = x2oraz y = 1.
5. Wyprowadź wzór na pole powierzchni i objętość stożka o wysokości l i promieniu podstawy r, 6. Wyznaczyć siłę nacisku wody na pionową śluzę
w kształcie prostokąta o szerokości 20 m i wyso- kości 16 m, jeśli woda sięga do górnego brzegu śluzy.
7. Znajdź środek ciężkości półkola o x2+y2 ≤ 1, x ≥ 0 o gęstości masy zadanej funkcją ρ(x, y) = 1 (rozłożonej jednorodnie).
8. Oblicz średnią wartość funkcji exsin y dy dx, na prostokącie D [0, 1] × [0, π],
9. Oblicz całkę nieskierowaną po krzywej S zadanej jako y(t) = t2, x(t) = t na przedziale t ∈ [0, 2]
funkcji f (t) = t.
10. Oblicz pole powierzchni powstałej z obrotu wokół osi x funkcji y = x3 na przedziale [0, 1].
11. Oblicz całkę krzywoliniową skierowaną
∮O
xy dx + y dy
po okręgu O: x2+y2=1:
a) zamieniając ją na całkę oznaczoną, b) stosując Tw. Greena.
Zadania do poćwiczenia w domu
1. Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi y = sin xπ/2 oraz y = 2x2−x.
2. Oblicz całkę krzywoliniową skierowaną
∮O
y dx − x dy
po okręgu O: x2+y2=1:
a) zamieniając ją na całkę oznaczoną, b) stosując Tw. Greena.
1
