Matematyka dla Wydziału Geologii, semestr 2., 2019/2020 ćwiczenia 15. dla chętnych – rozwiązania
29 maja 2020
Rzeczy chyba proste
1. Policz limx→3xx22−8x+15−5x+6.
x2− 5x + 6
x2− 8x + 15= (x− 3)(x − 2) (x − 3)(x − 5) =x− 2
x− 5xÐÐÐ→→ 3 −1 2 .
2. Zbadaj ciągłość funkcji f(x) =⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
x(1x− ⌊1x⌋) , x ≠ 0
0, x= 0 .
Ponieważ funkcja⌊x1⌋ jest ciągła dla 1x∉ Z, czyli dla x ∈ R ∖ {1z∶ z ∈ Z ∖ {0}}. Dla tych punktów w takim razie również funkcja f jest ciągła.
W punkcie x = 0 jest również ciągła, bowiem, jeśli xn → 0, to xn ⋅ (x1n− ⌊x1n⌋) jest iloczynem ciągu zbieżnego do zera i ciągu ograniczonego, a więc zbiega do zera. Zatem limx→0f(x) = 0 = f(0).
W pozostałych punktach ta funkcja nie jest ciągła. Niech x0 = z1, z ∈ Z ∖ {0}. Wtedy limx→x+0f(x) = limx→x+
0x(x1− ⌊1x⌋) = limx→x+0x(1x− (z + 1)) = limx→x+0x⋅ 1 = 1z, ale limx→x−
0f(x) = limx→x−0x(1x− ⌊1x⌋) = limx→x−
0x(x1− z) = limx→x−0x⋅ 0 = 0 ≠z1, a zatem funkcja nie ma granicy w tych punktach, więc nie może być w nich ciągła.
3. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej, oblicz pochodne funkcji:
a) g(x) = cos35x,
g′(x) = (cos 5x)′3 cos25x= −5 sin 5x ⋅ 3 cos25x= −15 sin 5x cos25x b) h(x) =√
ln x2.
h′(x) = 2x 1 x2 ⋅1
2
√1
ln x2 = 1 x√
ln x2. 4. Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne następujących funkcji:
f(x) = x3 1− x2,
Mamy: f′(x) = 3x2(1−x(1−x22)+x)23⋅2x = (1−x3x2−x2)42 = (√3−x)((1−x√23+x)x)2 2. A zatem ta pochodna się zeruje dla x= −√ 3, 0 oraz√
3 i to są kandydaci na ekstrema. Poza tym−1, 1 są poza dziedziną (to asymptoty pionowe funkcji f ). Mamy:
dla x∈ (−∞, −√
3), f′(x) < 0, a zatem f maleje,
dla x∈ (−√
3,−1), f′(x) > 0, a zatem f rośnie,
dla x∈ (−1, 0), f′(x) > 0, a zatem f rośnie,
dla x∈ (0, 1), f′(x) > 0, a zatem f rośnie,
dla x∈ (1,√
3), f′(x) > 0, a zatem f rośnie,
1
dla x∈ (√
3,∞), f′(x) < 0, a zatem f maleje.
Czyli−√
3 to lokalne minimum, a√
3 to lokalne maksimum. W 0 funkcja nie ma ekstremum.
5. Oblicz korzystając z reguły de l’Hospitala
x→∞lim ex x3.
Ponieważ limx→∞ex= ∞ oraz limx→∞x3= ∞, możemy zastosować regułę de l’Hospitala:
x→∞lim ex
x3 = limx→∞ ex 3x2,
Ponieważ limx→∞ex= ∞ oraz limx→∞3x2= ∞, możemy zastosować ponownie regułę de l’Hospitala:
x→∞lim ex
3x2 = limx→∞ ex 6x,
Ponieważ limx→∞ex= ∞ oraz limx→∞6x= ∞, możemy zastosować ponownie regułę de l’Hospitala:
x→∞lim ex
6x= limx→∞ex 6 = ∞.
6. Zbadaj na jakich przedziałach funkcja
g(x) =x3− 4x + 2 x jest wypukła lub wklęsła. Znajdź punkty przegięcia.
g′(x) = 2xx32−2, a zatem g′′(x) = 2xx33+4, a zatem na przedziałach (−√3
2, 0) oraz (0, ∞) g jest wypukła, zaś na przedziale(−∞,√3
2) jest wklęsła. Punkt przegięcia to −√3 2.
7. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji:
a) f(x, y) = xy,
∂f
∂x = yxy−1.
∂f
∂y = xyln x.
b) f(x, y, z) = xey+ yez+ zex.
∂f
∂x = ey+ zex.
∂f
∂y = xey+ ez.
∂f
∂z = yez+ ex. 8. Sprawdź, czy funkcja x(t) = √
t2+ Dt, gdzie D jest dowolną stałą, jest rozwiązaniem równania x′ =
1
2(xt+xt).
x′= 2√2t+Dt2+Dt. Natomiast:
1 2(x
t + t x) = 1
2 x2+ t2
xt = t2+ Dt + t2 2t√
t2+ Dt = 2t+ D 2√
t2+ Dt, czyli się zgadza!
2
Rzeczy chyba średnie
1. Rozstrzygnij, czy szereg
∞ n=1∑
n n+ 1 jest zbieżny.
Ten szereg nie jest zbieżny, bowiem limn→∞ n
n+1= 1 ≠ 0.
2. Porównując z szeregiem harmonicznym, zbadaj zbieżność szeregu
∞
∑
n=1
1
√nn. Ponieważ n√1
n ≥n1, to gdyby ten szereg był zbieżny, to na mocy kryterium porównawczego, szereg harmo- niczny byłby zbieżny. A nie jest, więc badany szereg też nie może być zbieżny.
3. Zbadaj zbieżność szeregu
∞
∑
n=1
1 n2⋅ en, korzystając z kryterium Cauchy’ego.
Zauważmy, że ten szereg jest zbieżny. Rzeczywiście z kryterium Cauchy’ego, bo mamy: √n 1
n2en = e(n√1 n)2 →
1 e< 1.
4. Oblicz średnią wartość funkcji exsin y dy dx, na prostokącie D[0, 1] × [0, π],
∬Dexsin y dy dx= ∫01∫
π 0
exsin y dy dx= ∫01−excos y∣π0dx= ∫012exdx= 2ex∣10= 2e − 2.
Aby dostać średnią wartość, trzeba to podzielić przez pole całego prostokąta, czyli π i dostajemy(2e−2)/π.
Rzeczy chyba trudniejsze
1. Oblicz całkę nieskierowaną po krzywej S zadanej jako y(t) = t2, x(t) = t na przedziale t ∈ [0, 2] funkcji f(t) = t.
∫Sf ds= ∫02t√
4t2+ 1 dt =1 8 ∫
17 1
√u du= 1
12u3/2∣171 =
√173− 1 12 , gdzie u= 4t2+ 1, du/dt = 8t, u(0) = 1, u(2) = 17.
2. Oblicz całkę krzywoliniową skierowaną
∮Oxy dx+ y dy po okręgu O: x2+ y2= 1:
a) zamieniając ją na całkę oznaczoną,
Parametryzacja tego okręgu to x= cos t, y = sin t.
∮Oxy dx+ y dy = ∫02π((cos t sin t)(− sin t) + sin t cos t) dt.
Mamy
∫ ((cos t sin t)(− sin t) + sin t cos t) dt = ∫ (−u2+ u) du = −u3/3 + u2/2 + C = −sin3t
3 +sin2t 2 + C.
dla u= sin t. Zatem
∮Oxy dx+ y dy = ∫02π((cos t sin t)(− sin t) + sin t cos t) dt = (−sin3t
3 +sin2t
2 ) ∣2π0 = 0.
3
b) stosując Tw. Greena.
Mamy
∂(xy)
∂y = x oraz
∂(y)
∂x = 0, zatem
∮Oxy dx+ y dy = ∬K(0 − x)dx dy = − ∫−11∫
√ 1−x2
−
√ 1−x2
x dy dx= − ∫−11xy∣−√√1−x1−x22= ∫−112x√
1− x2= 0, bo to funkcja nieparzysta całkowana po przedziale symetrycznym względem zera.
4
