Analiza I, ISIM Lista zada« nr 9
wersja 1.0
1. Poka», »e funkcje
[1,∞) ∋ x → log x, [a, b]∋ x → |x|α, (α≥ 1), [1,∞) ∋ x → (1 + 1/x)x speªniaj¡ warunek Lipschitza.
2. Poka», »e funkcja jednostajnie ci¡gªa na ograniczonym przedziale (a, b) jest ograniczona.
3. Poka», »e funkcja jednostajnie ci¡gªa na ograniczonym przedziale (a, b) posiada granice jed- nostronne na ko«cach przedziaªu.
4. Poka», »e suma funkcji jednostajnie ci¡gªych jest jednostajnie ci¡gªa. Czy iloczyn funkcji jednostajnie ci¡gªych jest zawsze jednostajnie ci¡gªy?
5. Udowodnij, »e poni»sze funkcje s¡ jednostajnie ci¡gªe R ∋ x → 1
1 +|x|, [0,∞) ∋ x → e−x, [0, 1]∋ x → xxsin x.
6. Udowodnij, »e funkcja ci¡gªa na R i maj¡ca granice liczbowe w ±∞ jest jednostajnie ci¡gªa.
7. Ci¡g funkcji fn(x) na przedziale [0, 1] jest zbie»ny jednostajnie do zera. Niech {xn} b¦dzie dowolnym ci¡giem liczb z przedziaªu [0,1]. Poka», »e limn→∞fn(xn) = 0.
8. Czy ci¡g fn(x) = n(xn− xn+1) jest zbie»ny jednostajnie do zera na przedziale [0, 1]? Wska- zówka: xn= 1−n1.
9. Zbada¢ zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gów funkcji na przedziale [0, 1]:
fn(x) = x 1 +√
nx fn(x) = (1− x)n, fn(x) = (1− 0.5x)n fn(x) = nx 1 + n2x2 fn(x) = xn− x2n fn(x) = x(1− x)n fn(x) = nx(1− x)n fn(x) = √n
1− xn 10. Zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gów funkcji na podanych zbiorach
fn(x) = 1
x + n, x > 0; fn(x) =
√ x2+ 1
n, x∈ R; fn(x) = e−nx2, −1 ≤ x ≤ 1;
fn(x) = √n
1 + xn, 0≤ x ≤ 2 fn(x) = sin nx
n , x∈ R;
Wskazówka do dwóch poprzednich zada«: Oblicz granic¦ punktow¡ f. Nast¦pnie w zale»- no±ci od sytuacji: (a) oszacuj |fn(x)−f(x)| ≤ an; (b) znajd¹ ci¡g {xn} taki, »e |fn(xn)−f(xn)| ≥ δ > 0; (c) skorzystaj z twierdzenia Dini'ego; (d) skorzystaj z nieci¡gªo±ci funkcji f.
11. Udowodnij, »e ci¡g funkcyjny fn o wspólnej dziedzinie D jest zbie»ny jednostajnie do f wtedy i tylko wtedy, gdy speªniony jest warunek Cauchy'ego
∀ϵ>0 ∃N∈N ∀n,m≥N ∀x∈D |fn(x)− fm(x)| ≤ ϵ.
12. Poka», »e ci¡g fn nie jest zbie»ny jednostajnie do 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ci¡g {xn} taki, »e {fn(xn)} nie jest zbie»ny do 0.
13. Poka», »e je»eli ci¡g funkcji ci¡gªych fn jest zbie»ny jednostajnie do funkcji f na przedziale [a, b], to dla pewnej staªej liczby M > 0 zachodzi
|fn(x)| ≤ M, n∈ N, a ≤ x ≤ b.
14. Funkcja ci¡gªa f(x) zmienia znak wewn¡trz przedziaªu [a, b] przynajmniej raz. Poka», »e je±li ci¡g funkcji ci¡gªych fn jest zbie»ny jednostajnie do funkcji f na tym przedziale, to dla dostatecznie du»ych n ka»da z funkcji fn zeruje si¦ w [a, b].
15. Dana jest ci¡gªa funkcja R → R. Poka», »e funkcja f jest jednostajnie ci¡gªa wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego ciagu {an} zbie»nego do zera, ci¡g funkcyjny fn(x) = f (x + an) jest zbie»ny jednostajnie do f.
16. Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ na [a, b] i niech fn(x) = [nf (x)]/n. Poka», »e fn zbiega jednostajnie do f na zbiorze [a, b].
17. Korzystaj¡c z twierdzenia Weierstrassa o majoryzacji zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡ szeregów.
∑∞ n=1
1
x2+ n2, x∈ R ∑∞
n=1
x
1 + n2x, x≥ 0 ∑∞
n=1
x2
n2+ x4, x∈ R
∑∞ n=1
x n(1 + nx2)
∑∞ n=1
x2e−nx, x≥ 0 ∑∞
n=2
(−1)n
x + 2n, 2 < x <∞
18. Znajd¹ ci¡gi funkcji {fn(x)}, {gn(x)}, które s¡ zbie»ne jednostajnie na prostej, a ci¡g {fn(x)gn(x)} nie jest zbie»ny jednostajnie.
19. Sprawd¹ zbie»no±¢ szeregów ci¡gªo±¢ sumy
∑∞ n=1
sin nx n2
∑∞ n=1
cos n2x 2n
∑∞ n=1
log(nx2+ 1) n√
n 20. Na jakim zbiorze funkcje
f (x) =
∑∞ k=1
sin kx
k3 , g(x) =
∑∞ k=1
sin kx kx s¡ ci¡gªe?
21. Zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡ szeregów funkcyjnych
∑∞ n=1
xn(1− x) n
∑∞ n=1
xn(1− x) na przedziale [0, 1].
22∗.Udowodnij, »e funkcja f(x) =∑∞
n=1 1
x2−n2 jest ci¡gªa na R \ Z.
23∗.Sprawd¹, »e funkcja f(x) =∑∞
n=1
√xe−n2x jest ci¡gªa dla x ∈ (0, ∞) i nieci¡gªa w 0.
24∗.Wyznacz sum¦ szeregu funkcyjnego
∑∞ n=1
x2 (1 + x2)n i zbadaj, czy jest on zbie»ny jednostajnie na R.
25∗.Poka», »e szereg funkcyjny
∑∞ n=1
(−1)n x2 (1 + x2)n jest zbie»ny jednostajnie na R.
