Na odcinku drogi dªugo±ci 100km, kontrolowanym na ko«cach przez policj¦, obowi¡zuje ogra- niczenie pr¦dko±ci 90km/h

Analiza I, ISIM Lista zada« nr 8

1. Funkcja f(x) jest ci¡gªa na odcinku [0, 1] i speªnia warunki f(0) = 1 i f(1) = 0. Poka», »e istnieje x ∈ (0, 1) taki, »e f(x) = x.

2. Poka», »e ka»de z poni»szych równa« ma rozwi¡zanie w podanym przedziale x³− x − 5 = 0, [0, 2]; x = cos x, [0, π/2]; sin x = 1− x, [0, π/6].

3. Poka», »e wielomian p(x) = x³− 3x + 1 posiada trzy pierwiastki rzeczywiste.

4. Na odcinku drogi dªugo±ci 100km, kontrolowanym na ko«cach przez policj¦, obowi¡zuje ogra- niczenie pr¦dko±ci 90km/h. Samochód przejechaª ten odcinek w czasie 54 minut, przy czym na pocz¡tku i na ko«cu jechaª z przepisow¡ pr¦dko±ci¡. Kierowca otrzymaª mandat od policjanta, który stwierdziª, »e w pewnym momencie nast¡piªo przekroczenie pr¦dko±ci o dokªadnie 10km/h.

Czy policjant miaª racj¦?

5. Poka», »e dla dowolnej liczby a > 0 oraz liczb wymiernych w1, w2 zachodzi a^w1+w2 = a^w1a^w2. 6. Poka», »e dla dowolnej liczby a > 0 oraz liczb rzeczywistych x, y zachodzi

log_a(xy) = log_ax + log_ay.

7. Udowodnij wzory

sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y) cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y)

8. Oblicz granice

xlim→0

arcsin x

x lim

x→∞

(x− 1 x + 1

)x

xlim→0(1 + sin x)^1/x lim

x→0

1− e^−x sin x

xlim→0

sinh x

x lim

x→∞x(

log(x + 1)− log x)

xlim→∞

log(e^x+ 1)

x lim

x→0

log(cos x) x²

9. Korzystaj¡c z twierdzenia Darboux, udowodnij »e ka»dy niestaªy wielomian stopnia 3 ma pierwiastek. Poka», »e to samo jest prawd¡ dla dowolnego wielomianu nieparzystego stopnia.

10. Korzystaj¡c z twierdzenia Darboux poka», »e równanie x2^x = 1 na przynajmniej jedno rozwi¡zanie w przedziale (0, 1)

11. Znajd¹ wszystkie punkty nieci¡gªo±ci funkcji f(x) = m(

(−1)^[x]x)

i naszkicuj jej wykres.

12. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji f (x) ={x} + 1

2{2x} + 1

4{4x}, g(x) = lim

n→∞

nx

1 + nx,dla x ≥ 0.

13. Podaj przykªady funkcji okre±lonych na R takich, »e

• |f| jest ci¡gªa w ka»dym punkcie podczas, gdy f jest nieci¡gªa w ka»dym punkcie.

• f jest nieci¡gªa dokªadnie w punktach 1,¹₂,¹₃, . . . ,¹_n, . . ..

• f jest nieci¡gªa dokªadnie w punktach 0, 1,¹₂,¹₃, . . . ,_n¹, . . ..

14. Znajd¹ przykªad funkcji ci¡gªej na R takiej, »e f(x) ≥ 0 oraz f⁻¹({0}) = {0, 1, 1/4, 1/9, ..., 1/n², ...}.

15. Poka», »e funkcja speªniaj¡ca warunek |f(x) − f(y)| ≤ |x − y|^p, x, y ∈ R, p > 0, jest ci¡gªa w ka»dym punkcie

16. Poka», »e dla wielomianu W (x) stopnia parzystego istnieje liczba M taka, »e dla ka»dego c > M wielomian W (x) − c lub W (x) + c ma przynajmniej dwa miejsca zerowe.

17. Poka», »e dla wielomianu W (x) stopnia 3 istnieje liczba a taka, »e wielomian W (x) − ax ma trzy miejsca zerowe.

18. Dane jest równanie kwadratowe ax²+ bx + c = 0, w którym b > 0 i c s¡ ustalone. Poka»,

»e dla dostatecznie maªych |a| > 0 równanie to ma dwa pierwiastki x1(a) < x₂(a). Znajd¹ lima→0x1(a) i lima→0x2(a).

19. Znajd¹ wszystkie x, y ∈ R speªniaj¡ce równanie limn→∞ √ⁿ

|x|ⁿ+|y|ⁿ= 1. 20. Sprawd¹, »e dla |x| < 1

n→∞lim(1 + x)(1 + x²)(1 + x⁴)...(1 + x²ⁿ) = 1 1− x

21. Korzystaj¡c z twierdzenia o funkcji odwrotnej uzasadnij, »e funkcje arcsinx, arccosx oraz arctg s¡ ci¡gªe na przedziaªach [−1, 1], [−1, 1], (−∞, ∞) odpowiednio.

22. Oblicz granice

xlim→0

arctgx

x , lim

x→1⁻

(arccos x)²

1− x , lim

x→1⁻e

√1−x2 π/2−arcsin x

23. Udowodnij nierówno±¢ e^x ≥ ex dla x > 0. Poka», »e równo±¢ zachodzi jedynie dla x = 1.

Wywnioskuj, »e 2/3 < log 2 < 2/e.

24. Uzasadnij, »e dla dowolnego ϵ > 0, limx→0x^ϵlog x = 0.

25^∗. Udowodnij, »e funkcja f ci¡gªa w zerze i speªniaj¡ca warunek f(x + y) = f(x) + f(y), x, y∈ R jest postaci f(x) = cx.

26^∗.Poka», »e monotoniczna w przedziale [a, b] ma co najwy»ej przeliczalnie wiele punktów nie- ci¡gªo±ci.

27^∗.Skonstruuj funkcj¦ ±ci±le rosn¡c¡, która jest nieci¡gªa w punktach zadanego ci¡gu {an} 28^∗. f jest funkcj¡ ci¡gª¡ na przedziale [0, 1] oraz f(0) = f(1). Poka», »e dla ka»dego n ∈ N istnieje x, 0 ≤ x ≤ 1 taki, »e f(x) = f(x + 1/n). Czy to stwierdzenie jest równie» prawdziwe, gdy zamiast _n¹ rozwa»ymy dowoln¡ liczb¦ c, 0 < c < 1?

29^∗. Poka», »e je»eli f jest ci¡gªa na (a, b) oraz x1, x2, .., xn ∈ (a, b), to istnieje t ∈ (a, b) takie,

»e f(t) =_n¹(f (x1) + f (x2) + .. + f (xn)).

30^∗. f jest funkcj¡ ci¡gª¡ i ograniczon¡ na przedziale (a, ∞). Poka», »e dla dowolnej liczby T , istnieje ci¡g xn→ ∞ taki, »e

nlim→∞

(

f (xn+ T )− f(xn) )

= 0.

31^∗.Zapoznaj si¦ z rozdziaªami 4.5-4.7 skryptu prof. Strzeleckiego.