Wrocław, 15 wrze´snia 2014
LISTA POWTÓRKOWA 1: INDUKCJA MATEMATYCZNA
1. Dowied´z, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówno´s´c 8n ≤ 2n+ 16 .
2. Dowied´z, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równo´s´c 1
3+ 1 15+ 1
35+ 1 63+ 1
99+ . . . + 1
4n2− 1= n 2n + 1.
3. Dowied´z, ˙ze dla ka˙zdej liczby całkowitej dodatniej n zachodz ˛a nierówno´sci:
(n + 3) · Ã2n
n
!
> 4n,
Xn
i =1
i5<n3(n + 1)3
6 .
4. W miejsce kropek wstaw jeden ze znaków ≥, ≤, a nast˛epnie dowied´z, ˙ze dla ka˙zdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówno´s´c
(n + 2) · Ã2n
n
!
. . . 3 · 22n−1.
5. Przy ka˙zdym z poni˙zszych zda ´n w miejscu kropek postaw jedn ˛a z liter P, F, N:
P - jest Prawd ˛a (tzn. musi by´c prawdziwe) F - jest Fałszem (tzn. musi by´c fałszywe)
N - mo˙ze by´c prawdziwe lub fałszywe (tzn. Nie wiadomo, czasem bywa praw- dziwe, a czasem fałszywe).
O zdaniu T (n) wiadomo, ˙ze
• T (1) jest prawdziwe,
• dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi implikacja T (n) =⇒ T (n + 10),
• implikacja T (66) =⇒ T (77) jest fałszywa.
Wówczas:
(a) T (37) ...
(b) T (51) ...
(c) T (72) ...
(d) T (86) ...
(e) T (97) ...
(f ) T (10) =⇒ T (100) ...
(g) T (10) =⇒ T (106) ...
(h) T (16) =⇒ T (108) ...
(i) T (17) =⇒ T (109) ...
6. O zdaniu T (n) wiadomo, ˙ze
• T (1) jest prawdziwe,
• dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi implikacja T (n) =⇒ T (n + 2),
• implikacja T (102) =⇒ T (100) jest fałszywa.
Które zdania T (n) s ˛a prawdziwe, które fałszywe, a dla których prawdziwo´sci nie mo˙zemy stwierdzi´c?
7. Dowied´z, ˙ze dla ka˙zdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówno´s´c 2n·
Ã2n n
!
> 3 · 7n−1.
8. Dane s ˛a klocki o kształcie sze´scianu o wymiarach 2 × 2 × 2 z usuni˛etym naro˙zni- kiem 1 × 1 × 1. U˙zywaj ˛ac tych klocków zbuduj sze´scian o wymiarach 2n× 2n× 2nz usuni˛etym naro˙znikiem 1 × 1 × 1.
Marcin Preisner [ preisner@math.uni.wroc.pl ] . 1
