A

(1)

(2)

Nie h m

,

ⁿ

∈ N

^(m

,

ⁿ

6=

^0). ^m

×

ⁿ ^ma
ierz ^A^jest ^obiektem

zawieraj¡ ym li zby rze zywiste, skªadasi onaz mwierszy

oraz n kolumn.

Dla 1

≤

ⁱ

≤

^m ^oraz ¹

≤

^j

≤

^n,^wⁱ^-tym ^wierszu ^oraz ^w ^j^-tej

kolumnieznajduje si li zba,któr¡ bdziemyozna za¢ przez

α

i

,

^j

.

Ma ierzt mo»emyprzedstawi¢ nastpuj¡ o:

A

=



 α

1

,

¹

. . . α

1

,

ⁿ

. . . α

m

,

¹

. . . α

m

,

ⁿ





(3)

Sz zególnym rodzajemma ierzy s¡wektory,które równie»

bdziemynazywa¢ kolumnami. S¡to m

×

¹ ^ma
ierze,^zyli

ma ierzeskªadaj¡ e si tylko zjednejkolumny(oraz m

wierszy).

O zywi± ie takiwektorazapisujemy:

a

=



 α

1

. . . α

m





Li zb mbdziemy nazywa¢ wymiaremwektora, ali zby

α

i jegowspóªrzdnymi.

(4)

Drugimrodzajemma ierzy s¡wiersze. S¡to1

×

ⁿ ^ma
ierze.

Takwi wierszjestma ierz¡o jednymwierszu in kolumna h.

Podobniejak poprzednio wierszamo»emyprzedstawia¢w

posta i:

a

= α

1

. . . α

n

Poj ie wymiarui wspóªrzdnej stosujesi równie» do wierszy.

(5)

Ma ierze bdziemyozna za¢ du»ymiliterami A

,

^B

,

^C

,

^D

, . . .

^.

Nazwy wektor oraz kolumna bd¡ u»ywane wymiennie.

Kolumnyoraz wiersze bdziemy ozna za¢ maªymiliterami

a

,

^b

,

^d

, . . .

(ewentualnie zindeksami).

Zmienneprzebiegaj¡ eli zby rze zywistebdziemy ozna za¢

gre kimiliterami

α, β, γ, . . .

^. ^Li
zby rze zywistebdziemyte»

nazywa¢ skalarami.

Na przykªad, je±lim

×

ⁿ ^ma
ierz^A^ma^wiersze ^a1

, . . . ,

^a^m ^oraz

kolumnyb

1

, . . . ,

^bn

,tomo»emyj¡ przedstawi¢ nadwa

sposoby:

A

=

b

1

. . .

^bⁿ

=





a

1

. . .

a





(6)

Ma ierz¡transponowan¡ do m

×

ⁿ ^ma
ierzy^A

= (α

ⁱ

,

^j

)

^jest

n

×

^m ^ma
ierz^B

= (β

ⁱ

,

^j

)

^otrzymana^z ^A^przez^zamian

kolumniwierszy miejs ami, zyli

α

i

,

^j

= β

j

,

ⁱ

,

dla 1

≤

ⁱ

≤

^m ^oraz ¹

≤

^j

≤

^n.

Ma ierztransponowan¡ do ma ierzy Abdziemyozna za¢

przezA T

.

O zywi± ie mamyA

TT

=

^A.

Zauwa»my,»e transpozy jawierszaadaje kolumna T

,a

transpozy jakolumnyb dajewiersz b T

.

(7)







1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12







T

=





1 4 7 10

2 5 8 11

3 6 9 12





(8)

Je±lima ierz Amawierszea

1

. . . ,

^am

oraz kolumny b

1

, . . . ,

^bn to mamydwarównowa»ne przedstawienia ma ierzy A:

A

=

b

1

. . .

^bn

=

^a1^T

. . .

^a^T

m

^T

Prze hodz¡ w powy»szej reprezenta ji do ma ierzy

transponowanej dostajemy

A T

=

b

1

. . .

^bn

^T

=





b T

1

. . .

b T

n



 =

a T

1

. . .

^a^Tm

,

Powiemy,»e ma ierzAjestsymetry zna,je±liA

=

^A^T ^(
zyli

musiza hodzi¢

α

i

,

^j

= α

j

,

ⁱ

,dlawszystki h i

,

^j^). ^O
zywi±
ie

ma ierzsymetry zna musiby¢kwadratowa ( zylimaj¡ atyle

samo wierszy okolumn).

(9)

Dodawa¢mo»emytylkoma ierzetego samego typu.

Dodawaniejest wykonywane 'po wspóªrzdny h'. Nie h

A

= (α

i

,

^j

)

ⁱ ^B

= (β

i

,

^j

)

^bd¡ ^dwoma ^m

×

ⁿ ma ierzami.

Wów zas i hsuma jestma ierz¡ A

+

^B

= (γ

ⁱ

,

^j

)

^,^gdzie

γ

i

,

^j

= α

i

,

^j

+ β

i

,

^j

dla 1

≤

ⁱ

≤

^m ^oraz ¹

≤

^j

≤

^n.

Mamy o zywi± iedla dowolny h ma ierzyA

,

^B,

(

^A

+

^B

)

^T

=

^A^T

+

^B^T

.

(10)

Je±liA jestma ierz¡oraz

α ∈ R

^jest^dowoln¡ ^li
zb¡

rze zywist¡,to wynikiempomno»eniaAprzezskalar

α

^jest

ma ierz

α

Âôtrzymana^z Â^przez^pomno»enie ^ka»dego

elementu przez

α

^.

Przyjmujemy,»eA

α

^jest^tym^samym ^o

α

^A.

Dla dowolnej ma ierzyA iskalara

α

^,^mamy

(α

^A

)

^T

= α

^A^T

(11)

Fundamentaln¡ opera j¡ nama ierza hjest mno»enie. Je±li

A

= (α

i

,

^j

)

^jest^m

×

ⁿ ^ma
ierz¡,^a^B

= (β

i

,

^j

)

^jestⁿ

×

^k

ma ierz¡ ( zylili zba kolumnma ierzyA musiby¢równa

li zbiewierszy ma ierzyB),towynikmno»eniaAprzez B,

ozna zany przezAB,jestm

×

^k ^ma
ierz¡.

Najpierw zdeniujemy ilo zyn skalarny...

(12)

Nie h

α

1

. . . α

ⁿ

bdziewierszem,oraznie h

β

1

. . . β

n

^T

bdziekolumn¡. Wów zas ilo zyn sklarny

wierszaprzez kolumnjestli zba

α

1

. . . α

n



 β

¹

. . . β

n



 = α

1

β

1

+ . . . + α

n

β

n

Zatemje±lia

,

^b ^s¡^wektorami ^tego ^samego ^wymiaru, ^to^i
h

ilo zynskalarnya T

b

∈ R

^jest ^li
zb¡rze zywist¡.

(13)

Je±liA

= (α

i

,

^j

)

^jest^m

×

ⁿ ^ma
ierz¡,^a ^B

= (β

i

,

^j

)

^jestⁿ

×

^k

ma ierz¡, toi h ilo zyn AB

= (γ

i

,

^j

)

^jest^m

×

^k ^ma
ierz¡, ^w

którejelement

γ

i

,

^j

jestrówny ilo zynowiskalarnemui-tego

wierszama ierzy Aprzezj-t¡ kolumnma ierzy B, zyli

γ

i

,

^j

= α

i

,

¹

β

1

,

^j

+ . . . + α

i

,

ⁿ

β

n

,

^j

=

n

X

p

=

1

α

i

,

^p

β

p

,

^j

.

Twierdzenie 2.2Nie h a

1

, . . . ,

^am

bd¡ wierszamima ierzyA

inie h b

1

, . . . ,

^bk

bd¡ kolumnami ma ierzyB. Wów zas

(a) i-tymwierszemma ierzyAB jesta

i

B. Zatem

AB

=





a

1 B

. . .

a

m B





(14)

Ilo zynwierszaprzezma ierzoraz ilo zyn ma ierzyprzezkolumn

mo»na przedstawi¢ nastpuj¡ o.

(a) Nie h a

= α

1

. . . α

n

bdziewierszemwymiarun oraz

nie h B bdzien

×

^k ^ma
ierz¡^o ^wiersza
h ^b1

, . . . ,

^bn .

Wów zas aB jestwierszem wymiaruk oraz

aB

=

n

X

i

=

1

α

i b

i

.

(b) Nie h Abdziem

×

ⁿ ^ma
ierz¡ ^o ^kolumna
h1

, . . . ,

n

. Nie h

b

= β

1

. . . β

n

^T

bdziewektoremn-wymiarowym.

Wów zas Ab jestwektoremwymiaru moraz

Ab

=

n

X

i

=

1

β

ⁱⁱ

.

(15)

Nie h Abdzien

×

^k ^ma
ierz¡ ^o ^kolumna
h ^a1

, . . . ,

^ak

oraz nie h

B bdziek

×

^m ^ma
ierz¡ ^o^wiersza
h ^b1

, . . . ,

^bk

. Wów zas

AB

=

k

X

i

=

1 a

i b

i

.

(16)

Dla 1

≤

ⁱ

≤

^n,^nie
h^eⁿ

i

bdzien-wymiarowym wektorem

maj¡ ym wszystkiewspóªrzdne 0,zawyj¡tkiem i-tej

wspóªrzdnej, która mawarto±¢1. Indeks n zwykle bdziemy

opusz za¢. Wektorye

i

bdziemynazywa¢ wektorami

jednostkowymi.

Jak wynikaz Twierdzenia2.3 dladowolnej n

×

ⁿ ^ma
ierzy^A,

wiersz e T

i

Ajesti-tymwierszem ma ierzyA, akolumnaAe

i

jesti-t¡kolumn¡A.

Zatemje±liI

=

e n

1

. . .

^enⁿ

todla ka»dej n

×

^m ^ma
ierzy^A

mamy IA

=

^A. ^Podobnie,^dla^ka»dej^m

×

ⁿ ^ma
ierzy ^B ^mamy

BI

=

^B^.

Ma ierzI bdziemy nazywa¢ ma ierz¡identy zno± iow¡

(17)

Rozwa»my ma ierz

P

1

,

³

=





0 0 1

0 1 0

1 0 0



 = [

^e3³ e

3

2 e

3

1

]

wynikpomno»eniaP

1

,

³

przezdowoln¡3

×

³ ^ma
ierz^A^daje^ma
ierz

A zzamienionymiwierszamipierwszymitrze im. Natomiast

efektem pomno»eniaAprzez P

1

,

³

jestma ierzA zzamienionymi

kolumnamipierwsz¡ itrze ia.

(18)

Zatemmno»enie ma ierzyw ogólno± inie jestopera j¡

przemienn¡:





0 0 1

0 1 0

1 0 0









1 2 3

4 5 6

7 8 9



 =





7 8 9

4 5 6

1 2 3



 ,

ale





1 2 3

4 5 6

7 8 9









0 0 1

0 1 0

1 0 0



 =





3 2 1

6 5 4

9 8 7



 .

Ma ierz¡ permuta yjn¡ nazywamy ka»d¡ n

×

ⁿ ^ma
ierz^P^,

którejwszystkiekolumnys¡ n-wymiarowymi parami ró»nymi

wektorami jednostkowymi. Dladowolnejn

×

^m ^ma
ierzy^A,

PAjestma ierz¡ powstaª¡ zAprzez permuta j jejwierszy.

Podobnie,dladowolnejm

×

ⁿ ^ma
ierzy^B,^BP ^jest^ma
ierz¡

powstaª¡ zB przezpermuta j jejkolumn.

(19)

Jako kolejny przykªad rozwa»my ma ierz

C

=





1 0 0

5 1 0

0 0 1





Jak wynikaz Twierdze«2.2i2.3, dladowolnej 3

×

ⁿ ^ma
ierzy

A, ilo zynCAjestma ierz¡ otrzyman¡z Aprzezzast¡pienie

drugiegowiersza sum¡wierszapierwszego pomno»onego przez

5 oraz wierszadrugiego.

Zauwa»my,»e C mo»naprzedstawi¢nastpuj¡ o w posta i

kolumnowej

C

= [

^e1

+

^5e2 e

2 e

3

]

Zauwa»my te»,»e dladowolnejm

×

³ ^ma
ierzy^B^,^ilo
zyn^BC

(20)

Powy»szy przykªad opisuje wjzyku ma ierzowym podstawowy

krokmetodyelimina jiGaussa: dodawanie wiersza

pomno»onego przezskalardo innegowiersza. Zo zywisty h

powodówta klasama ierzy zasªuguje na nazw. Elementarn¡

ma ierz¡ nazwiemyka»d¡n

×

ⁿ ^ma
ierz^E,^której

reprezenta ja kolumnowawygl¡da nastpuj¡ o: istniej¡dwa

indeksy 1

≤

ⁱ

<

^j

≤

ⁿ ^oraz^skalar

α ∈ R

^,^takie^»e

E

= [

^e1

· · ·

^ei

−

¹ ^eⁱ

+ α

^ej e

i

+

1

· · ·

^en

]

Dla dowolnej n

×

^m^ma
ierzy Â,îlo
zynÊA^jest^ma
ierz¡

otrzyman¡ zAprzezdodanie do wierszaj-tegoma ierzy A

wierszai-tegopomno»onego przez

α

^. ^Mamy ^te» ^dla^dowolnej

m

×

ⁿ ^ma
ierzy^B,^ilo
zyn^BE ^jest^ma
ierz¡ ^otrzyman¡^z^B

przezdodanie do i-tejkolumny j-tejkolumny pomno»onej

przez

α

^.

(21)

Jak wygl¡daj¡ ma ierze, wiersze,wektory?

Opera jatranspozy jima ierzy.

Opera jadodawania ma ierzy.

Opera jamno»eniama ierzy przezskalar.

Ilo zyn skalarny oraz ogólnadeni ja mno»eniama ierzy.

Dla wektorów n wymiarowy ha

,

^b,îlo
zynâ^T^b ^jest ^li
zb¡,â

ilo zynab T

jestn

×

ⁿ ^ma
ierz¡.

Jak wygl¡daj¡ ma ierzepermuta yjne ijakiejesti h dziaªanie

na dowoln¡ ma ierz?

Jak wygl¡daj¡ ma ierzeelementarne ijakiejesti h dziaªanie

na dowoln¡ ma ierz?