A

(1)

(2)

Grafy skierowane skªadaj¡si ze zbioruwierz hoªków, w

którympewnewierz hoªki s¡poª¡ zoneskierowanymi

krawdziami. Przykªadem takiegografu jestsko« zony graf

peªny,w którymka»dapara wierz hoªków jestpoª¡ zona

krawdzi¡ skierowan¡.

Nie h G bdziegrafemskierowanym on wierz hoªka h

{

¹

, . . . ,

ⁿ

}

^. ^Ma
ierz¡^s¡siedztwa^dla^grafu ^G ^jestⁿ

×

ⁿ

ma ierzA

= (α

i

,^j

)

^taka^»e^dla wierz hoªków i

,

^j ^element

α

i

,^j

jestrówny 1,gdyw G istniejekrawd¹ zi do j;wprze iwnym

przypadku

α

i,^j

=

^0.

(3)

Zauwa»my,»e w ma ierzyA 2

element

β

i

,^j

znajduj¡ ysi w

i-tymwierszu oraz j-tej kolumniema ierzy A 2

przedstawia

li zb drógw G dªugo± i 2od i do j.

Wynikato naty hmiast zdeni jimno»eniama ierzy:

β

i

,^j

=

n

X

k=1

α

i

,^k

α

k

,^j

,

bowiemi-tywiersz ma ierzyAprzedstawiawszystkie

wierz hoªki grafu, do który h mo»na przej±¢wjednym krokuz

wierz hoªkao numerzei (s¡ towierz hoªki odpowiadaj¡ e

pozy jom wierszazawieraj¡ ym 1),natomiastj-ta kolumna

ma ierzy Aprzedstawia wszystkiewierz hoªki grafu,z który h

mo»na doj±¢ wjednym krokudo wierz hoªkao numerzej.

W ogólno± i,A m

przedstawia li zbydróg dªugo± i m ª¡ z¡ y h

parzadany h wierz hoªków.

(4)

Przykªadowo, dlagrafupeªnegon-elementowego n

×

ⁿ ^ma
ierz

s¡siedztwaAskªada siz samy hjedynek. Mamy wów zas

o zywi± ie

A 2

=

^nA

iogólnie:

A

m

=

ⁿ^m⁻¹^A

(5)

Na zako« zenie tej z± irozwa»my nastpuj¡ ¡ bardzo prost¡

ma ierzs¡siedztwaF:

F

=

1 1

1 0

Jest toma ierzdwuelementowego grafu:

1 2

Wyzna zymy li zb drógdowolnej dªugo± i pomidzyka»d¡

par¡ wierz hoªków.

(6)

Przypomnijmy,»e i¡gFibona iegojestzdeniowany

nastpuj¡ o:

f

0

=

⁰

,

^f¹

=

¹

,

^fⁿ

=

^fⁿ₋¹

+

^fⁿ₋²

(

^dla ⁿ

≥

²

)

Zauwa»my,»e dlan

≥

¹^mamy:

F n

=

f

n+1 f

n

f

n f

n−¹

Rze zywi± ie, dla n

=

¹ ^powy»sza ^równo±¢ ^za
hodzi ^oraz ^FFⁿ

jestrówne

1 1

1 0

f

n+1 f

n

f

n f

n−¹

=

f

n+1

+

^fn f

n

+

^fn−¹

f

n+1

f

n

=

f

n+2 f

n+1 f

n

(7)

Nie h G bdziesko« zonym grafemskierowanym o ma ierzy

s¡siedztwaA. Wierszi-tyma ierzy Azawiera informa j o

wszystki h wierz hoªka h,do który h mo»emyprzej±¢z

wierz hoªkai poruszaj¡ sipo krawdzia hgrafu zgodnie z

i h kierunkiem (pozy je,na który h znajduj¡ sijedynki w tym

wierszu).

Nie h n

i

bdzieli zb¡ taki hwierz hoªków, zylisum¡

wszystki h jedynekznajduj¡ y h si wtymwierszu. Nie h P

bdziema ierz¡ otrzyman¡z Aprzezpomno»enieka»dego

i-tegowierszaAprzezli zb 1

/

ⁿi .

Interpreta ja ma ierzyP jestteraz inna: bd¡ w wierz hoªku

i grafuG,zprawdopodobie«stwem 1

/

ⁿi

prze hodzimydo

jednego z jego's¡siadów'. Takipro es nazywamy bª¡dzeniem

losowym po grae,ama ierzP nazywamy ma ierz¡

przej± ia dlatego pro esu.

(8)

Ma ierzP matwªasno±¢, »e sumawszystki h elementów

znajduj¡ y h si wdowolnymwierszu jestrówna 1. Takie

ma ierzes¡ nazywane ma ierzamisto hasty znymi.

Rozumuj¡ podobniejak poprzednio mo»emystwierdzi¢,»e w

ma ierzy P m

warto±¢ stoj¡ a wi-tym wierszuoraz j-tej

kolumniejestprawdopodobie«stwem przej± ia zwierz hoªka i

do wierz hoªkaj wm kroka h.

(9)

Twierdzenie 2.9 (Rozdzielno±¢ mno»eniawzgldem

dodawania) Nie hA

,

^B ^bd¡^dowolnymi^m

×

ⁿ ma ierzami.

(a) Dla dowolnej n

×

^k ^ma
ierzy ^C ^mamy

(

^A

+

^B

)

^C

=

^AC

+

^BC

(b) Dla dowolnej k

×

^m ^ma
ierzy^D ^mamy

D

(

^A

+

^B

) =

^DA

+

^DB

Dowód: wynikanaty hmiastzrozdzielno± imno»enia wzgldem

dodawania dlali zb rze zywisty h.

(10)

Twierdzenie 2.10 (¡ zno±¢ mno»enia ma ierzy)Je±li

A

= (α

i,^j

)

^jest^m

×

ⁿ ^ma
ierz¡,^B

= (β

i,^j

)

^jestⁿ

×

^k ^ma
ierz¡,^a

C

= (γ

i

,^j

)

^jest^k

×

^p ^ma
ierz¡,^to

A

(

^BC

) = (

^AB

)

^C

Dowód: Nie h

δ

i,^j

oraz

ξ

i,^j

ozna zaj¡ element

(

ⁱ

,

^j

)

^z^lewejⁱ^prawej

ma ierzy wpowy»szej równo± i. Mamy

δ

i

,^j

=

n

X

l=1

α

i

,^l

^k

X

q=1

β

l

,^q

γ

q

,^j

=

n

X

l=1 k

X

q=1

α

i

,^l

(β

l

,^q

γ

q

,^j

)

=

k

X

q=1 n

X

l=1

(α

i

,^l

β

l

,^q

)γ

q

,^j

=

k

X

q=1

ⁿ

X

l=1

α

i

,^l

β

l

,^q

γ

q

,^j

= ξ

i

,^j

.

(11)

Twierdzenie 2.11 (Transpozy ja ilo zynu ma ierzy)Dla

dowolnejm

×

ⁿ ^ma
ierzy^A^oraz ⁿ

×

^k ^ma
ierzy ^B ^mamy

(

^AB

)

^T

=

^B^T^A^T

Dowód: Najpierw poka»emy prawdziwo±¢ twierdzenia gdyma ierz

A jestn wymiarowymwierszem a

= α

¹

. . . α

ⁿ

. Nie h

B

=

b T

1

. . .

^bn^T

^T

bdzieprzedstawieniemma ierzy B przy

pomo ywierszy b

i

. Wów zas z Twierdzenia 2.3wynika

aB

=

n

X

i=1

α

ⁱ^bⁱ

Zatem

(

^aB

)

^T

= (

n

X

i=1

α

i b

i

)

^T

=

n

X

i=1

α

i b

T

i

=

^B^T^a^T

(12)

Terazmo»emyuzasadni¢ twierdzeniedla przypadku gdyAjest

dowoln¡ m

×

ⁿ ^ma
ierz¡. ^Nie
h ^A

=

a T

1

. . .

^am^T

^T

bdzie

przedstawieniemma ierzyprzy pomo ywierszy. Stosuj¡

Twierdzenie2.2) mamy

(

^AB

)

^T

=





a

1 B

. . .

a

m B





T

= (

^a¹^B

)

^T

. . . (

^am B

)

^T

=

B T

a T

1

. . .

^B^T^a^Tm

=

^B^T^A^T

.

(13)

Przyjmijmy ozna zenie,»e element

α

ⁱ,^j

ma ierzyAjestelementem

α

^′

j,ⁱ

ma ierzy A T

. Mamy wi

α

^′

i,^j

= α

^j,ⁱ

. Nie h A

= (α

ⁱ,^j

)

^oraz

B

= (β

i,^j

)

^. ^Nie
h

γ

^′

i,^j

bdzie elementemma ierzy

(

^AB

)

^T

znajduj¡ ym siw wierszu i oraz kolumnie j.

Wów zas

γ

i^′

,^j

= γ

^j,ⁱ

=

n

X

p=1

α

^j,^p

β

^p,ⁱ

=

n

X

p=1

β

i^′

,^p

α

^′p

,^j

.

(14)

Nie h Abdzien

×

ⁿ ^ma
ierz¡. ^Ma
ierz^B ^nazwiemy

odwrotn¡ do ma ierzyA, je±li

AB

=

^I

=

^BA

Zauwa»my,»e je±liB i C s¡ ma ierzamiodwrotnymi do A,to

C

=

^IC

= (

^BA

)

^C

=

^B

(

^AC

) =

^BI

=

^B

.

Zatemka»dama ierzma o najwy»ej jedn¡ma ierzodwrotn¡.

Ma ierzodwrotn¡ doA, o ileistnieje,ozna zamy A

−¹

.

Ma ierzposiadaj¡ ¡ ma ierzodwrotn¡bdziemynazywali

ma ierz¡ odwra aln¡.

(15)

We¹myna przykªad ma ierz

A

=

1 1

Gdyby dlajakiej±ma ierzy B miaªoby¢AB

=

^I^,^to^suma ^obu

wierszy B musiby¢ zjednejstronyrówna wierszowi

[

¹

,

⁰

]

^,^a^z

drugiej musiaªaby by¢równa wierszowi

[

⁰

,

¹

]

^,^o ^jestniemo»liwe.

(16)

Ma ierz permuta yjna P

1,³ ^jest ^odwrotna ^do ^samej ^siebie

P

1,³

=





0 0 1

0 1 0

1 0 0





jestodwrotnado samejsiebie, bowiem P

1,³

P

1,³

=

^I^.

Istotnie,zamiana wierszy pierwszegoitrze iego wykonana na

P

1,³

dajema ierzidenty zno± iow¡.

(17)

Ma ierz¡odwrotn¡do ma ierzy elementarnej

C

=





1 0 0

5 1 0

0 0 1





jest

C

−¹

=





1 0 0

−

⁵ ¹ ⁰

0 0 1





bo odwrotn¡ opera j¡do dodawaniawierszapomno»onego

przezstaª¡jestodj ie tegowierszapomno»onego przezt

staª¡.

Mamy wi wogólno± i wªasno±¢, »e ka»da ma ierz

elementarnajest odwra alna.

(18)

Powiemy,»e n

×

ⁿ ^ma
ierz^D

= (δ

ⁱ,^j

)

^jest ^ma
ierz¡

przek¡tniow¡,gdy wszystkieelementy le»¡ e pozaprzek¡tn¡

s¡ równe zero, zyligdy

δ

i

,^j

=

^0,^dla ⁱ

6=

^j^.

Twierdzenie 2.15Ma ierz przek¡tniowa D jest odwra alna

wtedy itylko wtedy,gdy wszystkieelementy znajduj¡ e si na

przek¡tnej s¡ ró»ne od zera.

Szki dowodu: je±liktóry± elementnaprzek¡tnej jestrówny

0,to dla»adnej ma ierzyAnie mo»e zaj±¢DA

=

^I. ^Na

odwrót, je±li

δ

i

,ⁱ

6=

⁰ ^dla¹

≤

ⁱ

≤

^n,^to,^jak ^ªatwo ^sprawdzi¢,

ma ierzprzek¡tniowa D

′

,wktórejna i-tym miejs una

przek¡tnej znajduje si

δ

⁻¹

i,ⁱ

jestodwrotna do D.

(19)

Twierdzenie 2.16:

(a) Je±lima ierze AiB s¡odwra alne, toAB jestte»odwra alna

oraz

(

^AB

)

⁻¹

=

^B⁻¹^A⁻¹

.

Dowód:

(

^AB

)(

^B⁻¹^A⁻¹

) =

^ABB⁻¹^A⁻¹

=

^AIA⁻¹

=

^I

.

Pierwsza równo±¢wynika zª¡ zno± imno»eniama ierzy. W

podobny sposóbobli zamy

(

^B⁻¹^A⁻¹

)(

^AB

)

^.

(20)

Twierdzenie 2.16:

(b) Je±lima ierzA jestodwra alna, toma ierzA T

te»jest

odwra alnaoraz

(

^A^T

)

⁻¹

= (

^A⁻¹

)

^T

.

Dowód: Na mo yTwierdzenia 2.11 mamy

(

^A⁻¹

)

^T^A^T

= (

^AA⁻¹

)

^T

=

^I^T

=

^I^. ^Podobnie ^pokazujemy

A

T

(

^A⁻¹

)

^T

=

^I^.

(21)

Jak wygl¡daj¡ ma ierzes¡siedztwadlagrafów skierowany h i

jakajestinterpreta jaelementów wm-tejpotdze ma ierzy

s¡siedztwa?

Podstawowe wªasno± iopera jina ma ierza h

rozdzielno±¢mno»eniama ierzywzgldemdodawania,

ª¡ zno±¢opera jimno»enia,

wªasno±¢transpozy jiilo zynu ma ierzy.

Deni ja ma ierzyodwrotnej.

Znajdowanie ma ierzyodwrotnejdo ma ierzyelementarnej.

Znajdowanie ma ierzyodwrotnejdo ma ierzyprzek¡tniowej.

Ma ierzodwrotna dlailo zynuma ierzy.

Ma ierzodwrotna atranspozy ja ma ierzy.

A

{

, . . . ,

}

×

= (α

)

,

α

α

=

β

β

=

X

α

α

,

×

=

=

=





1 2

=

,

=

,

=

+

(

≥

)

≥

=





=



 



=



+

+



=





/

/

,

×

×

(

+

)

=

+

×

(

+

) =

+

= (α

)

×

= (β

)

×

= (γ

)

×

(

) = (

)

δ

ξ

(

γ