Podstawowe twierdzenia o funkcjach ciągłych

(1)

Spójne przestrzenie metryczne

Def. Przestrzeń metryczną (X,) nazywamy spójną jeżeli nie da się jej przedstawić w postaci sumy dwóch zbiorów niepustych, otwartych, rozłącznych.

) ,

(X  - przestrzeń spójna

































2 1

,

~ ,

X X

X X X

otwarte

Inaczej X jest zbiorem spójnym jeżeli dla dowolnych punktów x₁,x₂X istnieje droga łącząca

2 1, x

x , czyli istnieje ciągła funkcja :[a,b]X:(a)=x₁ i (b)=x₂

Tw. Ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym Y

X f : 

) ,

(X  - przestrzeń spójna f - ciągła

] [X

 f







jest przestrzenią spójną

Dow: (a.a.) f[X] nie jest przestrzenią spójną, czyli istnieją Y₁,Y₂ Y otwarte w f[X] , takie, że: f[X]

=Y₁Y₂, Y₁, Y₂, Y₁Y₂=. Stąd X= f^-1[f[X]]=f^-1(Y₁)f ^-1(Y₂) , czyli przestrzeń X jest sumą dwóch zbiorów niepustych, otwartych i rozłącznych (z własności przeciwobrazu), co prowadzi do sprzeczności.

Podstawowe twierdzenia o funkcjach ciągłych

Tw. (Weierstrassa) R X

f :  - ciągła na X

X – przestrzeń metryczna zwarta



 



f – ograniczona na X

) ( inf ) (

) ( sup ) ( :

2 1 ,2

1 f x f x

x f x

f

X x

X X x

x x



  

 

Dowód jest natychmiastową konsekwencją faktu, że f[X] jest zwartym podzbiorem R, czyli ograniczonym i domkniętym wiec zawierającym w sobie swoje ograniczenia (czyli kresy).

Tw. (Darboux) (o przyjmowaniu wartości pośrednich)

Jeżeli f :X R - ciągła i X – przestrzeń metryczna spójna to )

( )

( ₁ ₂

,₂

1_x _X _y _R f x y f x _x _X y f x

x     

 _ _ _

Dowód jest natychmiastową konsekwencją faktu, że ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem

(2)

Tw: (o lokalnym zachowaniu znaku )

Jeżeli funkcja f: XAR - ciągła na zbiorze otwartym A , x₀A i f(x₀)>0 , to istnieje otoczenie punktu x₀ (powiedzmy K(x₀,)) takie, że x K(x₀,) f(x)>0.

Dowód. Ponieważ f(x0)>0, więc >0 0< f(x0)-  . Z ciągłości f  zbiór f ^–1[(f(x0)- , f(x0)+ )] jest otwarty w X a więc f ^–1[(f(x₀)- , f(x₀)+ )]A jest również otwarty. Stąd >0

K(x₀,) f ^–1[(f(x₀)- , f(x₀)+ )]. Wobec tego >0 x K(x₀, ) f(x)>0 (bo f(x)(f(x0)- , f(x0)+ ) )

Tw. (Cantora) Jeżeli

 X – przestrzeń metryczna zwarta

 Y – dowolna przestrzeń metryczna

 f :X Y - ciągła na X to f jest jednostajnie ciągła na X.

Inaczej. Funkcja ciągła określona na przestrzeni metrycznej zwartej jest jednostajnie ciągła.

Dow: (a.a.) Nieprawda, że f jest jednostajnie ciągła 

 



^_ ^_ ^ ^   ( , ')^ ^ ( ), ( ') ^



^

~ ₀ ₀ _x _X _x_' _X _x x x _y f x f x

 







 

      

 _₀ _₀ _x__X _x_'__X _x(x,x') _y f(x),f(x') Dla każdego  , czyli w szczególności dla n

1

 też  istnieją ciągi (x_n), (x_n^' ) takie, że _X(x_n,x_n^')¹_n i _Y(f(x_n),f(x_n^'))

(istnieje takie ).

Ponieważ (xn ) jest ciągiem w zwartej przestrzeni metrycznej X, więc można z niego wybrać podciąg zbieżny

nk

x a. Z warunku trójkąta mamy (x^' ,a) (x^' ,x ) (x ,a)

k k

k

k X n n X n

n

X  

  

skąd wynika, że x a

n^'k  . Z ciągłości funkcji f mamy f(x ) f(a)

nk  i f(x^' ) f(a)

nk  , więc z ciągłości metryki ( ( ), ( ^' ))0)

k

k n

n

Y f x f x

 , co przeczy warunkowi _Y(f(x_n),f(x_n^')) n

Tw: (o ciągłości funkcji odwrotnej) Jeżeli

 X – przestrzeń metryczna zwarta, Y – przestrzeń metryczna

 funkcja f: XY - ciągła na X

 f - różnowartościowa to f^-1 istnieje i jest ciągła na f[X].

Dowód. Aby dowieść ciągłości funkcji g=f^–1 wystarczy pokazać, że dla dowolnego zbioru domkniętego AX zbiór g^–1[A]=f[A] jest domknięty w Y . Jest to oczywiste, bo zbiór A jest zwarty (domknięty podzbiór przestrzeni zwartej) więc f[A] jest również zwarty (ciągły obraz zbioru zwartego) a więc domknięty w Y.

Uwaga. Założenie zwartości X jest istotne. Np. f :[0,2)R²







 t t y

t t

x

sin ) (

cos )

( . Rysunek

(3)

Pochodna Frecheta (pochodna mocna)

Niech (X,  _x) i (Y,  _y)przestrzeniami unormowanymi nad tym samym ciałem, a A:X Y odwzorowaniem (operatorem) liniowym przestrzeni X w Y .

Def. Odwzorowanie liniowe A:X Y nazywamy ograniczonym jeżeli istnieje stała L0 taka, że dla każdego wektora xX prawdziwa jest nierówność Ax _yL x _x .

Ograniczoność odwzorowania liniowego A:X Y w oczywisty sposób implikuje jego ciągłość . Z liniowości wynika że ciągłość odwzorowania liniowego w dowolnym punkcie jest równoważna jego ciągłości w punkcie 0. Z ciągłości odwzorowania A w punkcie 0 wynika, że dla każdego wektora x o normie x  mamy Ax 1. Stąd dla dowolnego x0 mamy Ax  A _x^x  _^x  A ^x_x  _^x  _^x bo A _x^x  1.

Zbiór odwzorowań liniowych i ograniczonych B(X,Y) przestrzeni X w Y jest przestrzenią liniową w której wprowadzamy normę

} {

inf _y _x

L A L

A  x  x .

Łatwo pokazać, że rzeczywiście są w tym przypadku spełnione postulaty normy.

Można pokazać, że

A A x

_y

x

{ sup

1



Uwaga. Nie każde odwzorowanie liniowe jest ograniczone (ciągłe). Na przykład odwzorowanie )

( ) )(

(Ax t  _dt^d x t określone na 1 [⁰0,1] ]

1 , 0

[ C

C  jest liniowe, ale nie jest ograniczone, bo dla ciągu jednomianów x_n(t)tⁿo normie 1 mamy(Ax_n)(t)ntⁿ^¹, więc Ax_n  n .

Niech

( X ,

_x

)

i (Y, _y) będą przestrzeniami Banacha ,

D  X

, D-otwarty, xD.

Def: Odwzorowanie

f : X  D  Y

nazywamy różniczkowalnym w sensie Frecheta w punkcie

 D

x

jeżeli istnieje odwzorowanie liniowe ciągłe A_x:X Y takie, że _h__X :xhD zachodzi f(xh) f(x)A_xhr(x,h), przy czym

lim

⁽ ^, ⁾

 0

 x

r y

h h

h x

0 .

Odwzorowanie A_x nazywamy pochodną Frecheta funkcji f w punkcie

x

i oznaczamy

f  (x )

lub

)

(x df

.

Wartość odwzorowania A_x na przyroście (wektorze) hX nazywamy różniczką odwzorowania f przy danym przyroście i oznaczamy A_xhdf(x,h)df(x)h.

Wiadomo z kursu algebry, że przypadku przestrzeni liniowych o skończonym wymiarze odwzorowanie liniowe A_x jest reprezentowane przez macierz. W przypadku przestrzeni euklidesowych przyjmujemy standardowo bazy kanoniczne i przekształcenie liniowe utożsamiamy z macierzą reprezentującą to przekształcenia w bazach kanonicznych

.

(4)

Gdy f jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru D, to mówimy, że odwzorowanie f jest różniczkowalne na D a odwzorowanie

f  : x  D  X  f  ( x )  L ( X , Y )

[L(X,Y)- zbiór funkcji liniowych ciągłych:X Y] nazywamy pochodną odwzorowania f.

Tw. Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie

x

, to jest ona ciągła w punkcie

x

.

Jest to natychmiastowa konsekwencja definicji różniczkowalności

Przypadek szczególny

R

D R

f :

ⁿ

 

, D-otwarty,

x  D

) , ( )

( )

(x h f x _xh r x h

f     ,

( , ) 0

lim

0





h

h x r

h T

x

n

x ,..., ) (

₁



x

A

_x

  A ,...,

₁

A

_n



h(h₁,...,h_n)^T

 ,...,  ( ) )

( x A

₁

A df x

f  

_n



 

















 



n n

h h A A f

df

df 

1 1,...,

) ( )

( ) ,

(x h x h x h

Macierz wierszową (wektor)

 A ,...,

₁

A

_n



nazywamy gradientem funkcji f w punkcie

x

i oznaczamy

 A A

_n



f ( ) ,...,

grad x 

₁ .

Inny przypadek szczególny Rn

b a R

f : ( , ) ;



















) (

) ( ) (

1

x f

x f x f

n

 ( ) ( ) ( , )

1

h x r h A A x f h x f

n























 

( , ) 0

h  h x r

Funkcję f interpretujemy jako równanie parametryczne krzywej w

R

ⁿ, a x jako czas.

Okaże się, że wektor

















An

A



1

jest styczny do krzywej o równaniu parametrycznym

r   f (x )

.

POCHODNE CZĄSTKOWE I KIERUNKOWE

R

D R

f :

ⁿ

 

,

D

- otwarty,

x  ( x

₁

,..., x

_n

)  D

Def. Pochodną cząstkową funkcji f w punkcie

x

względem i-tej zmiennej (czyli

x

_i) nazywamy skończoną (o ile istnieje) granicę

) ( ) ) (

,..., ,..., ( ) ,..., ,...,

lim ( ¹ ¹

0 x _i x

i x

i df

i

n i n

i i

h f

x f h

x x x f x h x x

f  



 







Def. Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie

x

w kierunku wektora k (zwykle przyjmuje się, 0 że k 1, czyli w kierunku wersora) nazywamy skończoną (o ile istnieje) granicę

) ( ) ) (

( ) lim (

0

x k x f x x

k

  

 





df

t

f t

f

.

Uwaga 1.

 ( t )  f ( x t  k )

- funkcja jednej zmiennej

(5)

Uwaga 2. Pochodna cząstkowa jest szczególnym przypadkiem pochodnej kierunkowej w kierunku i- tego wersora bazy kanonicznej

( x )

_e

( x )

f

i

x f

i

 



Pochodne cząstkowe i kierunkowe a różniczkowalność.

Załóżmy, że

f : R

ⁿ

 D  R

, D- otwarty,

x  ( x

₁

,..., x

_n

)  D

jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie

x

. Wówczas

) , ( )

( ) ( )

( x t k f x f x t k r x t k

f      

:t

r ( x t , k ) 

ơ( kt )

t t r t

f t

f ( , )

) ) (

( )

( x k

k x x f

k

x      

) 0 , ) (

,

(  k 

k k k x

x

t t r t

t

r

, gdy t0 

f

_k^'

( x )  f

^'

( x ) k

Niech e_i- i-ty wektor bazy kanonicznej

 



















 

 



0 1 0 ,..., )

( )

( ₁ _n

i

A A x f

f

i x

x _e {i-te miejsce }

 A

_i

 

 







 

 ( ) ( ),..., ( )

) (

1

x x

x grad x

x

n

f x

f f f'

Ogólnie dla

f : R

ⁿ

 D  R

^m





















 ^m

j

j j m

f f

f

1 1

) ( )

( ) ( )

( x e

x x x

f 

n n m

m m

n

x f x

f

x f x

f





 







 







 

) ( ),..., (

) ( ),..., ( )

(

1

1 1

1

x x

x

f 

Pokazano więc fakt: Jeżeli funkcja

f : R

ⁿ

 D  R

^m, xD- otwarty jest różniczkowalna w punkcie x, to istnieją pochodne cząstkowe

(x )

i j

x f



,j=1,...,m i=1,...,n.

Twierdzenie odwrotne nie zachodzi, tzn. istnienie pochodnych cząstkowych nie gwarantuje różniczkowalności (a nawet nie gwarantuje ciągłości)

Przykład .









 



) 0 , 0 ( ) , ( , 0

) 0 , 0 ( ) , ( ) ,

,

( ² ⁶

3

y x

y y x

x xy y

x f

 pochodne cząstkowe

x=

( x , y )  ( 0 , 0 )

₂ ₆ ₂

6 2 3 2

6 2

3 6 2 3

) (

) 2 ( ) ) (

,

( x y

y x y y

x

x xy y x y y

x x f



 





 



6 2 2 5

3 6 2

2   



(6)

) 0 , 0 ( ) ,

( x y 

0 (0,0)

0 0 0 ) lim

0 , 0 ( ) 0 , 0 lim ( ) 0 , 0

( ²

0

0 y

f x

x x x

f x f

x f

x

x 



 

 



 





 











 pochodna kierunkowa

x=

( x , y )  ( 0 , 0 )

k(k₁,k₂)

( k

₁

, k

₂

)  1

 



 



 



 

t

y x f tk y tk x f t

f t y f

x

f

k k t t

) , ( ) ,

lim ( ) ( ) lim (

) ,

(

¹ ²

0 ) 0

, (1 2

x k

x

 





 

 



  2 6 2

2 6 1

2 2 6 2

3 2 6

1 2

3 2 1

0 ( )

) 3 )(

( )

( ) (

) )(

(

lim x y

xk yk y x y t

y x

xy tk

y tk

x

tk y tk x

t

2 1

2 2 6 2

6 2 2 2 1

6 2

6 2 3

) , ( )

, ) (

(

) (

3 )

(

)

( x y k

y k f y x x k f y x

y x k xy

y x

y x y











 



  )

0 , 0 ( ) ,

( 

 x y

x

 

) 0 ( ) (

) ( ) lim

, lim ( ) 0 , 0 ( ) , ( ) 0 , 0 lim ( ) 0 , 0 (

2 6 1 2

2 3 1

0 2 1 0 2

1

0  



 

 

    t

tk tk

tk tk t

tk tk f t

f k k t f f

t t

k t

Funkcja f ma więc w każdym punkcie (w szczególności w punkcie (0,0)) i w każdym kierunku pochodną. Czy jest więc różniczkowalna w

( 0 , 0 )

. Jeśli tak, to:



(0,0) ( , )



(0,0)

 

0,0



(0,0),( ₁, ₂)



2 1 2

1 r h h

h f h

h h

f 



 



 



 , gdzie r



(0,0),(h₁,h₂)



 f(h₁,h₂)

Pytanie. Czy

 

) 0 , (

) , ( ), 0 , 0

lim (

^?

2 1

2 1 )

0 , 0 ( ) , (1 2



h h 

h h r

h

h ? Nie, gdyż granica ta nie istnieje. Nie istnieje nawet granica lim ( ₁, ₂)

) 0 , 0 ( ) , ( 1 2

h h

h f

h  , bo wybierając dwa różne ciągi (¹_n,0)(0,0), i (¹3,¹_n)(0,0)

n mamy

0 0 ) 0 ,

(¹_n  

f , a (¹₃,¹_n)₂¹ ₂¹

f n .

Wykazaliśmy wiec, że posiadanie w danym punkcie pochodnej kierunkowej w dowolnym kierunku (w szczególności posiadanie pochodnych cząstkowych) nie zapewnia różniczkowalności a nawet ciągłości funkcji w tym punkcie.

(7)

Przykład różniczkowania odwzorowania w przestrzeni funkcyjnej.

Niech

K ( t x , )

będzie rzeczywistą funkcją ciągłą na kwadracie

[ a , b ]  [ a , b ]

. Rozważmy przestrzeń

] , [ ba

C

rzeczywistych funkcji ciągłych na przedziale

[ b a , ]

z normą

sup ( )

] , ]

t f f

b ta



i odwzorowanie

] , [ 2

] ,

[

[ ]( ) ( , ) ( )

:

_a_b

b

a b

a

u u x x t u t dt C

C   ^F   ^K 

F

. Znaleźć pochodną Frecheta odwzorowania

F

^w

„punkcie”

u  C

_{[ b}_a_, _]. Niech

h  C

_{[ b}_a_, _]

 u t h t  dt x t u t dt t

x x

u x h u

b

a b

a

) ( ) , ( )

( ) ( ) , ( ) ](

[ ) ](

[ ^ ^ ^F ^  ^K ^

²

^  ^K

²

F

dt t h t x dt

t h t u t x

b

a b

a

) ( ) , ( )

( ) ( ) , (

2  ^ 

²

 K K

Odwzorowanie [u]

:

[ , ]



[u]

 ( ) 2 ( , ) ( ) ( )

[_a,_b] b

a b

a

h h x x t u t h t dt C

C   ^F

^

  ^K 

F

^' ^' jest odwzorowaniem

liniowym ciągłym przestrzeni

C

_{[ b}_a_, _] w siebie. Liniowość

F

^'

[u]



 F

^'[u](

h

1

h

2)

 ⁽ x ⁾   F

^'

^[u]



h

1

 ⁽ x ⁾   F

^'

^[u]



h

2

 ⁽ x ⁾



 F

^'^[u]^⁽

 ^h

⁾

 ⁽ ^x ⁾ ^   F

^'

^[u]

^

^h  ⁽ ^x ⁾

wynika z definicji całki. Ciągłość odwzorowania liniowego redukuje się do ciągłości „w punkcie”

] ,

0 C

[_a_b

h  

. Z własności całki mamy

h M x h dt

t u t x dt

t h t u t x dt

t h t u t x

b a x b

b a a x b

a











 

 ⁽ ^, ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ^sup ² ⁽ ^, ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ² ^sup ⁽ ^, ⁾ ⁽ ⁾ ^sup ⁽ ⁾

2 0

] , [ ]

, [ ]

,

[

K K

K

co implikuje ciągłość

F

^'

[u]

.

Pozostaje wykazać, że

r u h x t h t dt

b

a

) ( ) , ( ) ,

( ^{ K} 

² jest resztą. Rzeczywiście z własności całki mamy

)

( sup ) , ( )

( ) , (

] , [

2

t dt x t dt h x

h t x

b a x b

a b

a





 ^K ^{ K}

^{. Stąd}

 



x t h t dt

b

b a a x

) ( ) , (

sup

²

] ,

[

K sup ( , ) sup ( )

] , [

2 ]

, [

x h dt

t x

b a x b

b a a

x

 ^K

 ^^M ^h ² ^

^

⁽^h⁾^.