Struktura czasoprzestrzeni Structure of space-time

###########################################################################

Struktura czasoprzestrzeni

Structure of space-time

R. Penrose

Battelle Recontres 1967

Lectures in Mathematics and Physics Chapter VII W.A. Benjamin , INC , New York –Amsterdam 1968

**************************************************************************

Tłumaczenie rosyjskie : L.P. Griszczuk, N. W. Mickiewicz pod redakcją : Ja. B. Zeldowicza , I. D. Nowikowa

Moskwa „Mir” 1972

***************************************************************************

tłumaczenie z rosyjskiego : R. Waligóra

Ostatnia modyfikacja : 2009-03-22 Tłumaczenie całości książki. ( w planach )

##########################################################################################

Wstęp do tłumaczenia.

Książka R. Penrose’a mimo upływu wielu lat od jej napisania stanowi klasykę w temacie. Autor przedstawia wiele cennych narzędzi matematycznych stosowanych w OTW (i to stanowi głównie o wartości tej publikacji).

Można również prześledzić ewolucje pewnych pojęć stosowanych przez autorów , nierzadko wprost odwołujących się do tej monografii.

Przez prawie pół wieku , które minęło od chwili napisania tego tekstu zmieniło się bardzo wiele, jeśli chodzi o zagadnienia dotyczące badania i obserwacji osobliwości kosmologicznych. Pewien ich przegląd można znaleźć np. w znakomitej książce :

Michał Heller „Osobliwy Wszechświat” PWN 1991

Tematy związane z kosmologią (modelami kosmologicznymi ) i obserwacyjnymi własnościami wszechświata są omawiane np. w :

P. Coles , F. Lucchin “Cosmology – The orygin and evolution of cosmic structure” 2003 Pewne spopularyzowane idee omawiane przez autora, można znaleźć w książkach :

„Droga do rzeczywistości” - R. Penrose. Prószyński i S-ka 2004

„Natura czasu i przestrzeni” – S. Hawking, R. Penrose. Zysk i S-ka 1996 Rozszerzenie pewnych technik znajdziemy w :

„Techniques of differential topology in relativity” - R. Penrose

Rozwinięcie programu spinorowego można znaleźć w klasycznej już monografii :

„Spinors and space-time” vol 1,2 – R. Penrose, W. Rindler ; Cambridge University Press

R. Waligóra.

Od redaktorów przekładu

Stworzona przez Einsteina OTW, legła u podstaw naukowego podejścia do badań geometrycznych własności czasu i przestrzeni świata fizycznego. Równania Einsteina opisują lokalne zakrzywienia czasoprzestrzeni ; rozwiązania tych równań określają strukturę czasoprzestrzeni. Już w pierwszych kosmologicznych pracach samego Einsteina pojawił się problem dotyczący natury globalnych geometrycznych własności czasoprzestrzeni tj. związany z jej topologią. W tych publikacjach (napisanych niedługo przed odkryciem Hubbla dotyczącym ucieczki galaktyk ) trój wymiarową przestrzeń rozpatrywano jako trój wymiarową sferę o niezmiennym promieniu , wiecznie istniejącą w czasie. Pierwotnie postawione pytania o własności trój wymiarowej przestrzeni brzmiało : czy jest ona nieskończona , czy liczba ciał niebieskich jest nieskończona, czy też przestrzeń jest zamknięta i skończona w swojej objętości.

Dalszy rozwój kosmologii (zbudowanie modeli rozszerzającego się wszechświata przez Friedmana, prace Edingtona , Lemaitre’a, i innych ) przywiódł do postawienia nowego problemu - problemu osobliwości w kosmologii. W rozszerzających się , jednorodnych , izotropowych modelach wszechświata (prawomocność,

materii i nieskończenie wielkiej krzywizny czasoprzestrzeni. ( co wiąże się z zerowym promieniem

wszechświata – przypis własny ). Naturalnie pojawia się pytanie czy ta osobliwość jest własnością tylko modeli jednorodnych i izotropowych. Być może w ogólnym przypadku, kiedy rozpatrzymy pewne odchylenia od zupełnej izotropowości i jednorodności nieskończona wartość krzywizny i gęstości materii nie pojawi się . Czy aby osobliwość nie jest tylko szczególnym przypadkiem „ogniskowania” w zdegenerowanym przypadku ściśle jednorodnych i izotropowych modeli ?

Pewną nadzieję wskazującą na taką możliwość daje rozpatrzenie w teorii newtonowskiej kinematycznego zagadnienia rozpadu sferycznego obłoku cząstek. Jeśli cząstki poruszają się tylko po liniach radialnych (promieniach -przypis własny ) to nieuniknione jest spotkanie się ich trajektorii w środku rozpatrywanej sfery gdzie będzie można mówić o osobliwości. Jeśli jednak nadamy cząstką niewielką prędkość tangencjalną (styczną – przypis własny ) to trajektorie mogą minąć się w czasie zbliżania się do centrum sferycznego obłoku i osobliwość nie wystąpi. Może analogiczna sytuacja ma miejsce w problemie kosmologicznym OTW.

Rozwój OTW i związany z tym rozwój astrofizyki spowodował postawienie pytań o strukturę czasoprzestrzeni , o osobliwości o topologiczne własności przestrzeni stosowanych do rozwiązywania problemów ewolucji nie tylko wszechświata, ale również izolowanych ciał. Badanie kolapsu grawitacyjnego izolowanego ciała pokazało, że kiedy rozmiar ciała zbliża się do tzw. promienia grawitacyjnego rg = 2GH/c2 pole grawitacyjne zaczyna być tak silne , a co z tym związane zakrzywienie czasoprzestrzeni tak duże, że nawet promień światła i strumień neutrin emitowanych przez to ciało nie mogą uciec w kierunku dalekiego obserwatora.

Co dzieje się po ściśnięciu ciała do promienia rg zewnętrzny obserwator nigdy się nie dowie.

Jaki będzie wynik takiego kolapsu dla obserwatora posadowionego na tym ściskanym ciele ?

W prostym przypadku sferycznej symetrii będzie to stan osobliwości – nieskończonej krzywizny i gęstości materii. Czy można jej uniknąć takiej sytuacji w przypadku ogólnym ? Co będzie się dziać ze skolapsowaną materią – czy ściskanie zamieni się w rozszerzanie ?, jaka będzie struktura czasoprzestrzeni w tym wypadku ? Oprócz takich zagadnień związanych ze strukturą czasoprzestrzeni w wielkich skalach – można powiedzieć zagadnień globalnych, należałoby również rozpatrzyć lokalne właściwości czasoprzestrzeni tj. lokalne niezmienniki, którymi się ona charakteryzuje w różnych procesach fizycznych. Równania OTW opisujące strukturę czasoprzestrzeni są to równania nieliniowymi o pochodnych cząstkowych rzędu drugiego. Ich analiza w ogólnym przypadku jest niezwykle trudna. W ostatnich latach do rozwiązywania takich równań rozwinięto szereg subtelnych metod matematycznych. Autor niniejszej książki Robert Penrose jest jednym z twórców takich metod. Do tej pory imię Penrosa było znane jedynie pośród małego kręgu matematyków i fizyków. Mamy nadzieję, że ta książka będzie stanowić okazję do lepszego zaznajomienia się z metodami tego autora.

Zastosowanie tych metod przywiodło Penrosa i jego współpracowników do głębokich i ważnych rezultatów mających podstawowe znaczenie.

Głównym z nich jest dowiedzenie nieuchronności pojawienia się osobliwości w kosmologii i kolapsie grawitacyjnym.

W książce tej zawarto podstawy ścisłych współczesnych metod badania struktury czasoprzestrzeni. Książka jest zapisem wykładów Penrosa wygłoszonych na I Battelskiej konferencji matematyków i fizyków.

Konferencja ta odbyła się w 1967 roku w Seatle (USA) i była poświęcona problemom topologicznym w matematyce i OTW. Wykłady te weszły w skład zbioru pod redakcją J. Wheelera i S. De Witta.

Należy zaznaczyć, że książka ta nie może stanowić pierwszej lektury dla początkujących w studiowaniu OTW.

Dla jej zrozumienia należałoby się zapoznać w pierwszej kolejności z podręcznikami typu : L. Landau, E. Lifszyc „Teoria pola”, P. Raszewski „Geometria Riemana i analiza tensorowa”.

Metody wyłożone w książce są typowo matematyczne i odznaczają się naturalnie znaczną ścisłością.

Jednak autor odznacza się wielką fizyczną intuicją dając wykład żywy i poglądowy.

Nie chowa swoich myśli za matematycznym formalizmem, ale dzieli się z czytelnikami swoimi przemyśleniami Które pomogły mu znaleźć te głębokie i ogólne rezultaty.

Dokładne matematyczne rozpatrzenie kolapsu grawitacyjnego masywnych gwiazd pod koniec ich ewolucji z uwzględnieniem rotacji i odchylenia od sferycznej symetrii pokazuje, że dla zewnętrznego obserwatora obraz kolapsu dąży do stanu bezruchu, kiedy rozmiar gwiazdy dąży do promienia grawitacyjnego rg .

Co będzie po momencie osiągnięcia tego promienia zewnętrzny obserwator nigdy się nie dowie. W obecnym czasie udowodniono, że zewnętrzne pole dla takiego zachowania dąży do metryki Kerra (rozpatrywanej w tej książce) zależnej jedynie od masy, momentu obrotu oraz ładunku kolapsującego ciała. Na kanwie tych ścisłych rezultatów mało atrakcyjnie wyglądają pojawiające się jeszcze obecnie próby udowodnienia tego ,że proces kolapsowania po osiągnięciu rozmiaru promienia grawitacyjnego może zmienić się w rozszerzanie , tak , że obserwator zewnętrzny obserwuje periodyczny proces ściskania i rozszerzania.

Widać od razu nieskuteczność prób wyjaśnienia natury takich obiektów , jak pulsary lub kwazary poprzez takie teorie.

Stawiając pytania związane z OTW Penrose często zwraca się w kierunku teorii kwantowej oraz teorii cząstek elementarnych. Chociaż ogólnie wiadomo, że teoria względności może być zbudowana bez związku z teorią kwantów i jawi się w tym znaczeniu jako „klasyczna”, wiele aspektów OTW i teorii kwantów w wielu przypadkach splata się, czego autor nie omieszkuje pominąć. Inne aspekty OTW nie umieszczone w książce Penrosa czytelnik może znaleźć w np. książkach : W. Fok „Teoria przestrzeni, czasu i grawitacji” 1961 A Petrow „Nowe metody w ogólnej teorii względności” 1966.

Astrofizyczne aspekty poruszane są w książkach : Ja. Zeldowicz, I. Nowikow „Astrofizyka relatywistyczna”

1967, oraz „Teoria grawitacji i ewolucja gwiazd”. 1971

Część zagadnień związanych ze strukturą czasoprzestrzeni nie weszła do danej książki. Są to głównie rezultaty otrzymane po roku 1967. Wspomnimy niektóre z nich , dając przy okazji odpowiednie odsyłacz do literatury.

Ostatnie twierdzenia o nieuchronności osobliwości w kosmologii można znaleźć w zbiorze : S. Hawking, R. Penrose , Proc. Roy. Soc. A314, 529 (1970).

Zagadnienia dotyczące struktury czasoprzestrzeni w pobliżu osobliwości dostępne są w artykule : W. Bielinskij, E. Lifszyc, I. Chałatnikow UFN (UFN) 102, 463 (1970)

W ostatnim czasie pojawiły się idee dotyczące możliwości kreacji par cząstka-antycząstka w próżni w silnych zmiennych polach grawitacyjnych w pobliżu osobliwości – kosmologicznej jak również wynikłej w wyniku kolapsowania. (Ja Zeldowicz, A. Starobinskij ŻETF , 61 Nr 6, 1971 ).

Jest to jeden z tych kierunków, w którym teoria kwantowa stosuje się bezpośrednio do zagadnień OTW.

Zauważmy, że dla tych zagadnień okazuje się ważne pojęcie konforemnej inwariantności szeroko omawianej przez Penrose’a.

Struktura czasoprzestrzeni wynikająca przy kolapsie niebieskich ciał ( tzw. „czarne dziury”) , pytania dotyczące ewolucji materii po kolapsie , poszukiwanie ciał skolapsowanych we wszechświecie , nowa postać tensora energii-pędu fal grawitacyjnych , nielokalne inwarianty dla fal grawitacyjnych omawiane są w książce Ja. Zeldowicz, I. Nowikow „Teoria grawitacji i ewolucja gwiazd” 1971.

Przekład książki dokonany został przez kandydata nauk Fizyczno-matematycznych L. Griszuka oraz doktora nauk fizyczno-matematycznych N. Mickiewicza. Autorzy ci są znanymi specjalistami z kręgu zagadnień dotyczących OTW. Tłumacze wprowadzili szereg dopisków do wydania angielskiego.

Redaktorzy przekładu są wdzięczni R. Penros-owi za przysłanie posłowia oraz uzupełnień dla przekładu rosyjskiego. Książkę tą należy w pierwszej kolejności rekomendować astronom , fizykom i matematykom interesującymi się problemami OTW. Można ją również polecić studentom nauk mat-fiz. , którzy są zainteresowani w stosowaniu metod matematycznych w fizyce.

Ja. B. Zeldowicz I. D. Nowikow

1. Wprowadzenie

Zgodnie z współczesną teorią wszystkie zjawiska fizyczne rozgrywają się w ramach pewnej rozmaitości

różniczkowej nazywanej kontinuum czasoprzestrzennym. Jesteśmy tak przyzwyczajeni do takiego wyobrażenia, że do tej pory wydawała się nam ta struktura „oczywistą”. Zanim jednak przejdziemy do analizy tej rozmaitości warto zastanowić się, na jakich podstawach opieramy tą wiarę.

Oczywiście nie wykluczone , że kiedyś bezie zbudowana teoria , która może opisywać naturę lepiej niż teorie obecnie panujące i ta nowa teoria może nie wykorzystywać modelu czasoprzestrzeni w formie rozmaitości różniczkowej. Trzeba być przygotowanym na taka możliwość jednak w chwili obecnej bardziej należy się zastanowić nad tym, dlaczego współczesne przybliżenie jest takie eleganckie i opisuje zadziwiająco szeroki krąg zjawisk.

Bardzo zbliżony do „lokalnie Euklidesowej (przestrzeni matematycznej –przypis własny)” charakter przestrzeni ( fizycznej ) razem z ciągłym charakterem czasu daje nam zasadniczą podstawę dla ścisłego modelowania czasoprzestrzennego continuum. W czasach Zenona (Zenon z Elei – grecki filozof – przypis własny)

nie było takiego ścisłego wyobrażenia idei kontinuum, dlatego powstały zasadnicze trudności dotyczące pojęcia przejść granicznych w przestrzeni lub w czasie. Obecnie nie znamy takich problemów i być może w tym tkwi nasza słabość.

Standardowe rozwiązanie paradoksów Zenona opiera się bardziej na matematycznym pojęciu kontinuum niż na własnościach czasoprzestrzeni. Utwierdzenie w tym, że czasoprzestrzeń jest obrazem kontinuum daje nam fakt jej ciągłej natury, niezależny od tego, w jakiej skali ją rozpatrujemy. W tym miejscu należy jednak zauważyć pewne problemy z określeniem ciągłości w dostatecznie małych skalach, w których istotną rolę mogą odgrywać efekty kwantowe. Weźmy na przykład skale wymiaru rzędu 10 –13 cm (rozmiar rzędu wielkości promienia cząstki elementarnej). Przy próbie określenia położenia cząstki z taką dokładnością będziemy musieli (zgodnie z zasadą nieoznaczoności) nadać odpowiednio duży pęd obserwowanej cząstce. A w takim wypadku możliwe jest pojawienie się nowych cząstek, wśród których znajdą się takie, których nie będzie można odróżnić od cząstki obserwowanej (* W fizyce kwantowej nie rozróżnialność cząstek – nie jest po prostu tożsamością ich charakterystyk liczbowych, a jest zupełnym brakiem możliwości nadania indywidualności wiążącym się z nie możliwościom ich ponumerowania, np. dla cząstek o jednakowej charakterystyce kwantowej – elektronów ) przypis tłumacza *) tak, więc pojęcie „położenia” cząstki pierwotnie obserwowanej staje się pojęciem nieokreślonym [22]. Jeszcze bardziej skomplikowana sytuacja będzie w przypadku rozpatrywania zjawisk przebiegających w skalach rzędu 10 –33 cm .Dla takich skal kwantowe fluktuacje krzywizny czasoprzestrzeni (* Jeśli oczywiście w tych skalach poprawna jest ekstrapolacja współczesnych poglądów na mechanikę kwantową i teorię grawitacji – przypis tłumacza *) są dostatecznie silne żeby zmienić topologię, a w tym

przypadku czasoprzestrzeń może okazać się nieuporządkowanym nałożeniem różnych topologii [112] a to już w żaden sposób nie przypomina gładkiej rozmaitości.

Wobec tego nie jest zupełnie jasne czy w takich skalach jest sens mówić w ogóle o własnościach

czasoprzestrzeni, jeśli takie pojęcie byłoby bez sensowne to na pewno nie możemy również posługiwać się w ścisłym opisie czasoprzestrzeni gładką rozmaitością. Jednak z drugiej strony można utwierdzać się w przekonaniu o tym, że przedstawienie wszystkich „sensownych” procesów fizycznych w takiej rozmaitości jest uzasadnione. Jestem przekonany (wiele o tym myślę – przypis własny), że do rzeczywistego zrozumienia natury cząstek elementarnych potrzebne jest głębokie zrozumienie natury samej czasoprzestrzeni.

Jeśli w ostateczności ograniczymy się do tych zjawisk w których pojęcie rozmaitości jest bezsporne (a obejmuje to prawie całą fizykę naszych czasów ) to narzędzie to okazuje się niezastąpionym dla naszych analiz.

Zostawmy więc na boku pytania o submikroskopową strukturę czasoprzestrzeni a skoncentrujmy się na jej wielkoskalowej strukturze. W tym obszarze możemy przyjąć gładką rozmaitość jako pojęcie adekwatne i założyć, że jej struktura globalna może być otrzymana jako złożenie mniejszych „lokalnie euklidesowych”

kawałków, podobnie jak w geometrii różniczkowej wprowadzamy lokalne układy nakrywające (mapy).

Taka droga może przywieść nas ku topologii czasoprzestrzeni globalnie odmiennej od euklidesowej.

Niestety o wielkoskalowej strukturze wszechświata wiemy niewiele i nie możemy z pewnością mówić o jego globalnej topologii (jedynie co to możemy formułować twierdzenia o jego orientowalności ). Może się nawet okazać, że wielkoskalowa topologia czasoprzestrzeni nie będzie warta większego zainteresowania.

(* Obecnie znamy o wiele lepiej budowę wielkoskalową wszechświata – zobacz np. „Galaktyki i budowa wszechświata” Michał Jaroszyński WN-PWN 1993, „Wstęp do astrofizyki” – A. Opolski, H. Cugier , T. Ciurla Wydawnictwo Uniwersytetu Wrocławskiego, W książkach tych możemy znaleźć również nowsze dane

dotyczące wieku i budowy wszechświata – książka Penrose’a była napisana w latach 60 XX dlatego to też pewne spekulacje, obecnie mają jedynie wartość historyczną – przypis własny *)

Nie bacząc jednak na te problemy rozpatrzmy zagadnienia dotyczące topologii rozmaitości czasoprzestrzennych.

W pierwszej kolejności przedstawmy wszechświat jak czterowymiarową całość , a nie w postaci pewnego trójwymiarowego przekroju ( zwanego „teraz” )

Pewną nadzieje na określenie obserwacyjnych własności czterowymiarowej wielkoskalowej struktury

wszechświata daje fakt, że w pewnej „chwili” w jego przeszłości ( rzędu ok. 1010 lat wstecz ) (*obecne szacunki to ok. 1017 lat – przypis własny *) cała materia, jaka widać, znajdowała się w skrajnie ściśniętym i chaotycznym (gorącym) stanie. Taki fakt wynika z danych obserwacyjnych wskazujących na rozszerzanie się wszechświata oraz z równań OTW w których założono jednorodność wielkoskalową rozkładu materii we wszechświecie. Taki fakt potwierdza obserwacja niedawno odkrytego [25. 80a ] promieniowania elektromagnetycznego

wypełniającego całą przestrzeń (promieniowania reliktowego – przypis własny). Obecna temperatura tego promieniowania wynosi ok. 3K , takiej temperatury należało się spodziewać zgodnie z pewnymi modelami relatywistycznej ewolucji stanu początkowego wszechświata [ 33, 2 ]. (ochłodzenie tego promieniowania wiąże się z rozszerzaniem się wszechświata ) (* Obecność promieniowania elektromagnetycznego tła, gorącego wszechświata świadczy o wielkiej gęstości materii w przeszłości i odpowiednio o jego rozszerzaniu począwszy od supergęstego stanu (na co wskazywała OTW ) jednak z tego nie wynika jego konkretna wartość 3K. Taka temperatura raczej wynika z porównania składu chemicznego ciał niebieskich – który znamy z obserwacji - z teorią pierwotnej syntezy pierwiastków – przypis redaktora *). Jeśli przyjmiemy bezdyskusyjnie te modele kosmologiczne to musimy przyjść w istocie rzeczy do osobliwego stanu początkowego w którym krzywizna czasoprzestrzeni była nieskończona. W pobliżu tej osobliwości promień krzywizny może być dowolnie mały - mniejszy niż 10-13 cm a nawet mniejszy niż 10-33 cm . Jednak w takich skalach nie możemy uważać za adekwatny przyjęty model rozmaitości czasoprzestrzennej, chociaż by z wspomnianych wcześniej powodów.

Czy możemy polegać na takich modelach w obszarach w których promień krzywizny tylko zbliża się do takich wartości ?

Możemy oczekiwać , że odchylenia od jednorodności w krzywiźnie czasoprzestrzeni ( spowodowane niejednorodnościami rozkładu materii ) przy ekstrapolacji w przeszłość w obszar silnego zakrzywienia czasoprzestrzeni dadzą obraz różniący się od gładkich modeli (* Należy mieć na względzie, że istniejące niejednorodności w rozkładzie materii (w postaci ciał niebieskich i ich systemów) są prawdopodobnie wynikiem

„rozrostu” niejednorodności tj. niejednorodności w pobliżu osobliwości były mniejsze. Jest to tzw. hipoteza

„minimalnych” zaburzeń które miały miejsce na początku procesu rozszerzania, koniecznych dla wyjaśnienia otaczającego świata. Istnieje jednak druga możliwość - początek kosmologicznego rozszerzania był w swej istocie „maksymalnie” niejednorodny i w trakcie rozszerzania niejednorodności „wygładzały się”. Dokładnie o tych problemach piszę w Ja. Zeldowicz, I. Nowikow „Powstanie i ewolucja wszechświata” – przypis red. *) (* Obecnie takie problemy rozpatruje się w ramach modeli inflacyjnych – przypis własny )

Czy wobec tego możemy mówić o jakichkolwiek osobliwościach ?. (będziemy mówić o osobliwości wychodząc z poglądowego określenia „osobliwości” jako obszaru w którym krzywizna wzrasta na tyle, że lokalne prawa fizyki katastroficznie się zmieniają, być może z powodu naruszenia gładkiej struktury czasoprzestrzeni ) Czy może się okazać, że kiedy krzywizna będzie już „umiarkowanie” wielka obraz wszechświata będzie odmienny od rozpatrywanego modelu , a być może prowadzić będzie do zupełnie innej topologii?.

Jednym z głównych moich celów jest wyłożenie niektórych ścisłych wyników dobitnie ukazujących (chociaż być może nie w pełni ich dowodzących ) istnienie osobliwości czasoprzestrzeni, wynikających z praw OTW.

Aby dojść do tych wyników należy rozpatrzyć wiele złożonych z punktu widzenia topologii przypadków nawet jeśli w przyrodzie się one nie realizują.

Powyżej przedstawiłem pierwszą z dwóch przyczyn która utwierdza nas w konieczność rozpatrywania topologii czasoprzestrzeni. Druga z nich (jeśli pozostawić na boku pytanie o związku z submikroskopowymi własnościami czasoprzestrzeni) związana jest z problemem kolapsu grawitacyjnego. Jak wynika z ogólnie relatywistycznych rozważań wewnętrzna niestabilność, charakterystyczna dla oddziaływań grawitacyjnych, w przypadkach nadzwyczajnie wielkich koncentracji mas, odzwierciedlona jest w istnieniu osobliwości początkowej którą to charakteryzują się modele kosmologiczne. Ta niestabilność pojawia się znów w fazie kolapsu w modelach zamkniętych, które przewidują stany wszechświata o nieskończonej krzywiźnie w ostatnich stadiach rozwoju.

Jednak aby niestabilność grawitacyjna się przejawiła nie musimy rozważać wszechświata „globalnie”. W istocie nawet ciała , których masa jest nie wiele większa niż masa Słońca mogą wykazywać skłonności do

katastroficznego kolapsowania w sytuacji kiedy skończy się zapas ich energii wewnętrznej. ( chodzi oczywiście o cykl życia gwiazd - przypis własny ). Przy określonych warunkach takie ciała kolapsują „bezpowrotnie do punktu” w którym , ogólnie mówiąc, oddziaływanie grawitacyjne jest tak silne , że nawet światło wypuszczane przez zapadającą się materie „powraca” z powrotem, zatem żaden sygnał nie może wyjść na zewnątrz. ( chodzi oczywiście o odpowiednie własności czarnych dziur. zobacz np. „Astrofizyka relatywistyczna” – M. Demiański PWN 1985 - przypis własny ) Za tą granicą zachowanie ciała przypomina bardzo ostatni etap kolapsu

wszechświata ( lub , jak można sadzić obrócenie w czasie etapu rozszerzania ). Przy takich zjawiskach należy oczekiwać pojawienia się osobliwości czasoprzestrzeni , chociaż ( w rozpatrywanym przypadku ) osobliwość ta nie może być obserwowana przez zewnętrznego obserwatora. Obserwator taki widziałby tylko pewnego rodzaju

„dziurę” w przestrzeni do której mogą wpadać obiekty , ale z której na zewnątrz nie może wydostać się żaden z nich lub nawet światło. Biorąc pod uwagę możliwą rozpiętość możliwych mas , można ocenić rozmiary takich

„dziur” – jest to wymiar od kilku kilometrów do kilku średnic układu słonecznego. Te „dziury” jak widać były by trudne do zauważenia przez obserwatora zewnętrznego , chociaż w zasadzie jest to możliwe. W chwili obecnej możliwość istnienia takich obiektów wynika bardziej z teorii niż z danych obserwacyjnych , tym niemniej ich zbadanie związane jest z wieloma zagadkowymi zagadnieniami dotyczącymi topologii czasoprzestrzeni. ( Obecnie czarne dziury stały się „realnie” istniejącymi i obserwowanymi obiektami

astronomicznymi a badanie ich fizycznych własności rozrosło się do osobnej dyscypliny – fizyki czarnych dziur.

Zainteresowanego odsyłam do znanej monografii :

I. D. Nowikow, W. P. Frołow „Fizyka czarnych dziur” Moskwa Nauka 1986 – książka po rosyjsku - przypis własny )

Natura czasoprzestrzeni nie jest taka jaką ona nam się „przedstawia” , w jej zrozumieniu póki co nie

osiągnęliśmy jasności. We współczesnej teorii co raz spotykamy się z niespodziankami i nowymi ideami. Jednak nawet w obecnie istniejącej teorii czasoprzestrzeni ( pod którą rozumie einsteinowską ogólną teorię względności przedstawioną w 1916 roku ) czają się nieoczekiwane wyniki i przewidywania, które dopiero co rozpoczynamy dokładnie analizować. Można z niej (prawdopodobnie ) bez specjalnego trudu otrzymać nowe wyniki stosując odpowiedni aparat matematyczny. W niniejszej publikacji wprowadzam pewne otrzymane wyniki i wskazuje aparat którego rola została stosunkowo niedawno zademonstrowana. Tym samym mam nadzieje pobudzić wzrost aktywności twórczej w tym kierunku specjalistów z pokrewnych działów nauki.

2. Istota ogólnej teorii względności

Głównym wnioskiem o jakim poucza teoria względności jest to, że pojęcia przestrzeni i czasu nie mogą być rozpatrywane niezależnie jedno od drugiego i tylko ich połączenie reprezentowane przez czterowymiarowy opis zjawisk tj. opis opierający się na języku czasoprzestrzeni jest uprawnione. Przy tym dynamika stanowi

przedmiot badań geometrii. Pouczającym będzie prześledzenie jakiego rodzaju podejście zastosujemy do przed relatywistycznych teorii dynamicznych. Możemy , w kolejności porównywać dynamikę Arystotelesa ,

Galileusza lub Newtona z szczególną lub ogólną teorią względności ( Stosowane skróty STW, OTW – przypis własny ), wyrażając te wszystkie warianty teoretyczne w języku czasoprzestrzeni.

Rozpatrzmy pięć rodzajów czasoprzestrzeni :

Czasoprzestrzeń Arystotelesa (2.1) Czasoprzestrzeń Galileusza (2.2)

Czasoprzestrzeń Newtona (2.3) Czasoprzestrzeń Minkowskiego (2.4) Czasoprzestrzeń Einsteina (2.5) W każdym przypadku czasoprzestrzeń jest rozmaitością gładką , jednak za każdym razem przypiszemy jej

pewną geometryczną strukturę , odzwierciedlającą jej charakterystyczne aspekty dynamiki. Każdy punkt czasoprzestrzeni (skrót CP – przypis własny ) w rzeczywistości jest „zdarzeniem” tj. czymkolwiek co może być przedstawione jako punkt w przestrzeni a istnienie w czasie ograniczone jest do pewnej chwili (momentu czasu).

Historia cząstki – jest to pewna krzywa w CP , nazywana „linią świata” tej cząstki. *) Jeśli nie powiedziano inaczej „krzywa” nie będzie parametryzowana ( zobacz rozdział 9 ) *)

CP Arystotelesa jest iloczynem kartezjańskim E3 × E1 , gdzie przez En oznaczam n-wymiarową przestrzeń Euklidesa , o metryce euklidesowej oraz charakteryzującą się ½ n ( n + 1) grupą ruchów ( przez grupę ruchu metryki rozumiemy grupę względem której pozostaje ona nie zmiennicza – przypis własny ). Metryka E3 opisuje odległości przestrzenne , a metryka E1 – odcinki czasu. Zatem w dynamice Arystotelesa jest sens mówić o absolutnej odległości przestrzennej między dwoma zdarzeniami , nawet jeśli różnica czasu między nimi nie jest równa zeru ( tj. zdarzenia te nie są jednoczesne – przypis własny ). W szczególności stan spoczynku cząstki jest stanem uprzywilejowanym względem stanu ruchu w ten sposób , że odległości przestrzenne między dwoma dowolnymi punktami na linii świata cząstki spoczywającej jest równa zeru. Semiparametryczna tranzytywna grupa ruchów czasoprzestrzeni Arystotelesa jest iloczynem prostym grup dla przestrzeni E3 i E3.

Czasoprzestrzenie Galileusza i Newtona różnią się od czasoprzestrzeni Arystotelesa w tym ,że odległość między dwoma punktami w przestrzeni określona jest dla nich tylko w przypadku zerowania się odległości czasowych dla tych punktów (tj. można sensownie mówić o odległości przestrzennych tylko dla zdarzeń jednoczesnych, wynika to z I prawa Newtona które wyróżnia całą klasę IUO – przypis własny). W przeciwieństwie do tego odległości czasowe określone są w sposób jednoznaczny. ( tj. dla CP Arystotelesa, Galileusza i Newtona czas (odległości czasowe ) jest pojęciem absolutnym. W CP Galileusza i Newtona wbrew intencji Newtona przestrzeń nie ma charakteru absolutnego chociaż absolutnymi pozostają same odległości przestrzenne ( zobacz mój tekst dotyczący kinematyki klasycznej – przypis własny ). Strukturę geometrii można zatem porównać z przestrzenią włóknistą E1 o włóknach E3, „czas” E1 możemy rozumieć jako przestrzeń ilorazową całej przestrzeni względem włókien E3. (Topologia oczywiście pozostaje jeszcze taka sama jak w przypadku CP Arystotelesa , chociaż struktura włókien jest inna ) *) Dziękuje A. Trautmanowi , który wyjaśnił mi ten problem *) Różnica między CP Galileusza i CP Newtona pojawia się przy dalszym uściśleniu ich struktury. W tym celu wyróżnimy szczególny ( szesnastoparametryczny ) zbiór krzywych w CP , który to będziemy nazywali „geodezyjnym”.

( Nie robimy tutaj żadnych założeń dotyczących ekstremalnych własności tych krzywych – po prostu wymagamy aby przez każdy punkt CP w każdym kierunku przechodziła tylko jedna taka geodezyjna ). Te geodezyjne ( za wyjątkiem tych leżących na włóknach E3 ) będą zatem liniami świata cząstek „poruszających się ruchem inercyjnym”. Aby znaleźć te geodezyjne w CP Galileusza wystarczy zapostulować je jako układ prostych w pewnej przestrzeni E4 , przy czym włókno E3 utożsamiamy z układem maksymalnym wzajemnie równoległych płaszczyzn w E4 , a przestrzeń ilorazowa E1 określona jest w sposób oczywisty. Grupa ruchów CP Galileusza , zachowująca w/w strukturę , jest to dziesięcioparametryczna grupa Galileusza.

Bardziej skomplikowane jest określenie geodezyjnych w CP Newtona. Cała idea takiej definicji ,polega na tym [ 20, 108, 109 ] rozpatrzyć newtonowską teorię grawitacji z punktu widzenia OTW Einsteina. W tym przypadku siłom grawitacji przypisujemy odpowiednio nie siły rzeczywiste a „siły pozorne” , inercjalne , których

przykładem może być siła odśrodkowa i siła Coriolisa. Taka odpowiedniość jest uzasadniona na mocy zasady równoważności Galileusza –Einsteina ,opartej na równości mas bezwładnej i pasywnej masy grawitacyjnej.

(* W istocie zasada równoważności wymaga przyjęcia określonego poglądu na newtonowską teorię grawitacji . Stałe w całej przestrzeni pole grawitacyjne ( w newtonowskim sensie ) nie podlega w ogólności obserwacji, ponieważ wszystkie ciała mają w takim polu jednakowe przyspieszenie , wewnętrzne fizyczne zależności okazują się takie same jakby pole nie występowało. Dla takiego przypadku mamy pewną zbieżność z przypadkiem potencjału elektrycznego : jeśli przykładowo dodamy do niego stałą w całym wszechświecie składową , wewnętrzne zależności fizyczne nie zmienią się w żaden sposób. Dlatego właśnie rozumiemy „pole”

grawitacyjne (newtonowskie ) poprzez pryzmat odpowiedniego potencjału. Potencjał ten należy

„zróżniczkować” aby znaleźć właściwe (prawdziwe ) pole, a dokładnie krzywiznę. Można wyobrazić sobie pewne kanoniczne cechowanie potencjałów zerujące je w nieskończoności , jednak trudno było by znaleźć sposób na zastosowanie ich w realnym świecie , ponieważ nic nie świadczy o ubywaniu gęstości rozłożenia ciał grawitacyjnych przy odległości dążącej do nieskończoności *)

Zakładamy przy tym , że cząstka poruszająca się pod działaniem siły ciężkości – przy nie występowaniu innych sił – porusza się ruchem bezwładnym a jej linia świata przedstawia pewną geodezyjną. Różnych CP Newtona może być wiele , odpowiadają one możliwym , różnym nie równoważnym sobie polom grawitacyjnym . CP Galileusza jest przypadkiem szczególnym CP Newtona , odpowiadającym zerowemu polu grawitacyjnemu lub ,co jest równoważne, polu stałemu w całej CP przyspieszenia , co jest wynikiem tego ,że zarówno w CP Galileusza jak i w OTW , fizyczne pojęcie pola grawitacyjnego możemy określić tylko za pomocą „sił pływowych” wynikających z „niejednorodności „ grawitacyjnego pola przyspieszeń. (* Ta idea dokładnie omówiona jest w książce „Fizyka czasoprzestrzeni” – E. F . Taylor, J. A. Wheeler PWN 1972 – przypis tłumacza oraz własny ). Te siły pływowe znajdują swoje wyrażenie w „krzywiźnie” CP Newtona , która charakteryzuje stopień odchylenia wewnętrznej struktury geodezyjnych od wewnętrznej struktury CP Galileusza.

(zobacz rys 1 ).

Rys. 1 Naturalną miarą krzywizny CP Newtona jest odchylenie geodezyjnych tj. siły pływowe.

„Równania pola” CP Newtona wiążą krzywiznę z rozkładem materii ( jako źródła siły grawitacyjnej) , otrzymujemy je przechodząc do granicy c → ∝ ( c- prędkość światła )w równaniach OTW , jednak dokładnie nie będziemy tego omawiać (* Dokładnie to zagadnienie omawia Trautman [108, 109]. Rozpatrzył on również bardziej ogólny przypadek , w którym newtonowskie przestrzenie stałego czasu nie koniecznie przedstawiają sobą przestrzenie E3. To pozwala mówić o „newtonowskiej kosmologii” *)

Podstawowa różnica między CP Minkowskiego i Einsteina a CP rozpatrywanymi wcześniej polega na tym ,że nie wprowadzaliśmy w nich jakiegoś określonego w sposób szczególny, pojęcia różnicy (odległości czasowej – przypis własny ) czasu między zdarzeniami. Teraz określimy w CP pseudoriemannowską formę metryczną ds2 o hiperbolicznej sygnaturze (+, - , - , - ) (*Pojęcie „riemannowska” odnosimy ogólnie do przypadku dodatnio określonej metryki , a „pseudoriemannowska” – do przypadku metryki nieokreślonej ( o nieokreślonym znaku – przypis własny ). Niekiedy rozmaitość pseudoriemannowską o metryce postaci (+, -, ... , - ) nazywamy

„lorentzowską” *).

Dla takiej metryki odległość czasowa między dwoma punktami CP A i B , zależna jest od wyboru linii świata łączącej te punkty i określona jest przez całkę obliczaną wzdłuż tej linii świata :

B

τ = ∫ ds (2.6) A

Na dopuszczalnej linii świata (tj. linii czasopodobnej lub świetlnej ) ds2 ≥ 0, zatem τ okazuje się parametrem rzeczywistym. Wielkość τ określa interwał czasu ( czasu własnego ) między zdarzeniami A i B mierzony przez (idealny ) zegar , którego linia świata pokrywa się z rozpatrywaną. Ponieważ czas własny jest teraz pojęciem zależnym od drogi , możemy powrócić do definicji „geodezyjnej” jako drogi ekstremalnej. Otrzymany w ten sposób układ ( czasopodobnych ) geodezyjnych określa bezwładny ( zgodnie z założeniami teoretycznymi ) ruch cząstki. W odróżnieniu od niedawno rozpatrzonej CP Galileusza i Newtona , teraz ruch bezwładny określony jest od razu w momencie skonkretyzowania ruchu ( zachowania ) zegara.

CP Minkowskiego i Einsteina mają się do siebie tak ja CP Galileusza i CP Newtona. CP Minkowskiego opisywana jest w jednoznaczny sposób ( przykładowo , struktura jego geodezyjnych jest taka sama jak w przestrzeni E4 , przy czym układ geodezyjnych czasopodobnych odpowiada geodezyjnym w E4 pochylonym pod kątem 45° do pewnego ustalonego kierunku ) a grawitacji w niej nie określamy . Posiada ona dziesięcio parametryczną traznzytywną grupę ruchów - grupę Poincarego ( tj. niejednorodna grupę Lorentza ). W przeciwieństwie do niej CP Einsteina może wiele – odpowiadają one różnym nie równoważnym wzajemnie polom grawitacyjnym. Tak samo jak w przypadku CP Newtona , fizyczny sens mają tylko grawitacyjne siły pływowe obecna przy obecności pewnego gradientu „grawitacyjnego pola przyspieszeń”. Takie siły pływowe opisywane są przez odchylenie wewnętrznej struktury geodezyjnych od analogicznej struktury CP

Minkowskiego , inaczej mówiąc z „krzywizną” CP Einsteina ( porównaj z (7.8) ). Einsteinowskie równania pola grawitacyjnego opisują związek tej krzywizny CP z gęstością materii ( tj. z tensorem energii-pędu – naprężenia ). Zanim zgodzimy się z punktem widzenia prezentowanym przez Einsteina , zapytamy na początku czy CP posiada jednoznaczną i dobrze określoną strukturę pseudoriemannowską . Jest to zależne od istnienia w przyrodzie dokładnych zegarów i od tego czy zachowują się one lokalnie zgodnie z prawami STW i od tego czy dwa zegary porównywane ze sobą będą jednakowo domierzały czas , niezależnie od wyboru miejsca porównania oraz ich przeszłej historii. Jak wiadomo fakt istnienia dokładnych zegarów w sposób ścisły związany jest z kwantową naturą materii W ostateczności prowadzi to do tego ,że dowolnej masie m odpowiada ( przez stałą Plancka h ) pewna naturalna częstotliwość ν , wiąże się to z tym ,że z einsteinowskiego prawa wiążącego masę i

energię E = mc2 i wzoru Plancka E = hν ( dla jednostek w których prędkość światła c = 1 , które stosujemy w dalszym tekście ) otrzymujemy :

ν = m/h (2.7) Dlatego każda fundamentalna cząstka zadaje pewną skalę czasu , związaną z jej masą własną (spoczynkową ) m.

Tą skale można wyobrazić sobie jako zbiór kolejno następujących znaczników czasu określony wzdłuż linii świata cząstki (* Częstotliwości planckowskie cząstek elementarnych są nadzwyczaj wielkie i praktycznie nie mogą być bezpośrednio wykorzystane w charakterze zegarów. Odpowiadające planckowskie częstotliwości układów złożonych są jeszcze większe. W istocie częstotliwości które wykorzystujemy w zegarach atomowych otrzymywane są z różnic mas *) , które zgodnie z definicją różnią się między sobą o ν-1. W taki sposób definiujemy interwał ds. wzdłuż linii świata cząstki , a jeśli dopuścimy zmianę tej linii , to otrzymamy ds. dla dowolnego interwału czasopodobnego. Stąd wypływa wniosek o pseudorieannowskiej strukturze CP – wiążący się z faktem ,że STW jest słuszna lokalnie z nadzwyczajnym stopniem dokładności ( rysunek 2 ).

Rys. 2 Dla cząstek , których linie świata wychodzą z punktu P, mamy różne kierunki czasopodobne , interwał ds.

odpowiada strukturze geometrii pseudoriemannowskiej. Wynika to z lokalnej stosowalności STW ( opisy na rysunku – stożek świetlny )

Zauważymy również ,że otrzymana struktura CP nie zależna jest od wyboru cząstki , wykorzystanej dla jej określenia. Wyjaśnić to można w ten sposób , że jak wiadomo zależności mas różnych cząstek elementarnych są ściśle określone i nie zależą od położenia cząstki w CP lub od ich historii ( jeśli okazałoby się , że tak nie jest to jednoznacznie określona była by tylko geometria konforemna tj. metryka była by zadana z dokładnością do czynnika zależnego od punktu świata )

Do tej pory nie wspominałem o interwałach przestrzennopodobnych , chociaż geometrię Riemanna zwykle wykłada się w języku odległości , a nie odcinków czasowych. Problem polega na tym ,że w istocie pomiar odległości (przestrzennych ) jest procesem bardziej złożonym niż pomiar czasu. Mając zadane dwa bliskie punkty P i Q , rozdzielone odcinkiem przestrzennopobobnym , nie możemy po prostu przyłożyć do nich linijki i zmierzyć odległość między nimi. Po pierwsze linijka w naszej sytuacji nie nadaje się do pomiaru odległości między zdarzeniami : w CP za „linijkę” służy dwuwymiarowa taśma mająca kierunek czasopodobny. Jeśli nie założono ,że dwa punkty P i Q , znajdujące się na dwóch przeciwległych krańcach tej taśmy znajdują się tam

„jednocześnie w układzie odniesienia w którym linijka ( taśma) spoczywa” to nie możemy prawidłowo określić wielkości interwału PQ ( rysunek 3 ). Do tego sytuacje komplikuje problem sztywności linijki , która w istocie zależna jest od zachowania „zegarów” które reprezentują atomy składające się na tą linijkę.

Rys. 3 Niepoprawny pomiar interwału przestrzennopodobnego PQ za pomocą linijki : zdarzenia P i Q są nie jednoczesne w układzie odniesienia w którym linijka spoczywa.

( opis na rysunku – chwilowe położenia linijki )

Aby zmierzyć interwał przestrzenny lepiej jest posługiwać się zegarami i odbijanymi sygnałami świetlnymi – podobnie jak pokazano na rysunku 4.

Rys. 4 Poprawny pomiar interwału przestrzennopodobnego PQ z pomocą zegara i odbitych sygnałów świetlnych ( rysunek należy interpretować jako leżący na jednej płaszczyźnie )

( opis na rysunku – zegar )

Wtedy interwał przestrzennopodobny PQ będzie równy interwałowi czasopodobnemu między zdarzeniami polegającymi na wysłaniu sygnału świetlnego i rejestracji sygnału odbitego ( sygnał wysyłamy od zegara w dwóch przeciwnych kierunkach zatem nasz rysunek leży na płaszczyźnie czasopodobnej )

Przyjmijmy teraz , że CP ( przy pomiarach czasu dokonywanych na dokładnie idącym zegarze ) charakteryzuje się jednoznacznie określoną metryką pseudoriemannowską ( o sygnaturze : +, -, - , - ). Wtedy pozostanie nam jeszcze zadać pytanie o to czy określone za pomocą tej metryki geodezyjne mają jeszcze jakikolwiek związek z ruchem bezwładnym cząstek ?. Kiedy sformułowano OTW , utożsamienie linii świata cząstek , poruszających się ruchem bezwładnym z czasopodobnymi geodezyjnymi było przyjęte jako postulat. Jednak później Einstein i Grommer [30] pokazali (* Późniejsza ważna praca – [31] ; nowsze sformułowanie [36]. *) , że w istocie własność ta jest następstwem równań pola grawitacyjnego ( zobacz (7.1 )) przy pewnych racjonalnych założeniach dotyczących sposobu opisu cząstek (próbnych) w postaci granicznie małych obszarów o niezerowym tensorze energii-pędu. Zagadnienie to jest dosyć skomplikowane – w ostateczności jednak sprowadza się ono do spełnienia kowariantnego prawa zachowania tego tensora ( zobacz (8.1)).

W zagadnieniu tym w ostateczności konkretna postać równań pola grawitacyjnego nie odgrywa roli.

Możliwy jest drugi sposób rozumowania w którym ruch bezwładny cząstki rozpatruje się jako dany pierwotnie a

znamy zarówno czasopodobne jak i świetlne geodezyjne ( odpowiednio – linie świata cząstki poruszającej się ruchem bezwładnym i fotonu ( promienia świetlnego bez rozpraszania ) ) to metrykę CP można zbudować jednoznacznie , z dokładnością do uniwersalnego mnożnika. W pewnym sensie takie podejście jest czytelniejsze niż określenie metryki za pomocą zegarów, co wynika z tego ,że pojęcie pierwotne w takim podejściu niezależne jest od tych rozdziałów fizyki ( np. teorii kwantowej ) które można w pewnym stopniu uważać za obce dla OTW. Ja jednak przyznaję bardziej fundamentalne znaczenie zegarom , co tłumaczy się tym ,że w w/w

podejściu należy przyjąć ( bez potrzeby ) szereg założeń o geodezyjnej strukturze CP , tak aby odpowiadała ona jakiejkolwiek (sensownej ) metryce ,a wtedy pseudoriemannowska struktura CP staje się mniej jasna. Z tego też powodu uważam , że między teorią kwantową i OTW istnieje głęboki związek i było by błędem aby budować te teorię odrywając jedną od drugiej. Aby OTW miała związek z rzeczywistością , konieczne jest nie tylko dobre określenie pseudoriemannowskiej struktury CP, ale również wymaganie jej nietrywialności ( tj. aby krzywizna była chociaż gdziekolwiek różna od zera ). Fakt , że metryka CP w rzeczywistości opisuje przestrzeń

zakrzywioną (* Poniższe rozważania nie dowodzą , że CP nie jest konforemnie –płaska tj. nie jest taka , że jej metryka może być sprowadzona do postaci : ds2 = f(x, y, z , t ) {dt2 - dx2 - dy2 - dz2 . Świadectwem na korzyść zakrzywienia CP jest odchylenie promienia świetlnego w polu grawitacyjnym Słońca. Jak wiadomo jedynym mechanizmem prowadzącym do jednakowego odchylenia promienia składającego się ze składowych o różnych częstotliwościach ( brak dyspersji chromatycznej ) jest właśnie obecność krzywizny CP. W świecie

konforemnie płaskim (( przykładowo w teorii ciążenia Nordströma [66] grawitacja nie prowadzi do odchylenia promienia świetlnego ( głownie dlatego ,że geodezyjne świetlne są konforemnie inwariantne ) . Obecnie można uznać , że eksperymentalnie dowiedziono istnienie achromatycznego odchylenia promieni. Krzywizna CP przejawia się w najwidoczniejszy sposób w istnieniu orbit planetarnych. Jednak nie opierałbym się na tym fakcie jako na podstawowym dowodzie na zakrzywienie CP, dlatego , że zależność wzajemna miedzy zakrzywieniem orbit i zachowaniem się zegarów nie jest zależnością prostą – równania ruchu wyprowadzamy z równań pola grawitacyjnego i są one równaniami różniczkowymi dla tensora metrycznego *) w istocie wynika z zupełnie elementarnego rozumowania [96] dotyczącego niemożliwości budowy „wiecznego podnośnika”.

Rozważmy zamknięty nieskończony łańcuch czerpaków naciągniętych na dwóch krążkach , osie których zostały umocowane względem powierzchni Ziemi w punktach o różnym potencjale grawitacyjnym ( rysunek 5, zobacz [9] str. 418 ). W każdym czerpaku znajduje się atom , mogący znajdować się w dwóch stanach – podstawowym i wzbudzonym. Niech wszystkie atomy w czerpakach po lewej będą w stanie wzbudzonym, a atomy po prawej w stanie podstawowym. Atomy wzbudzone o energii większej niż atomy w stanie podstawowym maja większą masę. To oznacza , zgodnie ze słabą zasadą równoważności, że są one również cięższe. Załóżmy , że nie rozpatrujemy tarcia; wtedy łańcuch (sznur itp. – przypis własny ) zacznie się poruszać się przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek. Załóżmy , że kiedy dowolny czerpak osiągnie najniższe położenie atom znajdujący się w nim odda nadwyżkę swojej energii w postaci fotonu – foton ten za pomocą układu luster zostaje

skierowany do atomu znajdującego się w położeniu górnym. Atom górny przyjmując (absorbując) ten foton przechodzi w stan wzbudzony – tym samym otrzymamy perpetum mobile , ponieważ proces ten może trwać nieskończenie długo i w zasadzie możemy czerpać energię z tego układu.

Aby uniknąć trudności musimy założyć , że górny atom nie może pochłonąć fotonu. Jeśli moglibyśmy zapytać Newtona co myśli o tym układzie , prawdopodobnie dałby nam prosta odpowiedź : „foton „słabnie” poruszając się w górę zatem jego energia nie jest wystarczająca aby wzbudzić atom u góry”. Z teorii kwantowej wiemy , że foton nie może po prostu „słabnąć” – zgodnie ze wzorem Planka powinna maleć jego częstotliwość w miarę poruszania się w górę , tak że na samej górze łańcucha jest ona nie wystarczająca aby wzbudzić atom. Dlatego w niższej części łańcucha zegary powinny chodzić wolniej niż w części górnej , a metryka CP , tak jak ją

określiliśmy, powinna w obecności pola grawitacyjnego być inna niż standardowa metryka płaskiej CP.

( opisany „przyrząd” jest oczywiście idealizacją , jednak warto zauważyć , że efekt zwolnienia chodu zegarów ( w polu grawitacyjnym – przypis własny ) został zaobserwowany bezpośrednio na Ziemi – zrobili to Pound i Rebeka [85] wykorzystując efekt Mössbauera ). Zauważmy, że jak do tej pory wykorzystaliśmy tylko słabą zasadę równoważności tj. stwierdzenie ,że energia cokolwiek waży. ( Specjalny wariant eksperymentu polegałby na wykorzystaniu mezonów π0 , a nie atomów Przy rozpadzie mezony te bez reszty przekształcają się w fotony , tak więc czerpaki po prawej były by puste . Dlatego nasze rozważania są słuszne , jeśli mezony π0 , posiadają jakikolwiek ciężar ).

Rys. 5 Nieskończony łańcuch czerpaków według Bondiego. Ciężar promieniowanej energii atomów wzbudzonych porusza łańcuchem

( opis na rysunku – lustro )

Nasze rozważania jednak nie są wystarczające aby udowodnić zakrzywienie CP – metryka mogłaby bowiem odpowiadać płaskiemu światu a tylko jej zapis miałby niezwyczajną formę. (generalnie chodzi o problem sprowadzenia (globalnie ) metryki do postaci diagonalnej, co możliwe jest tylko dla przypadku zerowego tensora krzywizny – przypis własny )

Fakt sferycznej symetrii pola grawitacyjnego Ziemi od razu jednak pokazuje , że jest to niemożliwe, ponieważ wymagany był by związek metryki tego pola ze standardową metryką CP Minkowskiego uzyskiwany na drodze przekształcenia do którego włączałoby się przyspieszenie , którego kierunek wyznaczałyby wszystkie proste wychodzące od środka Ziemi. Nie będziemy jednak zajmowali się dokładnie tym zagadnieniem , skupimy się jedynie na analizie przekształcenia w CP Minkowskiego prowadzącym do „układu jednostajnie

przyspieszonego”. Taki przypadek jasno pokazuje , jak układ statyczny może posiadać własności układu w którym działa pole grawitacyjne, a CP pozostaje płaska. Przypadek ten w pewnym stopniu jest zbieżny – co zobaczymy później - z reprezentacją Schwarzschilda i Kruskala sferycznie symetrycznego właściwego pola grawitacyjnego. ( zobacz (10.1) i (10.4) jak również [6a] ).

Niech x, y, z, t – będą standardowymi współrzędnymi Minkowskiego, w których metryka ma postać :

ds2 = dt2 - dx2 - dy2 - dz2 (2.8) Wprowadzimy nowe współrzędne X, Y, Z, T , związane z poprzednimi w obszarze z > | t | ( Z > 0 )

przekształceniem :

x =X ; y = Y ; z = Z ch (T) ; t = Z sh ( T ) (2.9) ( ch – cosinus hiperboliczny , sh – sinus hiperboliczny - przypis własny )

(zobacz rysunek 6 ) Teraz metryka przyjmuje postać :

ds2 = Z2 dT2 - dX2 - dY2 - dZ2 (2.10) Metryka (2.10) ma taką postać jak gdyby opisywała ona układ ze statycznym polem grawitacyjnym , którego rolę potencjału odgrywa Z. Człon Z2 dT2 w (2.10) pojawiający się w miejscu dt2 , świadczy w pewnym stopniu o „spowolnieni czasu” w pobliżu Z =0. Dowolna cząstka spoczywająca w układzie X, Y, Z, T ( tj.

charakteryzująca się stałymi współrzędnymi X, Y, Z ) doznaje działania stałej siły w kierunku zmniejszania się Z, co wynika z tego ,że linia świata cząstki jest w istocie hiperbolą stałego przyspieszenia w układzie x, y, z, t.

W układzie X, Y, Z, T swobodnie spadająca cząstka spada w kierunku Z = 0 z opóźnieniem , do prostej Z = 0 zbliża się ona w sposób asymptotyczny ( linia kreskowana na rysunku 6 ). Przy Z =0 mamy coś w rodzaju

„bariery” , której cząstki nie mogą przejść. Jeśli zastosujemy przekształcenie odwrotne do metryki (2.8) , będzie oczywiste , że takie zachowanie jest przejawem tylko niezupełności układu współrzędnych (X, Y, Z, T ). W dalszej kolejności będzie dobrze przypomnieć sobie tą własność , kiedy przejdziemy do omówienia problemu kolapsu grawitacyjnego ( rozdział 10 ).

Rys 6. Przekształcenie do układu odniesienia jednostajnie przyspieszonego. Pozorna bariera przy Z= 0 nie ma fizycznego sensu.

( opis na rysunku – bariera pozorna )

3. Metoda abstrakcyjnych indeksów (znaczków – przypis własny).

Podczas obliczeń związanych z OTW często pracujemy z tensorami o dowolnie wysokim rzędzie ( walencji ).

Nawet taka fundamentalna wielkość jak tensor krzywizny ma walencje równą 4, i posiada znane , raczej złożone własności symetrii. Wynika z tego konieczność wprowadzenia zapisu indeksowego pozwalającego śledzić różne stosowane wielkości. Wielu matematyków stara się jednak unikać takich oznaczeń , prawdopodobnie dlatego , że przyjęty sposób oznaczeń sugeruje konkretny wykorzystywany układ współrzędnych. Jednak kiedy wielkości

„ gab „ „ Ra

bcd „ wykorzystywane są przez fizyka , nie myślę aby myślał o nich jako zbiorze współczynników zależnych od wyboru układu współrzędnych , raczej ma on na myśli niezależny od układu współrzędnych obiekt fizyczny który scharakteryzowany jest przez te współczynniki. W takim kontekście metoda indeksów pozwala wygodnie prowadzić wszelkie operacje algebraiczne , prowadzące do nowych obiektów ,a przy tym działania te w rzeczywistości nie zależą w żaden sposób od wyboru układu współrzędnych. Operacje te prowadzone są prosto i szybko , prowadząc nawet złożone działania. Było by nierozsądnie nie wykorzystać takiej możliwości chociaż być może okupione to będzie kilkoma trudnościami.

Wyłożę teraz algebrę nie zależną od wyboru układu współrzędnych , pozwalająca jednak prowadzić obliczenia na wielkościach z indeksami. Ta nowa algebra ( wraz ze swoją metodą abstrakcyjnych indeksów ) pozwala również na większą ( niż dotychczasowa ) swobodę kiedy wprowadzono w niej układ współrzędnych oraz bazę wektorową [96]. Okaże się to szczególnie widoczne przy rozpatrywaniu spinorów ( następny rozdział ).

Mając na uwadze ekonomikę czasu i środków nie będziemy się starać o zbytnią formalizację. Mam przy tym nadzieje , że podstawowe idee będą jasne.

Rozpatrzmy pewną przestrzeń V• nad ciałem F , lub ogólnie mówiąc załóżmy , że V• jest modułem (* moduł różni się od przestrzeni wektorowej tym , że skalary nie są ciałem a pierścieniem z tożsamością.

Pierścień różni się od ciała tym ,że nie zawsze w nim dopuszczalne jest dzielenie przez niezerowy element *) ,a F – odpowiedni pierścień ( przykładowo , elementami V• mogą być pola wektorowe (* Pod pojęciem pola należy tu rozumieć przecięcie odpowiedniego kiełka nad rozmaitością M *),a elementami F są C∝-funkcje na rozmaitości ). Idea polega na tym , aby zbudować wielkość , będącą w istocie zwykłym iloczynem tensorowym , będącą wielokrotnością V• oraz wielokrotnością V• - przestrzeni dualnej do V• . (* Przestrzeń dualna jest to przestrzeń wszystkich odwzorowań liniowych modułu V• na pierścieniu F ) tj. jest to wielkość w której z pomocą indeksów moglibyśmy bez trudu kontrolować własności symetrii i zawężania. Można to osiągnąć kopiując zwykłe oznaczenia indeksowe ( razem z umową sumacyjną ), ale teraz indeksów a, b, c .. nie należy rozumieć jako symboli przyjmujących zgodnie ze swoim położeniem wartości cyfrowe: 1,2,3 .. N, ale jako abstrakcyjne znaki. Będziemy korzystali z nieskończenie wielu takich indeksów , zapisywanych w postaci :

a, b, c ... , a0 , b0 , … , a1, b1 , ... , a2 , … (3.1)

za ich pomocą będziemy budowali wyrażenia o dowolnej strukturze. Oznaczmy przez L układ znaków (3.1). Z dowolnego elementu ζ z V• i dowolnego znaku x ∈ L możemy teraz zbudować symbol ζx. W miarę

przyjmowania przez symbol ζ elementów z V• odpowiadający mu obiekt ζx przebiega zbiór Vx. Należy tu podkreślić , że ζx – jest zupełnie samodzielną wielkością a nie zbiorem składowych ζ w jakimś układzie współrzędnych. Ponieważ chcielibyśmy przenieść zwykłe prawa tensorowe na wprowadzone indeksy należy zaniechać zapisu : ζa + ηb , a rozpatrywać tylko sumy postaci : ζa + ηa i ζb + ηb . ( Należy uważać ζa i ζb za różne obiekty ) Dla dowolnego λ ∈ F należy również zaniechać zapisu λζa . Zatem dowolne :

Va , Vb, ... ,Va0 ... jest przestrzenią wektorową lub modułem izomorficznym kanonicznie V•.

Może wydawać się dziwnym wprowadzanie nieskończonej liczby przestrzeni izomorficznych , jeśli mamy tylko jedną przestrzeń. Jednak sytuacje ta możemy rozpatrywać z innego punktu widzenia. Każdy element z L jest po prostu różnym obrazem znaczka konkretnego wektora bez względu na jego gdzie on jest zaczepiony. Zatem ζx jest parą składająca się z ζ i znaczka x. Inaczej mówiąc jest to element z V•× L . Mamy zatem Va =V•× (a), Vb =V•× (b) itd. Aksjomaty przestrzeni wektorowej lub modułu , są oczywiście stosowalne do dowolnego Vx:

ζx + ( ηx + ξx ) = ( ζx + ηx ) + ξx (3.2) λ ( ηx + ξx ) = λ ηx + λ ηx (3.2) (λ + µ )ξx = λξx + µ ξx (3.2) λ ( µ ξx ) = (λ µ) ξx (3.2) 1ξx = ξx (3.2) 0 ξx = 0ηx (3.2) λ, µ , 1, 0 ∈ F , przy czym 1 i 0 są odpowiednio jednościami multiplikatywnymi i addytywnymi.

Oprócz tego : ξx + ηx = ηx + ξx ( wynika to z rozłożenia ( 1 + 1) ( ξx + ηx ) oraz ξx + ( - ξx ) = 0 ( ponieważ zamiast (-1) ξx można zapisać - ξx , a w miejsce 0ηx zapiszemy 0 )

Przestrzeń dualna V• również posiada nieskończona liczbę kanonicznie izomorficznych kopii :

Va , Vb, ... ,Va0 ... .Przestrzeń Vx można rozumieć jako dualną do przestrzeni Vx, dla każdego x ∈ F . Elementy Vx są odwzorowaniami liniowymi Vx na F. Wtedy dla θx ∈ Vx mamy :

θx ( ξx + ηx ) = θx ξx + θx ηx (3.3) θx ( λξx ) = λ ( θx ξx ) (3.4) gdzie wynik odwzorowania θx na ξx zapisaliśmy prosto jako θx ξx . Pozwólmy zapisywać ten wynik również w odwrotnej kolejności : θx ξx = ξx θx . W tym celu potrzebujemy aby :

θa ξa = θbξb = ... = θx ξx = ... (3.5) Teraz każda Va , Vb, ....będzie przestrzenią wektorową lub modułem , dla którego λ θx i θx + ϕx określone są przez :

( λθx ) ξx = λ (θx ξx ) (3.6) ( θx + ϕx ) ξx = θxξx + ϕx ξx (3.6) Cała idea polega na tym aby zadać naszą algebrę za pomocą elementów należących do F , Va , Vb, ... , Va ,Vb, Aby sformułować zasady tej algebry należy przypomnieć sobie zasady wykorzystywania zwykłych tensorowych oznaczeń indeksowych. Przypomnijmy np. , że dopuszczalne są iloczyny postaci ξaηb , ale nie postaci ξaηa . Dalej , dopuszczone iloczyny powinny być przemienne :

ξaηb = ηbξa (3.7) chociaż w ogólnym przypadku ξaηb ≠ ηbξa . Z wymagania (3.7) widać , że chociaż ξaηb jest w istocie

iloczynem tensorowym elementów ξa ⊗ηb , wielkości ξaηb oraz ξa ⊗ηb nie można po prostu utożsamiać , ponieważ iloczyny tensorowe , zgodnie z ścisłym formalnym określeniem są nie przemienne. Musimy teraz zdefiniować przemienny wariant iloczynu tensorowego , dlatego , że ξa ηa nie zostało w istocie określone. W iloczynie ξaηb znaczki a i b wskazują należność do mnożników ale nie ich porządek następowania. Jednym ze sposobów dokładnego zdefiniowania typu iloczynu , tutaj wykorzystanego , polega na zastosowaniu „algebry symetrycznej” [54a] do iloczynu Va ⊗ Va ⊗ Vb ⊗ Vb ⊗ ... , po czym dla każdej pary rozłącznych

( skończonych) układów elementów L ( przykładowo a, p, r i b, m ) wybieramy odpowiednią podprzestrzeń Vapr bm rozpiętej na elementach postaci :

ξaηp ζr θb ϕm (3.8)