Geometrya dla szkół wydziałowych. Cz. 1

DLA SZKÓŁ WYDZIAŁOWYCH

PRZEZ

LEONA SILBERSTEINA

NAUCZYCIELA SZKOŁY WYDZIAŁOWEJ IKIENTA KAZIMIERZA WIELKIEGO W KRAKOWIE

CZĘŚĆ I

Z 129 FIG U RA M I W TEK ŚC IE

APROBOWANA d o UŻYTKU SZKOLNEGO ROZ PORZĄDZENIEM C. K. RADY SZK. KRAJOWE-« • z - d n i a i7 l i s t o p a d a im» r. d o l. 48*4o

CENA EGZEMPLARZA OPRAWIONEGO 1 K.

Í

KRAKÓW

ÑAKEA.D A. (RCBBTHNERA I SPÓŁKJ -w a r s z a w a '-- GEBETHNER i WOLFF

1907

. i

GEOMETRYA

GEOMETEYA

DLA SZKÓŁ WYDZIAŁOWYCH

PRZEZ

T LEONA SILBERSTEINA

NAUCZYCIELA SZKOŁY WYDZIAŁOWEJ IMIENIA KAZIMIERZA WIELKIEGO W KRAKOWIE

CZRSC I

Z 129 FIGURAMI W TEKŚCIE

APROBOWANA DO UŻYTKU SZKOLNEGO ROZ­

PORZĄDZENIEM C. K. RADY SZK. KRAJOWEJ Z DNIA 17 LISTOPADA 1906 R. DO L. 18210

/ A

CĘNA EGZEMPLARZA OPRAWIONEGO 1 K. ^ - A

<o

KRAKÓW ¿jj?

NAKŁAD G. GEBETHNERA I SPÓŁKI WARSZAWA - - GEBETHNER I WOLFF

1907 /

WSZELKIE PRAWA ZASTRZEŻONE.

/

KRAKÓW — DRUK W. h . ANCZYCA I SPÓŁKI.

KLISZE DO FIGUR WYKONANE W ZAKŁADZIE REPRODUKCYI ARTYST. »ZORZA« W KRAKOWIE

W S T Ę P .

Bryły, powierzchnie, linie i punkty.

§. I. Przestrzeń, ze wszech stron zamknięta, zowie się b r y ł ą . Bryły przed nami ustawione, mają właściwe sobie kształty i odpowiednie tymże kształtom nazwy: sześcian, gra- niastosłup, ostrosłup, walec, stożek, kula.

Każda bryła rozciąga się we wszystkich kierunkach z których uwzględnić należy t r z y główne, tj. od lewej strony ' ku prawej (zwany zwykle długością), od przodu ku tyłowi (sze­

rokość) i od dołu ku górze (wysokość, grubość, niekiedy głę­

bokość).

B r y ł a m a w i ę c t r z y w y m i a r y . Dlaczego? (Bo ją można w trzech kierunkach mierzyć).

Pokaż owe' wymiary na bryłach, dopieroco poznanych i na f kilku przedmiotach, znajdujących się w izbie szkolnej!

Któremu wymiarowi odpowiada wyrażenie: wązki, krótki, głęboki, cienki?

§. 2. Każda bryła jest ograniczona p o w i e r z c h n i a m i . Książka np. nie rozciąga się wyżej ku sufitowi, bo ogra- 1 nicza ją górna ściana, czyli powierzchnia. Iloma powierzchniami ' ograniczona jest cegła? sześcian? ostrosłup? walec? stożek? kula?

głowa cukru? ołówek niezacięty?

Dolna i górna powierzchnia (cegły) zowią się d n a m i l u b p o d s t a w a m i , pozostałe 4 powierzchnie: prawa, lewa, prze­

dnia i tylna zowią się ś c i a n a m i b o c z n e m i .

I ^GEOMETRIA. 1

2

Powierzchnię mierzymy wzdłuż i wszerz. Powierzchnia ma więc 2 wymiary: długość i szerokość.

Czy powierzchnia ma grubość? Dlaczego? Czy kartka cie­

niutkiej bibułki jest powierzchnią?

Że powierzchnia nie ma grubości, najlepiej widzimy na c i e n i u brył np. książki, tablicy, cegły, itd.

§. 3. Każda powierzchnia ograniczona jest liniami.

Ile linii widzimy na cegle? Wyrazić ich długość w centy­

metrach!

Iloma limami ograniczona jest każda powierzchnia na po­

znanych bryłach?

W ilu kierunkach da się linia zmierzyć?

Linia ma tylko j e d e n wymiar (długość).

§ .4 . G r a n i c ę l i n i i z o w i e m y p u n k t e m .

Ile punktów narożnych widzimy u cegły? Czy punkt da się zmierzyć? Czy punkt ma więc wymiar?

Czy można sobie wyobrazić punkt bez linii? linię bez po­

wierzchni? powierzchnię bez bryły?

Powstanie i podział linii, powierzchni i brył.

§. 5. Czy pyłek, unoszący się w przestrzeni, jest punktem?

lecz czem? Czy może istnieć dla siebie punkt w przestrzeni?

Można uzmysłowić punkt, rysując kropkę. Kropka utwo­

rzyła się z cząstek ołówka, przyczepionych do papieru. Patrząc na nią przez szkło powiększające, przekonamy się, że ma ona nietylko długość i szerokość, ale nawet grubość. Lepiej to spo­

strzeżemy na kropce, zrobionej kredą na tablicy. Czem że więc jest właściwie kropka? A czem jest narysowana kreska, ma­

jąca nam wyobrazić linię? Czy nitka pajęczyny jest linią?

Przypuśćmy, że istniałby punkt w przestrzeni i poruszałby się w pewnym kierunku, zostawiając ślad po drodze, jak np.

iskra lub gwiazda spadająca, to ten ślad byłby linią. • Rozróżniamy linie proste i krzywe.

Linia powstała z poruszenia się punktu ciągle w jednym kierunku, jest l i n i ą p r o s t ą , lub krócej p r o s t ą . Linia zaś, opisana przez punkt, który poruszając się, ciągle zmienia kieru­

nek, zowie się l i n i ą k r z y w ą .

3

Uważajcie na chwilę kawałek kredy za punkt. Poruszaj­

cie tą kredą po tablicy tak, aby powstała linia prosta, linia krzywa. To samo uczynić na papierze końcem ołówka.

Linia, składająca się z samych prostych, która jednak sama nie jest prostą, zowie się l i n i ą ł a m a n ą . Linia złożona z prostych i krzywych, zowie się l i n i ą m i e s z a n ą .

§. 6. Można sobie wyobrazić, że podobnie, jak linia po­

wstała z poruszenia się punktu, powierzchnia powstaje, gdy linia porusza się w przestrzeni (lecz nie w kierunku swej dłu­

gości). Uzmysłowić to się da śladem, jaki zostawia kreda, jeżeli jej krawędź posuwamy po tablicy.

Powierzchnia może być płaską, czyli płaszczyzną, lub krzywą.

Powierzchnia jest wtedy płaszczyzną, gdy po niej można we wszelkich kierunkach kreślić linie proste, np. powierzchnia stołu, tablicy, ściany itd. Powierzchnia zaś, po której tylko w jednym kierunku da się wykreślić prosta linia, albo w ża­

dnym, zowie się k r z y w ą powierzchnią (np. boczna powierz­

chnia szklanki, kuli, kapelusza itp.).

§. 7. Powierzchnia, poruszająca się (nie w kieruuku swej rozciągłości) tworzy bryłę.

Bryły dzielimy na graniaste i okrągłe.

Bryła ograniczona samemi płaszczyznami, jest g r a n i a ­ s t ą. Bryła zaś ograniczona samemi powierzchniami krzywemi, lub krzywemi i płaszczyznami, zowie się b r y ł ą o k r ą g ł ą .

Wskażcie na modelach brył punkty, linie i powierzchnie;

podajcie ich ilość i jakość. Które z tych brył są graniaste, a które okrągłe?

§. 8. Bryłę możemy powiększyć lub zmniejszyć w 3 kie­

runkach, powierzchnię w dwu, a linię w jednym kierunku.

Bryły, powierzchnie i linie można też mierzyć.

To, co można zmierzyć, powiększyć lub zmniejszyć, zowie się i l o ś c i ą .

Bryły, powierzchnie i linie są więc ilościami, a ponieważ rozciągają się w przestrzeni, zowiemy je i l o ś c i a m i p r z e - s t r z e n n e m i .

1*

4

Punktu ani mierzyć, ani powiększyć, ani zmniejszyć nie można. Punkt nie jest ilością.

Wielkość i kształt figur.

§. 9. Dwie ilości przestrzenne mogą mieć różny kształt, a tę samą wielkość. Z dwóch różnych np. drutów zagnijmy jeden. Czy są dalej równe co do długości? A czy kształt ich jest równy? Podobnie podłoga pokoju długiego a wązkiego może zawierać tyleż desek równej wielkości, co w pokoju krótszym, a szerszym. Połowa arkusza papieru, przeciętego przez środek wszerz, jest tak samo wielka, jak połowa arkusza przeciętego środkiem wzdłuż, a kształtem się przecież różnią. Tak samo 1 litr w formie flaszki równy jest litrowi w formie garnka, dzbanka itd., a kształtem różny.

Takie dwie ilości przestrzenne, które mają równą wielkość zowiemy r ó w n e m i.

Znak równości pisze się =

Odwrotnie mogą dwie ilości przestrzenne mieć równy kształt, a różną wielkość, np. koło wielkie i małe, sześcian duży i mały, kula duża i mała, itp.

Dwie ilości, mające równy kształt, a różną wielkość, są p o d o b n e .

Znak podobieństwa

Ilości przestrzenne, mające równy kształt i wielkość ró­

wną, są p r z y s t a j ą c e .

Znak przystawania Si (równe i podobne).

Np. obie podstawy graniastosłupa są przystające; różnią się tylko położeniem, odpowiednio zaś na sobie ułożone, zupeł­

nie się nakrywają, czyli p r z y s t a w a j ą do siebie. (Wykrój z papieru podstawę graniastosłupa i przekonaj się o tern).

§. 10. Nauka o ilościach przestrzennych zowie się g e o ­ m e t r y ą.

Geometrya rozpada się na 2 główne działy: na p l a n i - m e t r y ę i s t e r e o m e t r y ę . Planimetrya obejmuje naukę o ilościach przestrzennych, leżących na jednej płaszczyźnie;

stereometrya zaś zajmuje się ilościami przestrzennemi, leźącemi na dwu lub więcej płaszczyznach.

5 Ćwiczenia:

Co to jest bryła?

Jak nazywają się granice brył? powierzchni? linii?

Jak powstaje linia prosta z ruchu punktu, a jak krzywa?

Jak można sobie wyobrazić powstanie powierzchni? bryły?

Czy punkt, linia lub powierzchnia istnieją dla siebie w prze­

strzeni?

Narysuj od ręki linię prostą, krzywą, łamaną i mięszaną!

Planimetrya.

1. PUNKT.

§. II. Punkt uzmysławia się kropką lub dwiema krese- czkami, przecinającemi się (x). Kropka jest więc z n a k i e m pun­

ktu. Aby wiedzieć, o których punktach mówimy, oznaczamy je i nazywamy literami lub liczbami, i tak: punkt a (małe a), punkt 8 (duże S), punkt 1. itd. (fig. 1.).

Fig. 1.

a • Sm

1*

Dwa punkty mogą leżeć obok siebie, prosto ponad, lub pod sobą, albo ukośnie ponad lub pod sobą.

Wykreśl dwa punkty w każdem z tych położeń!

Jakie położenie mogą mieć 3 punkty wobec siebie? Nary­

suj je!

Wykreśl 4 punkty 1) obok siebie, 2) prosto ponad sobą, 3) ukośnie pod sobą w lewo, w prawo!

Co powstanie, gdy kreślimy wiele punktów tuż obok siebie?

2. PROSTE.

§. 12. Przez jeden punkt można wykreślić niezliczoną ilość prostych we wszelkich możliwych kierunkach. Przez 2

6

punkty zaś przechodzi tylko jedna prosta. Dwa punkty wyzna­

czają więc dokładnie prostą.

Dwie proste mogą mieć tylko j e d e n punkt wspólny.

Mówi się wtedy: one p r z e c i n a j ą s i ę w tym'punkcie, który zowie się ich p u n k t e m p r z e c i ę c i a .

§. 13. Prostą nieograniczoną dzieli każdy jej punkt na dwie proste, które ciągną się od owego punktu w dwóch prze­

ciwległych kierunkach.

Prosta, ograniczona z jednej strony, zowie się p r o m i e ­ n i e m.

¿

Prosta, ograniczona z obu stron, zowie się o d c i n k i e m ; ba graniczne punkty zowiemy punktami k o ń c o w y m i . Odcinek jest n a j k r ó t s z ą linią, jaką wykreślić można między obu punktami; on oznacza więc odległość, czyli odstęp między nimi.

Promień oznaczamy punktem granicznym i drugim na owym promieniu leżącym; odcinek zaś oboma punktami końcowymi.

Rysowane linie mogą być p e ł n e , k r o p k o w a n e , k r e ­ s k o w a n e lub k r e s k o - k r o p k o w a n e (fig. 2).

Fig. 2.

Do rysowania prostych używamy liniału.

Proste równoległe i nierównoległe.

§. 14. Dwie proste, których odstęp jest wszędzie taki sam, zowią się r ó w n o l e g ł e .

Proste, które nie są wszędzie od siebie jednakowo odda­

lone, lecz z jednej strony ku sobie się zbliżają, a z drugiej od siebie się oddalają, są n i e r ó w n o l e g ł e . W tej stronie, gdzie się ku sobie zbliżają, są z b i e ż n e ; w tej zaś, gdzie się od sie­

bie oddalają, r o z b i e ż n e .

We fig. 3. linie AB i CD są równoległe, MN i OP zbieżne.

NM i PO rozbieżne. Równoległość prostych AB i CD oznacza się tak: AB || CD. Czyta się: Prosta AB równoległa do CD.

7

Ponieważ proste równoległe w ciągu całej swej długości są od siebie jednakowo oddalone, przeto choćby w nieskończo­

ność przedłużone, nigdy się nie schodzą. Nierównoległe zaś, zbieżne, przedłużone, przeci-

jednym bokiem, do jednego _______

z pozostałych boków trójkąta ' ~—■— przykłada się liniał, przykła-

dnicę '(rajszynę), lub trójkąt " ~P inny; trójkąt przytykający

do danej prostej posuwa się po liniale itp. na żądaną odległość i kreśli się wzdłuż strony, która przytykała do danej prostej, równoległą.

Później poznamy inne sposoby kreślenia równoległych.

Wykreśl kilka równoległych o dowolnej odległości!

Wykreśl prostą, a do niej równoległą w dowolnem odda­

leniu!

Wykreśl prostą, a do niej równoległą przez dany punkt, leżący nad nią!

§. 15. Prosta, która ma kierunek pionu (sznurka wolno wiszącego, a obciążonego kawałkiem ołowiu), zowie się p i o n o w ą.

Ciało, wolno spadające, porusza się w kierunku pionowym.

Płaszczyzna, przechodząca przez linię pionową, zowie się p ł a s z c z y z n ą p i o n o w ą .

Rysując na tablicy szkolnej, uważamy za pionowe te pro­

ste, które są równoległe do prawej i lewej krawędzi tablicy (choć płaszczyzna tablicy często nie bywa pionową).

Prosta, mająca kierunek belki u wagi równo z obu stron obciążonej, albo kierunek patyczka, leżącego na spokojnej po­

wierzchni wody, zowie się p o z i o m ą .

Przez linię poziomą można poprowadzić nieskończenie nają się w jednym punkcie. ^{Fig. 3.}

Chcąc do danej prostej ^ kreślić równoległą, przykłada

się do niej trójkąt drewniany C D

3

Ćwiczenia:

Proste pionowe, poziome i ukośne.

wiele płaszczyzn, z których jedna tylko jest pionowa i jedna pozioma.

Płaszczyzna, przechodząca przez 2 linie poziome, przeci­

nające się, jest p ł a s z c z y z n ą p o z i o m ą . Taką płaszczyzną jest np. sufit, podłoga, powierzchnia spokojnie stojącej wody, itd.

Prosta, która nie jest ani pionowa, ani pozioma, zowie się p r o s t ą u k o ś n ą , a płaszczyzna, która nie jest pionową, ani poziomą — p ł a s z c z y z n ą u k o ś n ą .

Ćwiczenia:

1. Ile prostych pionowych może przejść przez 1 punkt?

2. Ile prostych poziomych „ „ „ 1 „ 3. Narysuj na zeszycie dowolną prostą i przenieś zeszyt w takie położenie, by ta prosta miała kierunek a) pionowy, b) poziomy, c) ukośny.

4. Wykreśl 5 poziomych prostych w równem od siebie oddaleniu.

5. Również 5 pionowych.

6. Narysuj 5 ukośnych prostych, równoległych a) od pra­

wej ku lewej w dół, b) od lewej ku prawej w dół.

7. Ile linii pionowych można wykreślić na płaszczyźnie pionowej? a ile poziomych?

8. Ile linii poziomych można wykreślić na płaszczyźnie poziomej? a ile pionowych?

9. Ile linii poziomych można wykreślić na płaszczyźnie ukośnej? a ile pionowych?

10. Ile płaszczyzn pionowych można przeprowadzić przez linię pionową? a ile poziomych?

11. Ile płaszczyzn poziomych można przesuwać przez linię poziomą? ile pionowych? a ile ukośnych?

Równe i nierówne odcinki.

§. 16. Chcąc porównać dwa patyczki co do swej długości, kładziemy jeden na drugi tak, aby z jednej strony końcami się dotykały. Jeżeli końce ich i z drugiej strony padają na siebie, wówczas patyki są równe. Jeżeli zaś z drugich punktów koń­

cowych jeden wystaje, wtedy patyki nie są równe; ten z nich

9

jest mniejszy, którego punkt końcowy leży między końcami drugiego patyka, ten drugi zaś jest większym.

Tosamo tyczy się dwóch odcinków.

Jeżeli dwa równe odcinki wyobrażamy sobie jako poło­

żone na sobie, natenczas zupełnie się nakrywają.

Znak nierówności jest > (większy), albo <( (mniejszy).

np. MN )> PQ czyta się: odcinek MN jest większy niż PQ.

MN < PQ „ „ „ „ „ mniejszy niż PQ- Chcąc rysować proste równe, przykładamy do nich liniał z podziałką centy- i milimetrową, albo mierzymy równość roz­

warciem cyrkla.

Suma i różnica odcinków.

§. 17. Jeżeli odcinek AB (fig. 4.) przedłużymy o odcinek BC, to odcinek AC jest tak wielki, jak AB i BC razem wzięte,

Fig. 4.

I---1--- =----1

A B C

czyli AC jest sumą odcinków AB i BC, co się pisze:

AC = AB + BC.

Jeżeli zaś pierwotnie rysuję odcinek AC, a na nim od C odmierzam mniejszy odcinek BC, to pozostały odcinek AB wska­

zuje, o ile cały odcinek AC jest większy od mniejszego BC. AB jest więc różnicą odcinków AC i BC, co się tak pisze:

AB — AC — BC.

Ćwiczenie:

Narysuj dwa nierówne odcinki, a potem a) ich sumę, b) ich różnicę.

Wielokrotność i części odcinków.

§. 18. Jeżeli na prostej (fig. 5) od A począwszy, odcinam równe odcinki AB, BC, CD i t. d., to

Fig. 5.

I---1---1---1---1---1---1—

A B C D E F G

AC jest dwukrotnością odcinka AB

10

AD jest trzykrotnością odcinka AB

AE jest czterokrotnością odcinka AB, i t. d.

Odcinki AC, AD, AE, AE, i t. d. są więc wielokrotnościami odcinka AB.

I na odwrót: AB jest połową odcinka AC, trzecią częścią odcinka AD, czwartą częścią odcinka AE, i t. d. Odcinek AB mieści się w AC 2 razy, w AD 3 razy, w AE 4 razy i t. d.

Odcinek AC został w punkcie B podzielony na dwie równe części; odcinek AD w punktach B i C na 3 równe części i t. d.

Ćwiczenia:

1. Wykreśl 2, 3, 4, 5-ciokrotność danego odcinka.

2. Podziel daną prostą od oka na 2 równe części i prze­

konaj się potem liniałem, paskiem papieru, a wreszcie cyrklem, czy podział dobrze uskuteczniony.

3. Podziel odcinek na 2 równe, a każdą połowę znowu na 2 równe części. Sprawdź, czy podział dobry.

4. W ten sam sposób podziel odcinek na 8 równych części.

5. Podziel daną prostą z wolnej ręki na 3 równe części i przekonaj się o słuszności podziału.

6. Podziel dany odcinek na 6 równych części w ten spo­

sób, że najpierw należy go przepołowić, a każdą połowę na 3 równe części podzielić.

Mierzenie odcinków.

11

§. 19. Mierzyć odcinek, to znaczy, oznaczyć jego długość.

Aby odcinek zmierzyć, przyjmuje się jakiś inny odcinek za jednostkę i przekonywa się, ile razy ta jednostka zawarta jest w odcinku przeznaczonym do zmierzenia.

Jednostką długości powszechnie przyjętą jest metr (m), zawierający 10 decymetrów (dm) po 10 centymetrów (cm);

każdy centymetr dzieli się na 10 milimetrów (mm).

10 m — 1 dekametr (dkm), 100 m = hektometr (hm), 1000 m = 1 kilometr (hm), 10.000 m — 1 myriametr (i.m).

Do mierzenia długości używamy listew z drzewa lub me­

talu, na których pooznaczane są jednostki długości wraz z swemi częściami. Są to podziałki.

i

11

Dobrze jest ćwiczyć oko w przybliżonem ocenianiu róż­

nych odległości, które potem należy dokładnie mierzyć.

Ćwiczenia:

Czy dwie pionowe proste, muszą być równoległe?

. Czy dwie poziome proste muszą być równoległe?

Pokażcie proste pionowe, poziome i ukośne w izbie szkolnej!

Oznaczcie kierunek krawędzi tablicy szkolnej!

Czy w zeszytach waszych proste równoległe do k ra­

wędzi bocznych (prawej i lewej) są pionowe?

Jak musicie zeszyty trzymać, by były pionowe?

Czy kierunki wieży Maryackiej i wieży np. w Paryżu są równoległe? (Każda pionowa, przedłużona w dół, przechodzi przez środek ziemi).

3 . K Ą T Y .

Kąt i jego części. Oznaczanie kątów.

§. 20. O godzinie 12. wskazówka minutowa zegara nakrywa zupełnie wskazówkę godzinową. Później jednak posuwają się na prawo, mniejsza powoli, większa szybciej, wskutek czego po­

wstaje między niemi rozchylenie coraz większe. Mówimy wtedy, że między wskazówkami powstał kąt.

Podobnie tworzy cyrkiel kąt, gdy go otwieramy (rozchy­

lamy). Również i ręka nasza z tułowiem tworzy kąty większe lub mniejsze, stosownie do tego, czy ją trzymamy spuszczoną, czy podnosimy w górę. Podajcie i inne przedmioty, tworzące kąty (nożyczki, palce u ręki, ściana — a drzwi uchylone, ściany stykające się, gałęzie drzew i t. d.).

I dwie proste, wychodzące z jednego punktu tworzą kąt.

K ą t jest to więc rozchylenie między dwiema prostemi, wychodzącemi z jednego punktu.

W geometryi używamy na oznaczenie kąta następującego znaku:

Proste, tworzące kąt, zowiemy jego r a m i o n a m i ; punkt przecięcia ramion zaś w i e r z c h o ł k i e m kąta. Płaszczyzna

\

zamknięta z dwóch stron ramionami kąta, a z trzeciej otwarta, zowie się p o l e m kąta.

§. 21. Kąt oznacza się albo literą u wierzchołka, albo małą literą na polu kąta obok wierzchołka, albo trzema lite­

rami (u wierzchołka i u końców Fio- 6- ramion), przyczem jednak trzeba

zawsze uważać na to, że literę przy wierzchołku czytać należy w środku.

W kącie przedstawionym we fi- 0-* ^ -— _____ __ _____ gurze 6. są proste OA i OB ramio­

nami, punkt O zaś wierzchołkiem kąta. Kąt ten przeczytamy: kąt O, albo kąt m albo kąt AOB lub BOA.

Kąt jest tern większy, im bardziej jego ramiona są roz­

chylone; długość zaś ramion nie wpływa na wielkość kąta.

W danym kącie AOB mogę ramiona dowolnie przedłużać lub skracać, a kąt mimoto zostanie ten sam, bo rozchylenie się nie zmieniło.

§. 22. Jeżeli 2 kąty tak na sobie położymy, że wierzchołki padną na siebie, a ramię jednego kąta pada na ramię drugiego kąta, to kąty te wtedy są równe, gdy i druga para ramion na siebie pada. Jeżeli zaś druga para ramion się nie nakrywa, kąty są nierówne, mianowicie ten kąt jest mniejszy, którego drugie ramię leży na polu kąta drugiego.

Ćwiczenia:

Utworzyć cyrklem kąty rozmaitej wielkości.

Utworzyć cyrklem kredowym i ołówkowym 2 równe kąty.

Porównaj kąty narożne różnych książek, zeszytów, tablicy!

Powstanie i rodzaje kątów*

§. 23. Narysujmy na tablicy prostą AO (fig. 7) nakryjmy ją prętem OB, a potem obracajmy pręt na powierzchni tablicy około punktu stałego O, natenczas pręt kolejno tworzyć będzie z prostą OA kąty coraz większe, aż wróci do pierwotnego po­

łożenia, t. j. znowu ową prostą nakryje.

Gdy prętem wykonamy połowę całego obrotu, wówczas kierunek jego będzie wprost przeciwny kierunkowi prostej OA,

13

czyli pręt będzie niejako przedłużeniem prostej. Kąt AOF, za­

w arty między nimi, zowie się kątem półpełnym.

K ą t p ó ł p e ł n y jest to taki kąt, którego oba ramiona tworzą prostą linię, a którego jedno ramię jest przedłużeniem drugiego.

Fig. 7.

Wszystkie kąty półpełne zupełnie się nakrywają, mają jednakie rozchylenie, są równe.

Jeżeli pręt wykona ćwierć całego obrotu, t. j. będzie miał położenie OD, to powstały w ten sposób kąt AOD zowie się kątem prostym.

K ą t p r o s t y jest to kąt, który powstał wtedy, gdy jedno jego ramię (ruchome) wykonało ćwierć zupełnego obrotu około wierzchołka. Kąt prosty jest więc połową kąta półpełnego, a ponieważ kąty półpełne zawsze są równe, to i w s z y s t k i e k ą t y p r o s t e , jako ich połowy, są także r ó w n e .

Kąt prosty oznacza się zwykle literą R. Aby otrzymać kąt prosty, wystarczy złożyć kawałek papieru 2 razy tak, żeby linie zagięcia na siebie padały.

Kąt mniejszy od prostego, n. p. AOC zowie się k ą t e m o s t r y m .

Kąt większy od prostego, a mniejszy od półpełnego, n. p.

AOE nazywamy kątem r o z w a r t y m .

— 14

Po całym obrocie wraca pręt do pierwotnego położenia.

Kąt, który powstał wskutek całego obrotu, jest 2 razy większy od półpełnego, czyli 4 razy większy od prostego i zowie się p e ł n y m . Jego ramiona nakrywają się.

Kąt większy od półpełnego, a mniejszy od pełnego, zowie się kątem w y p u k ł y m . Każdy kąt mniejszy od półpełnego zowie się kątem w k l ę s ł y m .

Kąty ostre, proste i rozwarte są więc kątami wklęsłymi.

Ramiona jakiegokolwiek kąta tworzą właściwie 2 kąty;

wklęsły i wypukły (jeżeli leżą w prostej linii, tworzą 2 kąty półpełne). Dla naznaczenia, o którym z tych kątów jest mowa, rysuje się na polu kąta właściwego, od ramienia do ramienia w pewnem oddaleniu od wierzchołka, łuk.

We fig. 8. kąt A jest wklęsły, kąt B wypukły. Jeżeli kąt nie jest oznaczony lukiem, to się zawsze ma na myśli kąt wklęsły.

Fig. 8.

Ćwiczenia:

1. Jaki kąt opisuje wskazówka minutowa zegara w 10, 15, 20, 30, 40 minutach? a jaki w godzinie?

2. Jaki kąt tworzą obie wskazówki o godzinie 3., 6., 9., 2., 5., 10.?

3. Narysuj 3 wklęsłe kąty: prosty, ostry i rozwarty!

4. Narysuj kąt półpełny, wypukły i pełny!

^ Suma i różnica kątów.

§. 24. 1. Jeżeli w kącie AOB (fig. 9) ramię OB odchylimy tak, że przyjdzie w położenie OC, to powstanie kąt AOC, który

15

jest tak wielki, jak kąty AOB i BOC razem. Kąt AOC jest Wn<v- sumą kątów AOB i BOC czyli

.4 AOC = 4 AOB + -4 BOC.

Suma wszystkich kątów (fig. 10) leżących po jednej stronie

r

Fig. 9. Fig. 10.

prostej, a których wspólny wierzchołek leży na owej prostej, równa się kątowi półpełnemu, czyli dwom kątom prostym.

— AOB = 2 R.

Suma wszystkich ką­

tów, leżących około jedne­

go punktu, który jest ich wspólnym wierzchołkiem (fig. 11), wynosi kąt pełny, czyli 4 kąty proste.

< a - f ^ ^ c +

+ ^ 4 + —

= 4 R.

2. Jeżeli w kącie da­

nym AOC (fig. 9) ramię OC obrócimy ku ramieniu OA tak, że zajmie poło­

żenie OB, powstanie kąt AOB, który jest różnicą kątów AOC i BOC, czyli

■¿C AOB = AOC - < BOC.

Ćwiczenia:

1. Jak trzeba 2 kąty układać, by otrzymać ich sumę?

Fig. 11.

16

2. Jak trzeba 2 kąty układać, by otrzymać ich różnicę?

3. Narysuj kąt MSN i wykreśl z wierzchołka S dowolną prostą SP, któraby leżała między ramionami kąta. Które dwa kąty powstały? Czem jest każdy z tych 3 kątów wobec dru­

gich dwóch? Oznacz to piśmiennie!

4. Narysuj kąt AOM i wykreśl z wierzchołka O dowolną prostą, nie leżącą między ramionami tego kąta! Porównaj te trzy kąty i oznacz wynik piśmiennie!

5. Jakim kątem jest suma a) kąta prostego i ostrego, b) pro­

stego i rozwartego, c) półpełnego i wklęsłego, d) prostego i ostrego ? 6. Jakim kątem jest różnica kąta półpełnego i ostrego?

7. Wskaż w izbie szkolnej przedmioty, na których znaj­

dują się kąty proste, ostre, rozwarte!

8. Ile kątów znajduje się na graniastem pudelku od zapa­

łek? Jakie to kąty?

9. Ile i jakie katv widzisz na ołówku sześciobocznym nie- zaciętym, a ile na

§. 25. 1. Jeżeli (fig. 12) kąty AOB, BOC, COD, DOE i t. d.

są sobie równe, to kąt AOC jest dwukrotnością, AOD trzykro-

trzy razy większy od pierwszego.

2) Jakim kątem iest dwukrotność a) kąta prostego, b) roz­

wartego, c) półpełnego, a jakim kątem jest trzykrotność kąta prostego?

Wielokrotności i części kątów.

/ E

Fig. 12.

tnością, AOE czterokrotnością kąta AOB, i t. d. Kąty AOC, AOD, AOE, AOP są więc wielokrotnościami kąta B

yC

AOB.

2 razy, w kącie AOD 3 razy, i t. d.

2. Na odwrót jest kąt AOB połową kąta AOC, trzecią częścią kąta AOD, czwartą częścią kąta AOE, i t. d. Kąt AOB mieści się w kącie AOC

rych drugi ma być dwa razy, a trzeci Ćwiczenia:

1) Narysuj od oka 3 kąty, z któ-

*- 17

3) Jakim kątem jest połowa a) kąta prostego, b) rozwar­

tego, c) półpełnego, d) wypukłego, e) pełnego?

4. Próbuj podzielić kąt od oka na 2, 3, 4, 5, 6 równych części!

Mierzenie kątów.

§. 26. Chcąc zmierzyć jakąś wielkość, obiera się mniejszą wielkość tego samego gatunku za jednostkę i przekonywa się, ile razy ta jednostka w danej wielkości się mieści. Długość mierzy się więc mniejszą długością, naczynie mniejszem na­

czyniem, ciężar mniejszym ciężarem, i t. d.

Kąt należy zatem mierzyć mniejszym kątem.

F ig. 13.

i

V

Za jednostkę miary kątów obrano 180-tą część kąta pół­

pełnego, czyli 90-tą część kąta prostego, czyli 360-tą część kąta pełnego, albowiem kąty proste, półpełne i pełne są zawsze ilością stałą. Taką 180-tą c z ę ś ć k ą t a p ó ł p e ł n e g o zowiemy s t o p n i e m k ą t o w y m . Znak stopnia: °. 60-tą część stopnia zowiemy minutą ('), a 60-tą część minuty, sekundą ("). Fig. 13.

przedstawia kąt półpełny AOB podzielony na 180 stopni.

Chcąc zmierzyć jakiś kąt b o c, wycięty n. p. z papieru, przykładamy go do podziałki półpełnej (fig. 13) w ten sposób, żeby wierzchołek o padł ria wierzchołek O kąta półpełnego,

fiEOMETRYA.

18

a ramię ob na OB; wtedy drugie ramię oc wskazuje na po- działce ilość stopni danego kąta boc.

Aby uniknąć wycinania każdego kąta, który chcemy zmierzyć, wycina się podziałkę i przykłada się ją do każdego narysowanego kąta tak, żeby wierzchołki się nakryły, a jedno

drugie ramię kąta wskaże znów na podziałce ilość stopni te­

goż kąta. Lecz tutaj jest znów ta niedogodność, że podziałka zasiania kąt, co nam utrudnia mierzenie. Aby i tę niedogodność usunąć, wycina się z podziałki środkowy kawałek zwykle w kształcie półkola i otrzymuje się przyrząd, którym wygo-

--- Ćwiczenia:

1. Narysuj dowolne kąty, oceń od oka ich wielkość i zmierz je następnie.

«7 O i 7 */ ^ .

ramię podziałki padło na jedno ramię danego kąta. Wtedy

Fig. 14.

V

Fig-. 15. dnie wszelkie kąty mierzyć można. Przy­

rząd taki zowie się k ą t o m i e r z e m . Fig. 14. przedstawia nam kątomierz.

Piśmiennie oznacza się wielkość kąta, wpisując zwykle ilość stopni w miejsce utworzone między ramionami, lukiem a wierzchołkiem kąta (fig. 15).

19

2. Wykreśl od oka, następnie zapomocą kątomierza kąty, mające 90°, 45°, 60°, 30°, 58°, 87°, 3°, 100°, 118°, 176° i podziel każdy z nich (również zapomocą kątomierza) na 2 równe części!

3. Ile stopni wynoszą: lx/2 R, 4/5 R, e/B R, 6/g R> B/e R> ł/is R?

4. Jaki kąt ma mniej niż 90°? Jaki kąt wynosi więcej niż 90°, a mniej niż 180°? Jakim jest kąt o 200 stopniach?

5. Jak zmierzysz kąt wypukły? (Podaj dwa sposoby!) 6. Narysuj zapomocą kątomierza kąty: 72°, 80°, 40° i po­

dziel je na 2, 4, 8 równych części!

7. Narysuj kąt prosty, kąt o 120°, o 60° i podziel je (ką­

tomierzem) na 3, 6 równych części!

8. Narysuj (przy pomocy kątomierza) kąt równy danemu!

9. Próbuj sporządzić z kartonu wielki kątomierz!

Kąty przyległe.

Fig. 16.

§. 27. Przedłużywszy ramię kąta AOB poza wierzchołek (fig. 16), otrzymamy drugi kąt BOC, który ma ten sam wierz­

chołek (O) i jedno ramię (OB) wspólne z danym kątem; drugie ramię zaś (OC) nowego kąta, po­

wstało właśnie z owego przedłu­

żenia ramienia OA.

/ Dwa kąty, mające wspólny wierzchołek i jedno ramię wspól­

ne, a których drugie dwa ramiona leżą w prostej linii po prze­

ciwnych stronach wierzchołka, zowią się kątami p r z y l e ­ g ł y m i .

Oczywistą jest rzeczą, że kąty przyległe, razem wzięte, two­

rzą kąt półpełny.

S u m a k ą t ó w p r z y l e g ł y c h w y n o s i z a w s z e 180 ą t o p n i.

R___Ćwiczenia:

1. Jakimi kątami są kąty przyległe, jeżeli są sobie równe, a jakimi, jeżeli są nierówne?

2. Jak wielki jest kąt przyległy kąta, wynoszącego 20°, 35°, 64°, 100°, 148°, 55° 40', 115° 16' 45"?

2*

Proste prostopadłe i nachylone.

§. 28. Jeżeli prosta (fig. 17) tworzy z drugą kąt prosty, to się mówi, że stoi do niej p r o s t o p a d l e , co się tak oznacza:

CD J_ AB. Czyta się: Prosta CD jest prostopadła do AB.

Fiir 17 Jeżeli zaś prosta nie tworzy z dru- C gą prostą kąta prostego, powiadamy, że

jest do niej n a c h y l o n a (np. fig. 16).

Prosta pionowa i pozioma przeci- A ________________ nają się zawsze pod kątem prostym, czyli

D n stoją na sobie prostopadle. Ale z dwu prostopadłych nie musi być koniecznie jedna pozioma, a druga pionowa. I dwie linie ukośne mogą stać na sobie prostopadle.

Języczek u wagi zawsze stoi prostopadle na belce, ale języczek jest tylko wtedy pionowy, a belka pozioma, gdy jest równowaga (obie szalki próżne, lub równo obciążone).

Ćwiczenia:

1. Narysuj prostą, oznacz nad nią 5 punktów i wystaw z każdego punktu prostopadłą do danej prostej (zapomocą przy­

kładnicy i trójkąta drewnianego lub zapomocą 2 takich trójką­

tów). Jakie jest położenie tych prostopadłych względem siebie?

2. Narysuj prostą, oznacz punkt na niej leżący i w tym punkcie wykreśl prostopadłą do danej prostej (zapomocą tych samych przyrządów).

3. Narysuj 2 proste równoległe, obierz na jednej z nich 5 punktów i wykreśl z każdego punktu prostopadłą do drugiej prostej. Porównaj te prostopadłe co do ich długości!

4. Które linie w izbie szkolnej stoją na sobie prostopadle, a które są do siebie nachylone?

5. Jaka jest różnica między wyrazami: prostopadła, a pio­

nowa? ukośna, a nachylona?

6. Czy 2 proste poziome mogą być do siebie prostopadłe?

a 2 ukośne?

7. Jaką jest prosta prostopadła do poziomej?

8. Jak sprawdzimy kąt prosty u trójkąta drewnianego?

(Rysujemy zapomocą przykładnicy i trójkąta dość długą pro­

stopadłą do danej prostej, potem przykładamy trójkąt drugim

21

bokiem prostopadłym do tejże przykładnicy i kreślimy w tym samym punkcie jeszcze raz prostopadłą. Jeżeli ona nakryje pierwotną, trójkąt jest dobry; jeśli zaś powstanie choćby ma­

lutki kącik, to mamy dowód, że kąt prosty trójkąta jest fał­

szywy).

Kąty wierzchołkowe.

§. 29. Przedłużywszy w kącie AOB (fig. 18.) oba ramiona poza wierzchołek, otrzymamy kąt drugi COD, który zowiemy kątem wierzchołkowym danego kąta AOB.

Dwa kąty, które mają ten sam wierzchołek, a u któ­

rych ramiona jednego są prze­

dłużeniami ramion drugiego, zowiemy kątami w i e r z c h o ł ­ k o w y m i .

Dwie proste przecinają- A ce się, tworzą po przeciwnych

stronach punktu przecięcia kąty wierzchołkowe.

We fig. 18. kąty m i n są wierzchołkowe. Jeżeli do każdego z nich dodamy kolejno kąt s, otrzymamy w każdym wypadku 180° (dlaczego?). Kątowi m braknie więc do 180° tyle, ile k ą­

towi n, są więc sobie równe. Dowód ten przeprowadza się jak następuje:

Twierdzenie: «» = ■$£. n

Dowód: - f ^ s = 180°

j : n - f ^ s = 180°

bo dwie ilości równe tej samej trzeciej ilości, są sobie równe.

Od każdej z tych równych ilości odejmujemy Zostaną równe reszty m — n

K ą t y w i e r z c h o ł k o w e s ą s o b i e r ó w n e . Kąty odpowiednie, naprzemianległe i jednostronne.

§. 30. Jeżeli prosta przecina dwie inne proste, to około obu punktów przecięcia powstaje 8 kątów. 4 kąty leżące między obiema

przeciętemi prostemi, zowią się w e w n ę t r z n y m i , a 4 kąty leżące poza przeciętemi — z e w n ę t r z n y m i kątami.

We fig. 19. są AB i CD p r z e c i ę t e m i p r o s t e m i , EF zaś prostą p r z e c i n a j ą c ą ; c, d, m, n, są wewnętrznymi ką­

tami, a, b, o, p, zewnętrznymi.

Dwa kąty, z których jeden jest wewnętrzny, a drugi zewnę­

trzny, które nie mają wspólnego wierzchołka, a leżą po tej samej stronie prostej przecinającej, zowią się kątami o d p o w i e d n i m i .

Dwa kąty wewnętrzne, lub dwa zewnętrzne, nie mające wspólnego wierzchołka, a leżące po przeciwnych stronach prze­

cinającej, zowią się kątami n a p r z e m i a n l e g ł y m i .

Dwa kąty wewnętrzne, lub dwa zewnętrzne, leżące po tej samej stronie przecinającej, nazywamy

kątami.

j e d n o s t r o n n y m i Kąty odpowiednie naprzemianległe jednostronne

a i m a i p a i o

b „ n b „o b „ p

c „ 0 c „ n c „ m

d „p d „ m d „ n

te mają bardzo ważne znaczenie, jeżeli przecięte są

§. 31. Niech będzie (fig. 19) AB || CD. Jeżeli prosta AB posuwa się wzdłuż EP ciągle równolegle do pierwotnego położenia, aż zajmie położenie CD, to ona nie zmieni wcale swego względem EP nachy­

lenia, a zatem tworzyć będzie z ową EF ciągle te same 4 kąty; gdy więc przyjdzie w położenie CD, na­

tenczas co 2 kąty odpowiednie pa­

dną dokładnie na siebie, czyli będą sobie równe: kąty naprzemianległe staną się wierzchołkowymi, więc także będą sobie równe; co dwa kąty jednostronne wreszcie staną się przyległymi, czyli będą wynosiły razem 180°.

równoległe.

Fig. 19.

£

23 Jest więc:

1) a — *m b — n

o

P

2) a — p b — o c = n d = m

Przeprowadźmy dowód, że-^Có — ^Co, i i e ^ i c - \ - m = 180°.

Założenie (jeżeli) ^ c = ^ o (wiadome z poprzedniego) c —

d

3) a + o = 180°

b + p = 180°

c -f- »i = 180°

d -j- w = 180°

Twierdzenie (natenczas) i b

Dowód: jC b

< 0

< o

jC c (jako wierzchołkowe) jd c (jako odpowiednie)

(bo 2 ilości równe

więc: •=£ b = jd

wspólnej trzeciej są sobie równe).

Założenie: jC c = ■=£ o Twierdzenie: w -f- c = 2 R

Dowód: ^ ° = 2 R (dlaczego?)

a ponieważ = jć o

to i w« + jC c — 2 R, bo można zamiast o dodać c.

Jeżeli dwie r ó w n o l e g ł e przecinamy trzecią, to 1) co 2 kąty o d p o w i e d n i e są sobie r ó w n e 2) co 2 kąty n a p r z e m i a n l e g ł e są sobie r ó w n e , 3) co 2 kąty j e d n o s t r o n n e wynoszą r a z e m 180°.

I na odwrót. Jeżeli prosta przecina dwie inne proste tak, że albo 2 kąty odpowiednie albo naprzemianległe są sobie ró­

wne, albo 2 jednostronne wynoszą razem 180°, wtedy proste przecięte muszą być równoległe.

Twierdzenia powyższe można udowodnić w sposób o wiele prostszy, zapomocą mierzenia kątomierzem lub wycinkami z pa­

pieru.

Ćwiczenia: 1) W ykreśl dwie równoległe AB i CD i przetnij je trzecią EF w punktach przecięcia G-iH! Nazwij każdy z 8 ką­

tów trzema literami! Wskaż każdą parę kątów odpowiednich, naprzemianległych i jednostronnych!

2) Niech będzie (fig. 19.) jC a = 112°; ile stopni ma kąt b, c, d, m, n, o, p?

3) Jakie kierunki mają ramiona a) dwóch równych kątów odpowiednich? b) dwóch równych kątów naprzemianległych?

c) dwóch jednostronnych spełniających się do 180°?

24

4) Wskaż u drzwi i okien kąty odpowiednie, jednostronne i naprzemianległe!

§. 32. Niech będzie (fig. 20.) AB || DE, AC || DE.

W I. i I I . wypadku są ramiona kątów a i m z g o d n i e równoległe, to znaczy, że prawe ramię kąta a jest równoległe do prawego ramienia kąta mt a lewe ramię kąta a do lewego ra ­ mienia kąta m. (Które ramię jakiego kąta jest prawe, a które lewe, dowiemy się, jeżeli wyobrażamy sobie, że stoimy u wierz-

I. Fig-. 20. II. ,

chołka twarzą zwróceni ku łukowi i wyciągamy ręce w kie­

runku ramion).

W wypadku III. ramiona są n i e z g o d n i e równoległe (to znaczy prawe ramię jednego kąta || do lewego ramienia drugiego kąta).

W wypadku I. kąt x jest odpowiednim tak kątowi m jak i a, a więc jest każdemu z nich równy; ^ a i ^ « są więc sobie równe. (Przeprowadź dowód piśmiennie).

W wypadku II. j e % — m (dlaczego?), ale i równy kątowi a (dlaczego?), ^ a i ^ m są więc sobie równe.

W wypadku III. a - f ^ y = 180° (dlaczego?), zaś

^ n = jC y (dlaczego?) więc zamiast y można położyć w; bę­

dzie więc + ) ( ( ! = 180°.

Z tego wynika: D w a k ą t y , k t ó r y c h r a m i o n a s ą p a r a m i r ó w n o l e g ł e , s ą r ó w n e , j e ż e l i r a m i o n a s ą z g o d n i e r ó w n o l e g ł e , a s u m a i c h w y n o s i 180°, j e ż e l i r a m i o n a s ą n i e z g o d n i e r ó w n o l e g ł e .

Dowód łatwiejszy: zmierzenie kątomierzem lub przykła­

danie wycinków z papieru.

ii.

■E

■ o

§. 33. We fig. 21. I. II. III, IV. ramiona kąta y stoją pro­

stopadle na ramionach kąta x.

W wypadku I. i III. są ramiona zgodnie prostopadłe (prawe ramię kąta y J_ do prawego ramienia kąta x); w wypadku II.

i IV. są ramiona niezgodnie prostopadłe.

Fig. 21.

1. II.

Niechaj w I. ramiona DE i FE kąta y wykonają ćwierć obrotu około wierzchołka E, aż zajmą położenie ED' EF', kąt y przejdzie zatem w położenie kąta y', który jest równy kątowi x (dlaczego?). Stąd i kąt y = jc. x.

Jeżeli w II. ramiona DE i EF kąta y wykonają również obrót około wierzchołka E o 90°, natenczas kąt y zajmie poło­

żenie y'. Ramię D'E będzie || do ramienia AB, F'E || do AC.

26

Kąt y' + kąt x — 180° (dlaczego?), więc także ¿C y + x = i8o°.

W I I I . x — R — z, i tak samo kąt y — R — z, więc jest

^ x = j c y .

W IY. jest suma kątów # - f R - | - i / - t - R = 4 R, czyli i - f ^ - f 2 R = 4 E, więc z y — 2 R,

Jeżeli ramiona jednego kąta stoją zgodnie prostopadle na ramionach drugiego kąta, wtedy te 2 kąty są równe. Jeżeli zaś

ramiona 2 kątów stoją na

Fig. 22. sobie niezgodnie prostopa­

dle, to te kąty razem w y­

noszą 180°.

I to twierdzenie łatwiej udowodnić kątomierzem lub wycinkami z papieru.

Ćwiczenie:

Na podstawie §. 33.

można przy pomocy trój­

kąta i liniału lub dwu trój­

kątów bardzo zręcznie kreślić proste prostopadłe. I tak: Do danej prostej MN (fig. 22.) przykładamy trójkąt bokiem najdłuższym [ab), do drugiego boku trójkąta [ac) przykładamy liniał (lub drugi trójkąt), następnie obracamy trójkąt abc, nie odejmując go od rysunku, tak, aby wsparł się na liniale trzecim swym bokiem [be). Prosta wykre­

ślona wtedy wzdłuż boku najdłuższego [a'b') jest do danej MN prostopadłą. (Wyjaśnij, dlaczego a 'V _J_ MN, pamiętając, że

< «' = -K ®0-

4 . T R Ó J K Ą T Y . Części składowe trójkąta.

§. 34. Płaszczyzna, ograniczona trzema odcinkami, zowie się t r ó j k ą t e m . Owe trzy proste zowią się b o k a m i , suma ich o b w o d e m trójkąta.

Każdy trójkąt ma 3 boki i 3 kąty.

0

27

Trójkąty oznacza się, kładąc literę obok każdego wierz­

chołka.

Zamiast wyrazu trójkąt używa się znaku: A

Do każdego boku trójkąta przylegają dwa kąty, a trzeci jest mu przeciwległy; każdy kąt trój­

kąta zamykają dwa boki, a trzeci ^{Fig. 23.}

bok jest mu przeciwległy.

Ćwiczenia:

1. Nazwij w trójkącie ABC wszystkie boki i kąty!

2. Nazwij kąty przylegające do każdego boku, jako też kąt przeciwle- gły każdemu bokowi!

3. Wymień co dwa boki, zamykające każdy kąt trójkąta, tudzież bok przeciwległy każdemu kątowi!

Boki trójkąta.

§. 35. W każdym trójkącie suma dwóch boków jest więk­

sza niż bok trzeci.

We fig. 23. jest AC -f- BC j> AB, bo odcinek AB jako łączący punkty A i B jest krótszy, niż linia łamana ACB, prze­

chodząca przez te punkty (patrz §.

13.). Różnica 2 boków trójkąta jest ^{Fig. 24.}

zawsze mniejsza niż bok trzeci.

(Przekonaj się o tern zapomocą cy r­

kla!)

Można sobie wyobrazić, że trójkąt stoi na jednym z boków;

ten bok zowiemy p o d s t a w ą trój­

kąta. Każdy bok trójkąta można A uważać za jego podstawę.

Prostopadła wykreślona z wierzchołka przeciwległego do podstawy (lub jej przedłużenia) zowie się w y s o k o ś c i ą trój­

kąta.

Jeżeli (fig. 24.) bok AB trójkąta ABC uważamy za pod­

stawę, to CD jest wysokością trójkąta.

C

28

Fig. 25.

Kąty trójkąta.

§. 36. Zmierzywszy kątomierzem trzy kąty trójkąta, prze­

konamy się, źe ich suma wynosi zawsze 180°.

Można to również udowodnić w następuj'ący sposób:

Jeżeli w trójkącie ABC (fig.

25) wykreślimy przez wierzcho­

łek DE || do AB, to suma kątów m, c i n wynosi 180° (dlaczego?).

Ponieważ zaś jC m — ^ a, a n = -¿Cb (jako naprzemianległe), to zamiast kąta m można wziąć kąt a, a zamiast kąta n kąt b i otrzymamy

+ + = to znaczy:

S u m a k ą t ó w w t r ó j k ą c i e w y n o s i z a w s z e 180°.

Możnaby się o tern również przekonać, jeżeli się wytnie trójkąt z papieru i zagnie kąty A, B i C tak, by wierz­

chołki zetknęły się w D Flg'' 26- (fig. 26.), lub, co na jedno

wyjdzie, gdy odetnie się kąty A, B i C i złoży się je razem w jeden kąt obok siebie.

Z powyższego wynika:

a) Suma dwóch kątów trójkąta jest zawsze mniej­

szą niż 180°.

b) Jeżeli w trójkącie znane są 2 kąty, to znaj­

dziemy trzeci kąt, jeżeli ich sumę odejmiemy od 180°.

c) Jeżeli 2 kąty jednego trójkąta równe są dwom kątom drugiego trójkąta, to i trzecie kąty obu trójkątów muszą być sobie równe.

ćwiczenia:

1. Czy może trójkąt mieć 2 kąty proste, lub 2 rozwarte, lub prosty i rozwarty?

V

— 29 —

2. Ile kątów ostrych musi być co najmniej w każdym trójkącie?

3. Jeżeli 3 kąty trójkąta są sobie równe, ile stopni wynosi każdy z nich?

4. Dwa kąty trójkąta wynoszą: a) 65° i 87°, b) 38° 22' i 37° 12', c) 25° 15' 24" i 60° 16' 48"; jak wielki jest kąt trzeci?

4) W trójkącie

jest jeden kąt prosty, Fig- 27.

a jeden z ostrych ką­

tów wynosi 28° 45';

ile wynosi drugi kąt ostry?

§. 37. Kąt za­

w arty między bokiem trójkąta, a przedłużę- A niem drugiego boku,

zowie się k ą t e m z e w n ę t r z n y m trójkąta.

K ą t z e w n ę t r z n y t r ó j k ą t a r ó w n y j e s t s u m i e d w ó c h k ą t ó w w e w n ę t r z n y c h j e m u n i e p r z y l e g ł y c h .

Albowiem (fig. 27) kąt zewnętrzny CBD ^ B = 180°, a ^ A - f ^ C - f ^ B = także 180°. Kątowi CBD braknie więc do 180° tyleż co sumie kątów A i B.

I Rodzaje trójkątów.

§. 38. Ze względu na boki rozróżniamy trójkąty różno- boczne (fig. 28 A DEF), równoramienne (fig. 28 A GrHJ i A KLM) i równoboczne (fig. 28 A NOP). Trójkąt, którego wszystkie trzy boki są różnej długości, zowie się r ó ź n o b o c z n y m ; trójkąt, którego 2 boki są sobie równe, zowie się r ó w n o r a m i e n n y m ; a trójkąt, którego wszystkie trzy boki są sobie równe, zowie się r ó w n o b o c z n y m .

W trójkącie r ó w n o r a m i e n n y m nazywają się boki równe jego r a m i o n a m i’, a trzeci bok jego p o d s t a w ą .

Kąty, leżące przy podstawie trójkąta równoramiennego, zowią się jego k ą t a m i p r z y p o d s t a w n y m i .

ćwiczenia:

1. Narysuj trójkąt równoboczny! (Wykreśl podstawę, odmierz

30

ją cyrklem, wykreśl tą samą rozwartością cyrkla z każdego końca tej podstawy 2 luki i połącz punkt przecięcia się łuków z końcami podstawy!).

F ig. 28.

M

JU

2. Narysuj trójkąt równoramienny a) o ramionach dłuższych, b) o ramionach krótszych od podstawy.

§• 39. Ze względu na kąty rozróżniamy: t r ó j k ą t y o s t r o - k ą t n e , których wszystkie trzy kąty są ostre (fig. 29 A ABC);

Fig. 29.

p r o s t o k ą t n e , mające jeden kąt prosty, a dwa ostre (fig. 29 A GrHJ) i r o z w a r t o k ą t n e , mające jeden kąt rozwarty i 2 ostre (fig. 29 A DEF).

r

— 31 —

W trójkącie prostokątnym zowiemy bok przeciwległy ką­

towi prostemu p r z e c i w p r o s t o k ą t n i ą , boki zaś, zamyka­

jące kąt prosty, zowią się p r z y p r o s t o k ą t n i a m i . W trój­

kącie prostokątnym GHJ (fig. 29) jest HJ przeciwprostokątnią, a UH i GrJ przyprostokątniami.

Ćwiczenia:

1. Jeżeli w trójkącie prostokątnym przyjmiemy jedną przyprostokątnię za podstawę, co nam wtedy przedstawia druga przyprostokątnia ?

2. Jeżeli w trójkącie rozwartokątnym jeden z mniejszych boków uważamy za podstawę, jak wykreśli się wysokość?

3. Ile wynosi suma kątów przylegających do przeciwpro- stokątni trójkąta prostokątnego?

4. Narysuj trójkąt równoboczny, którego obwód wynosi a) 6 cm, b) 93 cm, c) 15'6 cm!

5. Narysuj trójkąt równoramienny, którego podstawa jest 3 cm długa, a obwód wynosi 12 cml

Przystawanie trójkątów.

§. 40. Dwa trójkąty przystające (patrz §. 9) mają tę samą wielkość i ten sam kształt, a można jeden na drugim tak po­

łożyć, że się dokładnie przykryją. Wtedy też wszystkie części składowe jednego trójkąta, t. j. 3 boki i 3 kąty, równe są w tym samym porządku odpowiednim częściom drugiego trój­

kąta, to znaczy, że boki, leżące

naprzeciw równych kątów są sobie Fig- 30.

równe, a kąty, równym bokom przeciwległe są także równe.

Aby wykreślić trójkąt przy­

stający do danego trójkąta, w y­

starczy jednak równość już trz e c h części; ale pomiędzy niemi musi

być choć j e d e n bok, gdyż, jak wskazuje fig. 30. mogą mieć trójkąty po 3 kąty odpowiednio równe, a przecież nie są przy­

stające.

§. 41. Wykreślić trójkąt przystający do danego trójkąta ABC zapomocą równości trzech boków.

Na dowolnej prostej DX (fig. 31) odcinamy DE = AB.

Rozwartością cyrkla równą bokowi AÓ zakreślamy z pun­

ktu D luk, a rozwartością cyrkla równą BC zakreślamy z pun-

Fig. 31.

Połączywszy P z D i E, otrzymamy A DEF ~ A ABC.

I. p r a w o p r z y s t a w a n i a . Dwa trójkąty są przystające, jeżeli trzy boki jednego trójkąta są równe trzem bokom dru­

giego.

ćwiczenia: /

1. Wykreślić 3 trójkąty o bokach: a) 3 cm, 2 cm, 4 cm, b) 37 mm, 24 mm, 28 mm, c) 4'8 cm, 6'2 cm, 8 cml

2. Spróbuj wykreślić trójkąt o bokach: 2 cm, 3 cm, 5 cml Jak muszą być dobrane boki, aby mogły tworzyć trójkąt?

3. Narysować trójkąt równoramienny o podstawie równej 25 mm, a ramieniu równem 31 mml

4. Narysować trójkąt równoboczny o boku = 3 cml 5. Kiedy trójkąty równoramienne są przystającymi? a kiedy równoboczne?

6. Przenieść kąt BAG, t. zn. wyrysować kąt równy danemu kątowi BA G (fig. 32).

Rysujemy dowolną prostą Bx; z wierzchołka A danego kąta. zakreślamy d o w o l n y m otworem cyrkla łuk, który przecina ramiona w punktach M i N\ t y m s a m y m otworem cyrkla kreślimy na prostej JDx z punktu B łuk Ey; w końcu

33

bierzemy w cyrkiel odstęp M N i z punktu E przecinamy łuk Ey w punkcie F. Jeżeli wykreślimy EF, to

< E D F = j c BAC, bo A D E F A AMN.

Fig. 32.

7. Do danej prostej A B (fig. 33) wykreślić równoległą przez dany punkt C.

Przez C kreślimy prostą XD, przecinającą A B pod do­

wolnym kątem (to), następnie rysujemy z wierzchołka C X C E = m, wtedy CE ||

A B (§. 31. ostatni ustęp).

8. To samo zadanie roz­

wiązać zapomocą dwóch ró­

wnych kątów naprzemianle- głych.

§. 42. Wykreślić trójkąt przystający do danego trój­

kąta A B C zapomocą równości- dwóch boków i kąta między nimi zawartego (fig. 34).

Rysujemy jC x D y = ^ A ; na ramieniu Dx odcinamy D E

Fig. 33.

X

c / -E

/

D ~E

bokowi AB, na ramieniu Dy

F ig. 34.

SEOMETRYA. 3

34

zaś JDF = bokowi AG. Punkty F i E wyznaczają nam drugie dwa wierzchołki żądanego trójkąta, a więc i trzeci bok EF.

Trójkąt E E F nakryje trójkąt ABC, więc są przystające.

II. p r a w o p r z y s t a w a n i a .

D w a t r ó j k ą t y p r z y s t a j ą do s i e b i e , j e ż e l i 2 b o k i i k ą t m i ę d z y n i m i z a w a r t y w j e d n y m t r ó j ­ k ą c i e s ą r ó w n e d w o m b o k o m i k ą t o w i m i ę d z y n i m i z a w a r t e m u w d r u g i m t r ó j k ą c i e .

W n i o s e k . Ponieważ we wszystkich trójkątach prosto­

kątnych kąt zamknięty przyprostokątniami równy jest 90°, wynika: Dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeżeli ich przyprostokątnie są odpowiednio równe.

ćwiczenia:

1. Narysuj następujące trójkąty:

a) 2 boki: 3 cm i 4 cm, kąt między nimi zawarty 60°;

b) 2 boki: 58 mm i 65 mm kąt między nimi zawarty 45°;

c) 2 boki: 5 6 cm i 7 cm, kąt między nimi zaw arty 120°.

2. Narysuj trójkąt prostokątny o przyprostokątniach wy­

noszących 5 cm i 7 cm!

3. Narysuj trójkąt równoramienny o ramieniu równem 6 cm i kącie wierzchołkowym 50°!

4. Narysuj trójkąt prostokątny równoramienny o przy- prostokątni, mierzącej 5Va cm!

5. Kiedy są przystające 2 trójkąty równoramienne podług II. prawa przystawania?

§. 43. Wykreślić trójkąt przystający do danego A B C za- pomocą równości jednego boku i dwóch kątów doń przylegają­

cych (fig. 35.).

35

Rysuje się D E — A B i otrzymuje się 2 wierzchołki (D, E) żądanego trójkąta. Gdy się wykreśli = ^ i , a i? = to trzeci wierzchołek musi leżeć w punkcie przecięcia się (F) ra ­ mion Dx i Ey. Trójkąt D E F nakryje A ABC, są więc przystające.

III. p r a w o p r z y s t a w a n i a .

Dwa trójkąty są przystające, jeżeli bok i dwa kąty przy­

legające jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i dwom kątom przylegającym drugiego trójkąta.

U w a g a . Gdyby był dany bok, jeden kąt przylegający i kąt przeciwległy, to tem samem znany byłby też drugi kąt przylegający (patrz §. 36. b), więc konstrukcya byłaby taką, jak poprzednia. Dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeżeli zgadzają się co do jednej przyprostokątni i jednego z kątów ostrych, albo co do przeciwprostokątni i jednego z kątów ostrych. (Dlaczego?).

Ćwiczenia:

1. Narysuj następujące trójkąty:

a) bok 5 cm, kąty przylegające 60° i 45°;

b) bok 4-2 cm, kąty przylegające 120° i 40°.

2. Spróbuj narysować trójkąt, mając dany bok = 3 cm i kąty przylegające 120° i 72°! Jaką musi być suma dwóch kątów danych, by wykreślenie trójkąta było możliwe?

3. Wykreślić trójkąt o boku 37 mm, kącie przylegającym 59° i kącie przeciwległym = 72°!

4. Narysuj trójkąt prostokątny, gdy dane:

a) przyprostokątnia = 35 cm i kąt ostry przylegający 70°

b) „ = 4 cm i „ „ przeciwległy 60°

c) przeciwprostokątnia 5 cm i „ „ = 50°

5. Wykreśl trójkąt równoramienny o danej podstawie ró­

wnej 5 cm i kącie przypodstawnym równym 40°!

§. 44. Wykreślić trójkąt przystający do danego A B C za- pomocą równości dwóch boków i kąta przeciwległegłego dłuż­

szemu z tych boków (fig. 36.).

Wykreślamy $CD = ^ A . Na ramieniu Dy odcinamy D E

= AC (bok m n i e j s z y ) . E i D są więc wierzchołkami żądanego trójkąta. Trzeci wierzchołek leży na Dx w oddaleniu B C od E, znajdę go więc, zataczając rozwartością BC z punktu E luk MN,

który przetnie ramię Dx w punktach F i G. Połączywszy E z F i G otrzymamy dwa trójkąty D E F i DEG. Trójkąt D E F zawiera znane 2 boki AC i BC, tudzież znany kąt A i jest przystający danemu trójkątowi ABC. Trójkąt DEG zawiera wprawdzie także

Fig. 36.

- 36 —

boki równe bokom AC i BC, ale naprzeciw dłuższego boku nie leży kąt A danego trójkąta, lecz inny; trójkąt DEG nie odpo­

wiada zadaniu i nie jest przystający do danego trójkąta.

IV. p r a w o p r z y s t a w a n i a . Dwa trójkąty są przysta­

jące, jeżeli dwa boki i kąt, leżący naprzeciw większego boku w jednym trójkącie, równają się dwom bokom i kątowi, leżą­

cemu naprzeciw większego z tych boków w drugim trójkącie.

Uwaga. Próbujmy wykreślić trójkąt przystający do danego ABC zapomocą równości dwóch boków i kąta, leżącego naprze­

ciw mniejszego z tych boków (fig. 37.).

Fig. 37.

Kreślimy jC D = B. Na ramieniu Dy odcinamy D E = BC, potem bierzemy w cyrkiel mniejszy bok {AC) i z punktu E zataczamy luk MN, który przetnie ramię Dx w 2 punktach F

37

i G. Oba trójkąty B E F i DEG, mają po 2 boki równe bokom BC i AC danego trójkąta, a ich kąt D = jC B, ale tylko jeden z nich (który?) przystaje do danego trójkąta.

Z równości dwóch boków i kąta przeciwległego mniejszemu bokowi nie da się więc z wszelkę pewnością stwierdzić przy­

stawanie trójkątów. W pewnych razach z danych 2 boków i kąta przeciwległego mniejszemu z nich można wykreślić tylko jeden trójkąt, lub nie można wykreślić żadnego (gdyż dany bok mniejszy okazuje się za krótki).

Ćwiczenia:

1) Wyrysować trójkąt, gdy dane:

a) dwa boki: 4 cm, 6 cm i kąt 60° większemu z nich prze­

ciwległy;

b) dwa boki: 5 cm, 2 cm i -¿C 150° większemu z nich prze­

ciwległy.

Zastosowanie praw przystawania.

§. 45. Przepołówmy podstawę A B trójkąta równoramien­

nego w punkcie E (fig. 38.) i połączmy środek podstawy z wierz­

chołkiem C. Trójkąt ACB jest przysta­

jący do trójkąta BCD, bo bok CD mają ^{Fig. 38.}

wspólny, A C = B G , a AJ) — BE. W trój­

kątach przystających muszą i kąty, przeciwległe równym bokom, być sobie równe. Kąt m jest więc równy kątowi n ; kąt A — $ J B , wreszcie AB C — B B C = 90°.

Z tego wynika:

K ą t y p r z y p o d s t a w n e t r ó j ­ k ą t a r ó w n o r a m i e n n e g o s ą s o ­ b i e r ó w n e , czyli: w t r ó j k ą c i e s ą

k ą t y p r z e c i w l e g ł e r ó w n y m b o k o m , s o b i e r ó w n e . I na odwrót: Niech będzie w trójkącie A B C (fig. 38.) jC. A = jC B, to da się udowodnić, że to jest trójkąt równora­

mienny, t. zn., że boki przeciwległe tym kątom (AC i BC) są równe. Jeżeli bowiem wykreślimy z wierzchołka C prostopadłą do AB, to trójkąt AC B A BCD, bo CB = CD, A = < B,