(1) y^A, = I, 2HHa.x|| = IIx|| dla wszystkich x € X.

I ROCZNIKI POLSKIEGO T O W A R Z Y ST W A M ATEM ATYCZN EGO

Seria III: M A T E M A T Y K A ST O SO W AN A X XVI (1985)

A n d r z e j P o k r z y w a Warszawa

Macierze rozszczepiające normę i ich zastosowanie w teorii stabilności schematów różnicowych*

(Praca wpłynęła do R edakcji 23.09.1983)

Niech X oznacza n-wymiarową rzeczywistą lub zespoloną przestrzeń liniową z normą || * || » a L(X) - algebrę operatorów liniowych dzia-łających w X. Opiszemy wszystkie możliwe zbiory |A.| r c L(X)

ta-1 i=ta-1 kie, że

r r

(1)

y^A,

= I,

2HHa.x|| = IIx||

dla wszystkich x € X.

i=1 1 i=1" 1 " 11 11

Niech

kA = {A e L(.X) : || xU = ||Ax|| + ||(I-A)x]| dla każdego x€X}.

^Problem MRI.1/0A.

U w a g a 1. Jeśli A^ (1=1,2, ..., r) są operatorami w X speł-niającymi (1), to A ^ tA . Wynika to z nierówności

IM < II Aix I + lKI-Ai) x| ^ ||Aix|| + X jA j* ! - llxll-^

W twierdzeniu 1 podamy dokładną charakteryzację zbioru cA , lematy 1 - 5 potrzebne są do dowodu tego twierdzenia.

LEMAT 1. Przypuśćmy, że A, Bet/ł. Wtedy (i) ABe ^ ,

(ii) I - A £ c/ł ,

(iii) cc A + e c/f dla dowolnych nieujemnych liczb oc,|3 takich, że x + (3 ^ 1.

D o w ó d , (i) wynika z nierówności

|| x || ^ || ABx J| + ||(I-AB)x|| » || ABx || + ||(I-A)Bx + (I-B)x|| sS ^ (|| A(Bx)|| + ||(I-A)Bx||) + |(I-B) x || =

= II Bx || + || (I-B)x || = II x ||.

MACIERZE ROZSZCZEPIAJĄCE NORMĘ I ICH ZASTOSOWANIE.•. 31

|| x IUICOcA +(3B)x|| + ||(I - ot A - (SB)x j| ^ 0C||Ax + + £||Bx|| + ||oc(l-A)x + @(I-B)x + (1-0f-p)x < oc(||Ax|| + + ||(l-A)x||) + p(||Bx|| + ||(l~B)x||) + (1 -CC-P0|x|| = ||x|| ; wszystkie nierówności są tu faktycznie równościami, j— j

LEMAT 2. Jeśli A e c/ł , to pierwiastki wielomianu charakterys-tycznego operatora A są rzeczywiste, leżą w przedziale

[o , i ] _{, a operator} A _{Jest diagonalizowalny.}

D o w ó d . Jeśli A Jest pierwiastkiem wielomianu charakterys-tycznego operatora A, to istnieje niezerowy wektor z € X taki, że (2 ) ( A 2 - ( A + A ) A + A A ) Z = o .

Wynika to z faktu, że macierz C = (A- A) ( A- A ) Jest osobliwa, a Jeśli X Jest przestrzenią rzeczywistą, to macierz C Jest również

o

= (i +! XI2 ) 1(|(a2 +|A|2i)x|| + |(i-a2)x||) = = (1 + |X|2 )~ {i(A2 ♦ I A!2)x|| + I X|| - I! a2x ii], a stąd

\\(a2 + |a|2i)x II = IA I2 I X II + I A2x) .

Zastępując w (2) z przez Anz, otrzymamy stąd

I

A + I

« I

I

| 2 |

.

Jest to równanie różnicowe dla ciągu jj Anz [f (n = O, 1,

2 I — I i i 2 Ponieważ -pierwiastkami wielomianu p(ji) =>A. - | A + A |ji + I ^ I

są liczby j_L0 , Jl0 , gdzie =

A

A

A

O 4 J|An z H - = ((a + l) A o + C b + i)ju .g )/

2

więc możemy założyć, że a = b. Korzystając z przedstawienia a = |a|e^'oc , = | A | e^*^ , otrzymamy

0 ^ jj Anz | = 2 Re ap. q = 2 1 a | | A | ncos(oc +n(3).

MACIERZE ROZSZCZEPIAJĄCE NORMĘ I ICH ZASTOSOWANIE...

33

(A - AI)z m O. Wtedy

I

| “

+

I -

-X

) II

II •

Zatem | A | + | 1 - A | = 1, a to pokazuje, że A - pierwiastek wie-lomianu charakterystycznego operatora A - jest zawarty w przedzia-le [o, i].

Przypuśćmy teraz, że operator A nie jest diagonalizowalny. Istnieje wtedy wartość własna A operatora A i liniowo niezależne wektory x, y takie, że Ax = A x + y, Ay = A y. Niech

B = (2(1-A))“1A, z = - (2 (1- A)) ~ 1y, gdy A < 1/2. Z lematu 1 wynika, że B e c/V , a ponadto Bx = z + x/2, Bz = z/2. Wynika stąd, że dla dowolnej liczby całkowitej n

|J x + 2nz | = | B(x + 2nz) j| + || (I-B) (x + 2nz) || = B = ( 2») "1A, z = (2 A)"1y, gdy A i- 1/2,

(II

II)

Jest to sprzeczne z założeniem o liniowej niezależności wektorów x i z. Sprzeczność ta pokazuje, że operator A jest diagonal!zowalnj

LEMAT 3. Przypuśćmy, że A e c / V , 0 < A , | <

A

2

A

k k

=

x :

3=1

-1

D o w ó d. Najpierw wykażemy tezę dla k=2, a następnie uogólni* my ją przez indukcję.

Niech B = *

* ,

A , - A

Bx1 = * x., Bx0 * x

i o

A

2 2 2

Ze związków tych wynika, że dla dowolnego rzeczywistego <£ mamy równość

ix 1 + t x 2 b (x1 + r x2) + (i-b) (x + r x2)

T (

MACIERZE ROZSZCZEPIAJĄCE NORM? I ICH ZASTOSOWANIE... 35

2 || x1 + ocnx2 I = (1+A) ||x1 + ocn~1x2 || +

+ (1- A) |x1 + ocn+1x2 || .

Jest to równanie różnicowe dla ciągu an = jj x^ + <xnx2 ||.

Wielomian charakterystyczny p(p.) = (1-A) JLL2 - 2 ^. + (1 + A) tego równania ma pierwiastki 1 i oc . Istnieją więc liczby a, b takie, że || x>j + ocnx2 || = a + bocn . Stąd

x1 | = lim | x1 + ćXnx2 || = a ,

x 0 || = lim | + x? || = b.

Ł n— >oo

Tak więc dla n=0 mamy || x^ + x2 || = || || + || x2 || .

Wykażemy teraz, że jeśli teza lematu jest prawdziwa dla k, to jest też prawdziwa, gdy k zastąpimy przez k+1. Kładziemy

C = — |(A1 + A2)A + (I - A2)} . Z lematu 1 wynika, że C e ^ i łat-wo sprawdzić, że

C (x>j+x2) = 1(1 + A1 A2) (x1+x2) ,

3

x^ dla j > 2.

opera-tora C, a nietrudno zauważyć, że odpowiadają one różnym wartościom własnym. Dlatego z hipotezy indukcyjnej wynika, że

k+1 i k+1 =i x1 + x2 || + Xd k+1 j=1 * 3 " □

U w a g a 2. Powyższy lemat wykazuje, że jeśli Q^, Qk są wszystkimi rzutami własnymi operatora A s cft , to

Z | k x

j=1 J dla każdego x e X,

k k

gdyż Z Q . = Ponadto A * gdzie A. € [o, i], co

j=1 J j=i J 0

wynika z lematu 2. Z uwagi 1 wynika, że Q . e _%J .

3

□

LEMAT 4. Jeśli operatory P, Q należące do A są rzutami, tzn. P = P2, Q = Q2 , to PQ = QP.

D o w ó d . Niech A^, ..., A n (lLj» ...t/a n ) będą wartoś-ciami własnymi operatora PQ - QP (PQ, odpowiednio). Ponieważ PQ, -|-[PQ + (I-QP)] e , więc z lematu 2 wynika, że [ °» » a liczby są rzeczywiste. Korzystając z własności śladu opera-tora, otrzymamy następujące równości:

n

MACIERZE ROZSZCZEPIAJĄCE NORMĘ I ICH ZASTOSOWANIE... 37 n

= 2 tr ((PQ)2 - PQ) = 2 X (,11 f - JLL^ < O. i=1

Zatem ,A = O (i * 1, 2, ..., n) , a ponieważ operator PQ - QP

A

'jest diagonalizowalny podobnie jak ^(PQ + I - QP), więc PQ - QP =

Mówimy, że dwa rzuty P, Q są uporządkowane w sposób natural-ny P Q, jeśli PQ = QP = P. Będziemy też pisać P < Q , jeśli P ^ Q i P £ Q. Zauważmy, że z P < Q wynika inkluzja PX c QX.

Rzut P e c/ł będziemy nazywać rzutem minimalnym, jeśli P ^ 0 i nie istnieje rzut Q e <A taki, że 0 < Q < P.

LEMAT 5. (i) Jeśli P e c4 jest rzutem niezerowym, to istnieje rzut minimalny Q < P.

(ii) Jeśli rzuty P, Q są minimalne i P ^ Q, to PQ = 0. (iii) Istnieje co najwyżej n ® dim X rzutów minimalnych.

r

(iv) Jeśli zbiorem wszystkich rzutów

mini-m m

malnych, to P^ = I i II x f = Y2-. II P ,x II dla

kaźde-j=1 3 j=1 0

go x e X.

gdyż wtedy n > dim PQX > dim P^X > ... i w efekcie dim PnX <0, co nie jest możliwe.

\

(ii) Z lematów 1 i 4 wynika, że operator S = PQ jest rzutem z (A, przy czym S < P, S < Q. S nie może być rzutem niezerowym, gdyż z minimalności rzutów P i Q wynikałoby, że P = S = Q, co sprzeczne z założeniem P / Q.

(iii) Przypuśćmy, że P q , P^, pn są różnymi rzutami mini? malnymi. Istnieją wtedy niezerowe wektory e P^X (i = 0,1,...,n Wektory te są liniowo zależne, istnieją więc takie liczby oc^,

n

i = 0, 1, ..., n, nie wszystkie równe zeru, że cx.x. = 0, j*=0 J J ale wtedy

n

0 = ^j^j ° ^k^k = ^ * _{* * *9 *}

więc wszystkie liczby 0Ck byłyby zerami. Ta sprzeczność dowodzi

punktu (iii) • ;

(iv) Niech Pq = I - P^. Z (ii) wynika, że PQ = Pq j=^

MACIERZE ROZSZCZEPIAJ4CE NORMĘ I ICH ZASTOSOWANIE... 39 od s równego 1 aż do m, otrzymamy

x

m

Z

i=o P.X j=o 11 J

Y

I

że jeśli Pq Ł O, to dla pewnego k mamy P^ ^ PQ (1 < k < m). Prowadzi to do sprzeczności

m

0 < Pk = PkP0 ■ - g Pj) ■ Pk - Pk - °-Wykazaliśmy więc, że PQ = 0, a to kończy dowód lematu.

□

TWIERDZENIE 1. Przypuśćmy, że {p .} jest zbiorem wszystkich JJd=i

rzutów minimalnych w X. Operator A należy do zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy ma przedstawienie

i

(3) A = Y L _{3 3} &dzie 6 [°* 1] ^ = 1* 2» m)*

D o w ó d . Przypuśćmy, że A € <A , a , ..., są wszystki-k

mi rzutami własnymi operatora A. Z uwagi 2 wynika, że A = jC j*1 i Q.ccA ( j * 1, 2, ..., k). Ze stwierdzenia (iv) lematu 5 wynika,

J

rzu-lematu 5 wynika, że A = Y* Y> A.Q-P.. Operatory Q.P. są

i=1 j=1 J J 1 J i

więc mamy faktycznie albo Q .P^ = 0, albo Q^P^ = P^* Wykazaliśmy

m ^

więc, że A = M^Pv z lematu 2 wynika, że j l l . - wartości włas-

-j = 1 J J 1

ne operatora A - leżą w przedziale [ o , _{i]. Warunek konieczny został}

dowiedziony*

Przypuśćmy teraz, że A ma przedstawienie (3)* Relacja A e</V wynika teraz z poniższego rachunku:

x + U l - A)x

E

d«i

m m

Z (1 - = Z ( ^ + (1 - m 3)) P3X X

□

wicie przedstawienie m

li “ § h . f y

r

‘gdzie Al f J e [0, 1] 1 Z Xlfi = 1-D

MACIERZE ROZSZCZEPIAJĄCE NORMĘ I ICH ZASTOSOWANIE... A

1

A e L(X), wtedy A* oznacza operator dualny do operatora A dzia-łający w X*. Tak więc dla wszystkich x € X i f £ f mamy rów-ność <Ax,f> = <x,AMf > .

LEMAT 6. Przypuśćmy, że A. € L(X) i ^ A - = I« Wtedy

poniż-1 j=1 3

sze warunki są równoważne: (i) X ! A.x.

j=1 3 3 X ó dla dowolnych

‘••'I» • •

(ii) =

2

* j=1 AM fj dla każdego f e X*.

D o w ó d . Dla ustalonego funkcjonału f e X* możemy znaleźć wektory x^ € X takie, że || x^ || = 1 i || i*f | = <(x^,A*f>. Zatem, jeśli warunek (i) jest spełniony, to

A*f = Ż < x , ,A*. i=1 i' if > =

Aby wykazać implikację odwrotną, ustalmy wektory x>|, ..., xse s

€ X i niech z ~ 1E1 A4x.. Istnieje funkcjonał f e taki, że i=1 1 1

jjf j! = 1 i || z | = < z , f > . Jeśli warunek (ii) jest spełniony, to

A,x, i=1 1 x = V i > f ) -xi s

E

a stąd wynika, że i warunek (i) jest spełniony.

_□

TWIERDZENIE 2. Istnieją rzuty CK 6 L(X) (j = 1, 2, ..., m < ^dim

X)

m

(i) Q3

t

o. QiQ. . «fltaQlf

Y

q

.

= I

U i < * J

(ii) Jeżeli A. e L(X) oraz Z A., = I, to

3 j=1 3

Z

MACIERZE ROZSZCZEPIAJĄCE NORMĘ I ICH ZASTOSOWANIE... 43

wtedy i tylko wtedy, gdy m

Aj — zEj Aj Aj _s *= 1 oraz i ^ [^* •

D o w ó d . Niech P . € L(X*) (j = 1, ..., m) będą wszystkimi d

X

jej przestrzenią bidualną, otrzymamy, na mocy lematów 5 1 6 , rzutami minimalnymi w X. Kładąc = P^ i identyfikując X z

<; max 1 < d < m

V

dla każdego x e X«

Nierówność przeciwna wynika z faktu, że | Q. || = || P. || = 1 . (ii)_{J J} jest oczywistym wnioskiem z twierdzenia 1, lematu 6 i uwagi 3.j— j

Przykłady rzutów minimalnych. Niech pP (C^) oznacza n-wyraia-r n rową przestrzeń liniową rzeczywistą (zespoloną) z bazą ^e.f

1 j=1 unormowaną następująco: n

Z

,n rn * s ^ , ____ m2 V V

vn 4 «n

W przestrzeniach C;J, 1 < p < o o

,

n

PJ ^ ° Ciei^ = ^ J ^ = _{1* 2...n )*}

p

W przestrzeni Pr rzuty minimalne określają równości P1 (oc + (ie2) = ^ (oc + (3) (e^ + e2) ,

P2 ('■X ©i + (S e2) = 2“ ( 'Dc-^3) ( e^ - e2) •

Sprawdzenie powyższych faktów pozostawiamy czytelnikowi. Zastosowanie w teorii stabilności schematów różnicowych, Będziemy aproksymowaó równanie różniczkowe

MACIERZE ROZSZCZEPIAJ

4

45

(un+1 un)/r , a §£ przez ^[PjCEj1) + (1P.j) (1Ej)] un ; t, h -0

- to wielkości kroku siatki, 6 L(Rm ). Przy powyższej aproksyma-cji pochodnych otrzymujemy schemat różnicowy aproksymujący wyjścio-we równanie

s

u

_

L1 + i S Ad (1-2PA u.n E § f A3PóEd - V 1- W un

Jeśli z powyższej równości wynika, że

(5) lun+1rx)|| ^ max {lun (x)|| , || E^u1^ || , [| E^u^x || , j * 1, ..., s|,

to schemat (4) jest stabilny. Z twierdzenia 2 wynika, że nierów-ność (5) może być spełniona tylko wtedy, gdy macierze

s

I + S g Aó(1-2Pj).

(j = 1, ..., s) są równocześnie diagonalizowalne, a ich wartości własne leżą w przedziale [o,

1

(j = 1, s) są również wspólnie diagonalizowalne i mają rzeczy-wiste wartości własne. Jest to więc warunek konieczny na to, aby przy odpowiednim wyborze T, h, P. schemat (4) spełniał nierówność (1_J

Przypuśćmy teraz, że operatory A. są wspólnie diagonalizowal-_J ne i mają tylko rzeczywiste wartości własne. Wynika stąd, że istnie-Je baza je . f przestrzeni R taka, że e. Jest wektorem włas-

L JJJ=1 3

nym operatora A^ ( J = 1 * •••» m, i = 1 > •••» s ) . W R m określamy normę || • j| oraz rzuty CK w sposób następujący:

m

E

i=1oCiei 1 >< i ^ mmax |0C. i=1

Niech P.. będzie sumą tych wszystkich rzutów własnych operatora _J A., które odpowiadają dodatnim wartościom własnym. Zauważmy, że P^ _{J J} Jest Jednym lub sumą kilku z rzutów C^. Jeśli ponadto r / h Jest nie większe od odwrotności promienia spektralnego macierzy

s s

E A^l-av,), to macierze I ^ ~ X AJ

(J = 1, ..., s) są wspólnie diagonalizowalne i mają tylko nieujem- ne wartości własne, sumują się ponadto do operatora identycznościo- wego. Z twierdzenia 2 wynika więc, że schemat różnicowy (4} spełnia nierówność (5), a więc Jest stabilny.

MACIERZE ROZSZCZEPIAJĄCE NORMg I ICH ZASTOSOWANIE... 47 PRACE CYTOWANE

[1] P. Brenner, The Cauchy problem of symetrie hyperbolic systems in Lp, Math. Scand. 19(1966), 27-37.

[

2

[

3