Temat: Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników.
Obejrzyj film!!!! https://www.youtube.com/watch?v=V4jLdIW3l_w Wszystkie omawiane przykłady na filmie wpisz do zeszytu.
Ćwiczenie 1. Dla przećwiczenia rozwiążmy kilka przykładów.
a)
{ −4 x +4 y=−14
10 x−4 y=2
zobacz: przy „y” mamy JUŻ przeciwne współczynniki!!! Zatem wystarczy tylko podkreślić układ i dodać równania stronami
+ { −4 x +4 y=−14 10 x−4 y=2
-4x + 4y + 10x - 4y= -14+2 składniki” 4y” oraz „-4y” się redukują -4x+10x= -14 +2
6x= -12 /:6 x= -2
Wybieramy teraz jedno z równań układu, np.: drugie do którego podstawimy w miejsce „x” liczbę
„-2”
10x - 4y = 2 Tylko przepisaliśmy nasze wybrane drugie równanie 10∙(-2) – 4y = 2 za „x” podstawiamy nasz wynik (-2)
-20 – 4y = 2 przenosimy niewiadome na lewo, a liczby na prawo - 4y = 2 + 22
- 4y = 24 /: (-4) y= -6
Odp.: Rozwiązaniem układu jest para liczb: x= -2 oraz y= -6.
b)
{ −6 x+4 y=−14 10 x+4 y=2
Zobacz: patrząc na niewiadome widzimy, że przy „y” stoją czwórki. Wystarczy zatem (aby otrzymać przy „y” liczby przeciwne) jedno z równań pomnożyć przez (-1). Które? Które chcesz! Ja wymnożę pierwsze
{ −6 x+4 y=−14/∙(−1)
10 x+4 y=2
w równaniu pierwszym KAŻDY współczynnik mnożę przez( -1)+ { 6 x−4 y=14 10 x+4 y =2
przy „y” mamy już przeciwne współczynniki, więc podkreślamy układ i dodajemy stronami6x - 4y + 10x + 4y = 14 + 2 16x =16 /:16
x=1
Wybieramy teraz jedno z równań układu, np.: drugie do którego podstawimy w miejsce „x” liczbę 1 10x + 4y = 2
10∙1+ 4y = 2 10 + 4y = 2 4y = 2 – 10 4y = -8 /:4 y= -2
Odp.: Rozwiązaniem układu jest para liczb: x=1 oraz y= -2.
c)
{ 10 x−6 y =18 14 x+8 y =58
ten układ jest trudniejszy. Przy „x” mamy współczynniki 10 oraz 14, a przy „y” mamy współczynniki (-6) oraz 4. Także nie uda nam się tylko jednego z równań pomnożyć przez jakąś liczbę tak aby współczynniki przy jednej z niewiadomych były przeciwne. Zatem : najpierw decyzja – przy której z niewiadomych będziemy chcieli mieć przeciwne współczynniki? Jak wolisz! Ja wybiorę „x”.
Zobacz: mnożąc górne równanie przez 14-współczynnik sprzed x z dolnego równania, a mnożąc dolne równanie przez 10-współczynnik sprzed x w górnym równaniu uzyskamy takie same współczynniki przy „x”- będą to liczby 140. ALE one nie będą przeciwne
{ 10 x−6 y =18/∙14 14 x+8 y=58/∙ 10
Dlatego mała poprawka – jedno z równań musimy pomnożyć przez liczbę ujemną! Ja decyduje się na pierwsze równanie:
{ 10 x−6 y =18/∙(−14) 14 x +8 y =58/∙10 + { −1 40 x+84 y=−252
14 0 x+80 y=580
mamy przeciwne współczynniki przy „x”; dodajemy stronami -140x + 84y + 140x + 80y = -252 + 580 „x” się redukują84y + 80y = -252 + 580 164y = 328 /:164 y= 2
Teraz wybieram jedno z równań układu (ja wybiorę pierwsze), do którego postawimy zamiast „y” wartość 2 10x – 6y = 18
10x – 6∙2 = 18 10x – 12 = 18 10x = 18+12 10x = 30 /:10 x = 3
Odp.: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: x=3 oraz y=2.
Praca domowa:
Technikum: 5.37 a, c
5.25 a,c,f (te przykłady rozwiąż metodą przeciwnych współczynników)
Liceum: 5.33 a, c
5.22 a,c,f (te przykłady rozwiąż metodą przeciwnych współczynników)
