Fizyka 1- Mechanika

Zygmunt Szefliński

Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl

http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Fizyka 1- Mechanika

Wykład 7

16.XI.2017

Zasada

zachowania pędu

Układ izolowany

Każde ciało może w dowolny sposób oddziaływać z innymi elementami układu.

Układ izolowany- Brak oddziaływań ze światem zewnętrznym

III zasada dynamiki

Siły z którymi działają na siebie ciała i i j:

ji

ij

F

F  

Suma sił działających na ciało i:





j

ji sum

i

F

F

Suma sił działających układ:

tot

j i

ij

i j

ji i

sum i tot

F F

F F

F



















 0

 F

Zasada zachowania pędu

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Druga zasada dynamiki

sum i

i

F

dt p

d 

const p

F

p F

F

i

i tot

i dt i

d i

dt p d i

sum i tot

i





















0

Dla dowolnego układu

izolowanego, suma pędów wszystkich elementów

układu pozostaje stała.

Zasada zachowania pędu

Oddziaływanie dwu ciał

Jeśli na początku wszystkie obiekty spoczywają,

 0



i

p

to po rozpadzie suma pędów musi też pozostać zerowa.

Dla dwu ciał: (v_i<<c)

1 2

1 1 2

2 2 1

1

0

m v v

v m

v m v

m















Zderzenia sprężyste (z.z.e+z.z.p.)

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Przed zderzeniem m₁

Po zderzeniu

m₂ m₁ m₂

v v=0 v₁ v₂

z.z.p.

  ^{1 m}

^{v  m}

^v

^{ m}

^v

  2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2

1

v m v m v

m  

z.z.e.





2 1

2

v v

m

v  m 

z (2)

 

^

^

2 2 1 2

2 1 2

1

v v

m m m

v v

m   











2

v v v v m v v

m    



    ^v

m m

m v m

v v

m v

v m

2 1

2 1

1 1

1 1

2



 











Zderzenia niecentralne

2 2

: 2

0 sin

sin :

cos cos

:

2 1 1 2

2 2 2

1 1

1 '

1 1 2

' 2 2

1 1 1

' 1 1 2

' 2 2

v m v

m v

E m

v m v

m p

v m v

m v

m p

k y x

 

 

















2 1 ' 2 '

1

, v ,  , 

Szukamy:

v

Zderzenia niecentralne

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

2 1 2

2 2

1

1 '

2 '

1

v v

v

v v

v

 

 





2 !

2 1

 

  

Gdy m

=m

problem jest prosty

Wektory: '

2 '

1

1

, v i v v

tworzą trójkąt prostokątny

Zderzenia- podstawy

 

dt p F d

dt p d dt

v m d dt

v m d a

m

F   



  



gdzie: p  m v 









t

I dt

F

p - popęd siły

Podczas zderzenia

obiekt A działa na B

siłą F(t) a B na A siła –

F(t). Siły F(t) i –F(t)

stanowią parę sił akcja

–reakcja. Ich wartości,

choć zmienne, w każdej

chwili są sobie równe.

Zderzenia cząstek elementarnych

1. Pierwsza fotografia toru pozytonu w komorze Wilsona zarejestrowana przez Andersona 2 sierpnia 1932 r.

2. Produkcja par elektron pozyton

Kołyska Newtona

Zasada zachowania pędu

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Zderzeniem całkowicie niesprężystym (całkowicie nieelastycznym) nazywamy zderzenie, w wyniku którego ciała pozostają trwale złączone (lub nie poruszają się względem siebie) Gdy jedno z ciał spoczywa, Pęd początkowy:

1 1

v m p



Pęd końcowy:

 ^m

^m

 ^v

p

  

Zasada zachowania pędu:

1 2 1

1

2

v

m m

v m

p p

 



Wahadło balistyczne

1 1

v m

p

 ^p

^  ^m

^{ m}

 ^{ v}

1 2 1

1

2

v

m m

v m p

p

 





 

mgh m v

m 



2 2

1

2

Z zasady zachowania

energii wyliczamy h.

Zderzenia

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Krater po zderzeniu meteorytu z Ziemią w

Arizonie

Zderzenie zachodzi wtedy, gdy dwa lub więcej ciał działają na siebie stosunkowo dużymi siłami w krótkim przedziale czasu.

Zderzenia auta o predkości 100 km/h z drzewem trwa ?

s m h

km / 30 /

100 

Deformacja auta ok. 0,5m. Wobec tego czas hamowania (zderzenia?) :

ms s

h km

s m m

v d

t

33 033

, 0 /

100

/ 15

/ 5

, 0 /











Crash-test - analiza

Jakie średnie przyspieszenie?

s g m

s s m t

a v

100 1000

033 ,

0

/ 30

2





 

 

m d

ms

t  33  0 , 5



Jaka średnia siła?

ton s N

s m kg

t

F p 10 100

033 ,

0

/ 30

10

 



 

 

Środek masy

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

m₁ X

X_śm

d

m₂

m d m

x

m

2 1

2

 

2 1

2 2

1 1

m m

x m

x x

m







 

Gdy początek układu w obiekcie m

to x

=0, x

=d,

Środek masy

2 1

2 2

1 1

m m

x m

x x

m







 

X X m₁

X_śm

d

m₂

X₁

X₂

Uogólnienie na n mas:

u

sm

m

x m

x

x m







lub



 ^



sm

m x

x m 1

1 1 x m 

Gdzie:

2

1

m

m

m

 

Środek masy – trzy wymiary

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7







i

i i

u

sm

m x

x m

1

1







i

i i

u

sm

m z

z m

1

1







i

i i

u

sm

m y

y m

1

1

Lub w zapisie wektorowym:

Położenie cząstki można zapisać:

r

 x

 i ˆ  y

 ˆ j  z

 k ˆ

Położenie środka masy:

r

 x

 i ˆ  y

 ˆ j  z

 k ˆ

Zamiast trzech równań skalarnych

dostajemy jedno wektorowe:









i

i i u

sm

m r

r m

1

1

Trzy równania skalarne:

Środek masy – ciała rozciągłe







i

i i

u

sm

m x

x m

1

1 ^{x } _m  ^{x dm}

u sm

1

V dV dV m

dm   

Dla ciał jednorodnych





 ^{ }

 x dV

dV V V x

m dm m

m x

x

u u

sm

1 1

1

Gdy ciało ma symetrię, środek ciężkości znajduje się na osi symetrii, a położenie jego wyznaczamy dla zmiennej nie mającej symetrii.

Zasada zachowania pędu

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

m

F

 a



a  Q

Oddziaływanie dwu ciał Równia rusza się bez tarcia po poziomym stole.

Na równi kładziemy klocek, który może zsuwać się bez tarcia.

Jak znaleźć przyspieszenia, z którymi będzie poruszał się klocek i równia?

Możemy teraz wyznaczyć składową x tego przyspieszenia w układzie stołu, i porównać z wrtością oczekiwaną z zasady zachowania pędu:

r

b

m a

F  

Przyspieszenie klocka wzdłuż równi



 cos sin a

g

a   















sin2

cos sin

2

;

sin cos

sin cos

m M m r

r x

r r

x

g a

Ma ma

a g

a a

a











 



Zasada zachowania pędu

m

g



a

a

M

Oddziaływanie dwu ciał Zagadnienie daje się łatwo rozwiązać w układzie

nieinercjalnym związanym z równią. W układzie tym na klocek działa dodatkowo siła bezwładności

Jeśli masa klocka nie jest zaniedbywalna w porównaniu z masą równi to równia będzie “uciekać” spod zsuwającego się klocka. Wynika to z zasady zachowania pędu!

Siły zewnętrzne (siła ciężkości i reakcji stołu) mają kierunek pionowy i mogą zmieniać tylko składową pionową pędu układu równia-klocek.

Składowa pozioma pędu musi być zachowana!

Ruch ciał o zmiennej masie

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

dt p F  d

II zasada dynamiki może być w szczególności

wykorzystana do opisu ruchu ciała o zmiennej masie.

W ogólnym przypadku:

^{m  m}  ^{r , v , t} 

Silnik rakietowy napędza rakietę na zasadzie odrzutu. Jej masa maleje. Rozważmy pracę silnika rakiety z punktu widzenia zasady zachowania pędu.

W przedziale czasu dt masa rakiety maleje z m do m+dm (dm<0 bo masa maleje). Od ciała o masie m+dm

poruszającego się z prędkością v odłącza się element

−dm>0 poruszający się z prędkością w.

Saturn 5

Apollo 11, 16 lipca 1969

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Ruch ciał o zmiennej masie

W wyniku odrzutu rakieta zmienia swoją prędkość o dv .

Z zasady zachowania pędu:

odrz

r

m d v dm v

p

d    

Siła odrzutu (siła ciągu rakiety):

 0





 dt

v dm dt

dm dt

p

F

d

 ^{m dm}  ^{v dv}  ^dm  ^{v v}



mv     

 ^  ^  ^  ^{    0}

 dm v dv dm v v

mdv dm v

mdv

Ruch ciał o zmiennej masie

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Ruch ciała pod wpływem siły odrzutu:

Gdy brak sił zewnętrznych: Po wycałkowaniu stronami:

odrz

zewn

v

dt F dm

dt v m d

dt p

d    

odrz odrz odrz

dm v v m d

dt v dm dt

dm dm

v m d

dt v dm dt

v m d











 

 



 







 

 



 











  

k odrz

k

k odrz

k

m

m odrz v

v odrz

m v m

v v

m v m

v v

m v dm

v m d

v dm v

d

k k

0 0

0 0

ln ln

;

0 0

Wzór Ciołkowskiego !

Przykład – rakieta jednostopniowa

Rakieta o masie m_R ma wynieść satelitę o masie m_S zużywając paliwo o masie m_P:

Wzór Ciołkowskiego daje prędkość końcową:

 





m

odrz R

S

P R

S odrz

k

m m

f

f m v

m

m m

v m v

R

P









 



 









 

 ln ln 1

Jakie f dla

v

=11km/s i v

=3km/s ? Irracjonalne!

38 1

exp   



 



 

odrz k

v

f v