Prawo Gaussa.Prawo Gaussa.PotencjaPotencjałłelektryczny.elektryczny.

1

Wykład 3

Prawo Gaussa.

Prawo Gaussa.

Potencja

Potencjał ł elektryczny. elektryczny.

Wrocław University of Technology 17-03-2012

2

Inne spojrzenie na prawo Coulomba

Prawo Gaussa, moŜna uŜyć do uwzględnienia szczególnej symetrii w rozwaŜanym zagadnieniu. Dla zagadnień elektrostatyki jest ono w pełni równowaŜne prawu Coulomba.

Dla prawa Gaussa istotne jest wprowadzenie umownej zamkniętej powierzchni, zwanej powierzchnią Gaussa.

MoŜe mieć ona dowolny kształt, ale najbardziej uŜyteczny jest wybór powierzchni naśladującej symetrię rozwaŜanego zagadnienia. Dlatego powierzchnia Gaussa będzie często sferą, powierzchnią walcową lub powierzchnią innej symetrycznej bryły. Musi być ona zawsze powierzchnią zamkniętą, tak aby moŜna było

wyraźnie rozróŜnić punkty wewnątrz powierzchni, na powierzchni i na zewnątrz powierzchni.

Prawo Gaussa określa związek między natęŜeniem pola elektrycznego w punktach na (zamkniętej) powierzchni Gaussa i całkowitym ładunkiem objętym tą powierzchnią.

3

Strumień

( ^v ) ^{⋅ S = v r ⋅ S r}

=

Φ ^cos θ

Strumień nie oznacza, Ŝe coś przechodzi przez tę powierzchnię - oznacza właściwie iloczyn pola powierzchni i pola pewnej wielkości, określonej na tej powierzchni.

4

Strumieńpola elektrycznego

Strumienia pola elektrycznego dla powierzchni Gaussa:

∑ ^{⋅ ∆}

=

Φ E S

r r

Lub dokładniej:

∫ ^⋅

=

Φ E d S r r

Całkę naleŜy obliczyć po całej (zamkniętej) powierzchni.

Strumień pola elektrycznego jest skalarem i jego jednostką w układzie SI jest niuton razy metr kwadratowy na kulomb (N • m²/C).

Strumień elektryczny

Φ

5

Prawo Gaussa

Prawo Gaussa opisuje związek między strumieniem Φ pola elektrycznego, przenikającym przez zamkniętą powierzchnię (powierzchnię Gaussa) i całkowitym ładunkiem q_wewn, zawartym wewnątrz tej powierzchni.

q

=

0

Φ ε

Lub korzystając z definicji strumienia moŜna zapisać:

q

s d E =

∫ ^{r r}

ε

Ładunek q_wewnjest algebraiczną sumą wszystkich dodatnich i ujemnych ładunków zawartych wewnątrz tej powierzchni i moŜe być dodatni, ujemny lub zerowy.

Uwzględniamy znak ładunku, zamiast uŜywać tylko jego bezwzględnej wartości, poniewaŜ znak zawiera istotną informację o wypadkowym strumieniu przenikającym przez powierzchnię Gaussa. Jeśli ładunek q_wewnJest dodatni, to przewaŜa strumień na zewnątrz; jeśli ładunek q_wewnjest ujemny, to przewaŜa strumień do wewnątrz.

6

Prawo Gaussa

Powierzchnia S₁. We wszystkich punktach na tej powierzchni linie pola elektrycznego wychodzą na zewnątrz. Stąd strumień pola elektrycznego przenikający przez tę powierzchnię jest dodatni, dodatni jest teŜ

całkowity ładunek wewnątrz powierzchni, jak wymaga tego prawo Gaussa.

Powierzchnia S₂. We wszystkich punktach na tej powierzchni linie pola elektrycznego wchodzą do wnętrza.

Stąd strumień pola elektrycznego jest ujemny i taki jest teŜ całkowity ładunek wewnątrz powierzchni, jak wymaga tego prawo Gaussa.

Powierzchnia S₃. Ta powierzchnia nie otacza Ŝadnego ładunku i stąd q_wewn= 0.

Powierzchnia S₄. Całkowity ładunek wewnątrz tej powierzchni jest równy zeru, bo otaczane ładunki, dodatni i ujemny, mają jednakowe wartości. Prawo

Gaussa wymaga, aby wypadkowy strumień pola elektrycznego przez tę powierzchnię był równy zeru. Jest tak rzeczywiście, bo tyle samo linii opuszcza

powierzchnię S₄, co na nią pada.

7

Prawo Gaussa a prawo Coulomba

Z właściwości symetrii wynika, Ŝe w kaŜdym punkcie natęŜenie pola elektrycznego E równieŜ jest prostopadłe do powierzchni i skierowane na zewnątrz. Kąt θ między E i dS jest równy zeru, więc moŜemy zapisać:

∫

∫ ^{E ⋅ d S =}

^{EdS = q}

0

ε

ε ^{r r}

Całka jest teraz tylko sumą po polach powierzchni dS elementów sfery i jest równa polu powierzchni 4πr². Po podstawieniu tej wartości otrzymujemy:

q dS E ∫ = ε

2 0 2

0

4

4 1

r E q

q r

E π πε

ε ⋅ = ⇒ =

8

Zastosowanie prawa Gaussa

Nieskończenie długi walcowy pręt plastikowy, naładowany jednorodnie dodatnio z gęstością liniową λ.

Pole powierzchni bocznej walca wynosi 2πrh, poniewaŜ długość obwodu podstawy jest równa 2πr, a wysokość jest równa h. Strumień natęŜenia E przez powierzchnię walca wynosi:

q

=

0

Φ ε

rh E rh

E

ES cos θ = ⋅ 2 π ⋅ cos 0 = ⋅ 2 π

= Φ

Ładunek objęty rozwaŜaną powierzchnią wynosi λh i prawo Gaussa:

E r h

rh E

0

0

2 2

πε λ λ

π

ε ⋅ = ⇒ =

9

Zastosowanie prawa Gaussa – płyta nieprzewodząca Ładunek jest dodatni, to natęŜenie E jest

skierowane od płyty i stąd linie pola elektrycznego przecinają denka powierzchni Gaussa, wychodząc na zewnątrz. Linie pola nie przecinają powierzchni bocznej, dlatego teŜ strumień elektryczny przez tę część powierzchni Gaussa jest równy zeru. Na powierzchni denek E ^. dS wynosi po prostu EdS i prawo Gaussa:

q

S d E ⋅ =

∫ ^{r r}

ε

( ^{ES ES} ) ^{σ S}

ε

+ =

Przyjmuje postać:

gdzie σS jest ładunkiem objętym przez powierzchnię Gaussa. Ostatecznie:

2 ε

= σ E

10

Zastosowanie prawa Gaussa – dwie przewodzące płyty

Płyty są przewodnikami, dlatego teŜ po równoległym ich ustawieniu ładunek nadmiarowy na jednej płycie przyciąga ładunek nadmiarowy na drugiej i cały nadmiarowy ładunek przesunie się na wewnętrzne powierzchnie płyt (rys. c). Przy dwukrotnie większym ładunku nowa gęstość powierzchniowa ładunku σ na kaŜdej wewnętrznej powierzchni jest równa 2σ₁. Stąd natęŜenie pola elektrycznego w dowolnym punkcie między płytami ma wartość:

0 0

2 1

εσ εσ ₌

= E

11

Potencjał elektryczny

JeŜeli w polu elektrostatycznym znajduje się ciało próbne, posiadające ładunek q, wówczas doznaje ono działania siły:

E q F

r r =

JeŜeli to ciało ulega przesunięciu, wówczas siła wykonuje pracę. Gdy ciało zostanie przesunięte o odległość ∆l, wówczas praca wynosi

α cos l F l F

W = ∆ = ∆

∆ r

o r

Praca jest dodatnia, jeŜeli α < π/2, ujemna, gdy α > π/2.

12

Potencjał elektryczny

Ciało przesuwamy z punktu (1) do punktu (2). Krzywoliniową drogę moŜna podzielić na kilka elementarnych odcinków ∆l, wówczas praca dana jest wzorem:

∑ ^∆

=

i

i i i

l F

W cos α

Zmniejszając długość odcinków ∆l do bardzo małych, otrzymujemy wzór

∫

=

) 2 (

) 1 (

cos dl F

W α

lub inaczej

∫

=

) 2 (

) 1 (

cos dl E

q

W α

13

Potencjał elektryczny

Dla krzywej zamkniętej, praca pola elektrostatycznego jest zawsze równa zero, stąd

Dla dowolnych dwóch punktów A i B na krzywej zamkniętej, otrzymujemy

0 cos

cos

) 2 ( )

1 (

= + ∫

∫

B B

A

dl E

dl

E α α

ale

∫

∫ ^{= ⇒ =}

= q E cos dl 0 E cos dl 0

W α α

∫

∫ ^{= −}

A A

B

dl E

dl E

) 2 ( )

2 (

cos

cos α α

14

Potencjał elektryczny Wobec tego

Ostatecznie otrzymujemy

Wartość całki zaleŜy jedynie od połoŜenia punktów A i B a nie zaleŜy od drogi pomiędzy tymi punktami. Wartość tej całki nazywa się napięciem lub róŜnicą potencjałów pomiędzy punktami A i B:

0 cos

cos

) 2 ( )

1 (

=

− ∫

∫

A B

A

dl E

dl

E α α

∫

∫ ⁼

A B

A

dl E

dl E

) 2 ( )

1 (

cos

cos α α

∫

∫ ⁼

=

B

A B

A

AB

E dl E d l

U

r r α

cos

15

Potencjał elektryczny

Odsuwamy punkt B w nieskończoność. Napięcie elektryczne pomiędzy punktem A a nieskończonością nazywamy potencjałem elektrycznym w punkcie A i oznaczamy V_A(potencjał w nieskończoności jest równy zero). Wtedy

czyli moŜemy przejść od A do nieskończoności i wrócić z nieskończoności do B.

Praca jaką wykonuje pole elektryczne, gdy odprowadzamy ładunek z dowolnego punktu M pola do nieskończoności, jest równa:

B A

AB

V V

U = −

Q V W =

stąd otrzymujemy relację:

Q V

= W

Potencjał w danym punkcie równa się stosunkowi pracy W wykonanej przez pole przy

odprowadzanie dowolnego ładunku z tego punktu do nieskończoności, do wartości tego ładunku.

16

Potencjał elektryczny

jednostką potencjału w układzie SI jest dŜul na kulomb. Taka jednostka pojawia się tak często, Ŝe uŜywa się specjalnej nazwy wolt (w skrócie V) dla tej jednostki i stąd:

1 wolt = 1 dŜul na kulomb.

Ta nowa jednostka pozwala przyjąć inną jednostkę natęŜenia pola elektrycz- nego E, które dotąd mierzyliśmy w niutonach na kulomb. Po dwóch przekształ- ceniach jednostek otrzymujemy:

m m V

N J J

C V C C N

N 1 /

1 1 1

1 1 /

1  =



 





 ⋅



 



 ⋅

 

 



= 

( ) ^V ( ^C ) ^{( J C ) J}

e

eV 1 1 . 60 10

1 / 1 . 60 10

1 = = ⋅

= ⋅

17

Powierzchnie ekwipotencjalne

Sąsiadujące ze sobą punkty, które mają taki sam potencjał elektryczny, tworzą powierzchnię ekwipotencjalną, która moŜe być albo wyobraŜoną powierzchnią, albo rzeczywistą powierzchnią fizyczną.

Jeśli cząstka porusza się między dwoma punktami początkowym i końcowym po tej samej powierzchni ekwipotencjalnej, to pole elektryczne nie wykonuje nad cząstką naładowaną Ŝadnej pracy W, zgodnie z którym W = 0, jeśli V_konc= V_pocz.

18

Powierzchnie ekwipotencjalne

Powierzchnie ekwipotencjaine są zawsze prostopadłe do linii pola elektrycznego i stąd do natęŜenia E, które jest zawsze styczne do tych linii. Jeśli natęŜenie E nie by- łoby prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnej, to miałoby składową leŜącą wzdłuŜ tej powierzchni. Składowa ta wykonywałaby więc pracę nad cząstką naładowaną, przy jej ruchu po powierzchni.

19

Obliczanie potencjału na podstawie natęŜenia pola elektrycznego

RóŜnicę potencjałów między dowolnymi dwoma punktami początkowym P i końcowym K w polu elektrycznym moŜemy obliczyć, jeśli znamy wektor natęŜenia pola elektrycznego E wzdłuŜ jakiejkolwiek drogi łączącej te punkty.

Praca dW, wykonana nad cząstką przez siłę F, przy przesunięciu ds wynosi:

s d E q s d F

dW r

o r r

o r

=

=

Całkowita praca wynosi:

∫

∫ ^{⇒ − = −}

=

kon

pocz pocz kon kon

pocz

s d E V

V s

d E q

dW r

o r r

o r

0

Jeśli wybierzemy potencjał V_poczw punkcie początkowym równy zeru, wtedy

∫

−

= ^kon

pocz

s d E

V r

o r

20

Potencjał pola ładunku elektrycznego

Przesuwamy dodatni ładunek próbny q₀z punktu P do nieskończoności.

ds E

s d

E r = ^cos θ o

r

NatęŜenie pola elektrycznego E jest skierowane radialnie od wybranej cząstki. Stąd przesunięcie ds cząstki próbnej wzdłuŜ jej toru ma ten sam kierunek co E, stąd kąt θ = 0 i cosθ = 1. Tor jest radialny, a więc moŜna napisać ds = dr.

∞

∫

−

=

−

R pocz

kon

V Edr

V

Przyjmijmy, Ŝe i

V

= 0 ( w ∞ ) V

= V

2

4

1 r E q

= πε

21

Potencjał pola ładunku elektrycznego

R q r

dr q r V q

R 0 R 0

2

0

4

1 1

4 1

0 4

πε πε

πε   ^{= −}

 

=

−

=

−

∞ ∞

∫

Ostatecznie wyraŜenie na potencjał V pola wytworzonego przez cząstkę o ładunku q, w dowolnej odległości r od cząstki. otrzymujemy:

r V q

4

1

= πε

Cząstka dodatnio naładowana wytwarza dodatni potencjał elektryczny. Cząstka ujemnie

naładowana wytwarza ujemny potencjał elektryczny.

22

Potencjał pola układu ładunków punktowych

Wypadkowy potencjał układu ładunków punktowych w jakimś punkcie moŜemy obliczyć, korzystając z zasady superpozycji.

∑

∑

=

=

i i

i n

i

i

r

V q V

0 1

1

4

1 πε

gdzie q_ijest wartością i-tego ładunku, a r_ijest odległością danego punktu od i-tego ładunku.

Suma we wzorze jest sumą algebraiczną, a nie sumą wektorową, jak suma przy obliczaniu natęŜenia pola elektrycznego dla układu ładunków punktowych.

23

Potencjał pola dipola elektrycznego

W punkcie P dodatni ładunek punktowy (znajdujący się w odległości r₍₊₎) wytwarza potencjał V₍₊₎i ujemny ładunek punktowy (w odległości r_(-)) wytwarza potencjał V_(-) Wypadkowy potencjał w punkcie P wynosi:

) ( ) (

) ( ) ( 0 )

( ) ( 0 ) ( ) ( 2

1 4

1 4

1

+

− +

−

− +

−

= +

= −











 +−

= +

=

=

∑

r r

r r r

q r

V q V V V

i

i

πε πε

Dla duŜych odległości od dipola, r >> d, gdzie d jest odległością między ładunkami:

θ

) cos

( )

( r d

r₋ − ₊ ≈ r₍₋₎r₍₊₎ ≈r² Wtedy

2 0

cos

4 r

d

V q

θ

=

πε

gdzie kąt θ jest mierzony od osi dipola.