Równania Hamiltona Wykład 13 Karol Kołodziej

Równania Hamiltona

Wykład 13

Karol Kołodziej

(przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki

Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl

UkładN punktów materialnych zk więzami holonomicznymi ma n= 3N − k stopni swobody. Możemy go opisaćn równaniami Lagrange’aII-go rodzaju, które są równaniami różniczkowymi drugiego rzędu.

Pokażemy, żen równań różniczkowych drugiego rzędu można przekształcić w2nrównań pierwszego rzędu. Na ogół udaje się to zrobić przez wprowadzenie pędów uogólnionych:

p_i = ∂L

∂˙qi

, i = 1, . . . , n,

Wstęp

UkładN punktów materialnych zk więzami holonomicznymi ma n= 3N − k stopni swobody. Możemy go opisaćn równaniami Lagrange’aII-go rodzaju, które są równaniami różniczkowymi drugiego rzędu.

Pokażemy, żen równań różniczkowych drugiego rzędu można przekształcić w2nrównań pierwszego rzędu. Na ogół udaje się to zrobić przez wprowadzenie pędów uogólnionych:

p_i = ∂L

∂˙qi

, i = 1, . . . , n, jako nowych współrzędnych.

UkładN punktów materialnych zk więzami holonomicznymi ma n= 3N − k stopni swobody. Możemy go opisaćn równaniami Lagrange’aII-go rodzaju, które są równaniami różniczkowymi drugiego rzędu.

Pokażemy, żen równań różniczkowych drugiego rzędu można przekształcić w2nrównań pierwszego rzędu. Na ogół udaje się to zrobić przez wprowadzenie pędów uogólnionych:

p_i = ∂L

∂˙qi

, i = 1, . . . , n, jako nowych współrzędnych.

Przestrzeń fazowa

Przypomnijmy, że pędy uogólnione odpowiadają zwykłym pędom mechanicznym, np.

m˙x lub mr²ϕ,˙

tylko wówczas, gdy potencjał nie zależy od prędkości.

Zmienne

qi, pi, i = 1, . . . , n

rozpinają2n wymiarową przestrzeń, zwanąprzestrzenią fazową.

Przypomnijmy, że pędy uogólnione odpowiadają zwykłym pędom mechanicznym, np.

m˙x lub mr²ϕ,˙

tylko wówczas, gdy potencjał nie zależy od prędkości.

Zmienne

qi, pi, i = 1, . . . , n

rozpinają2n wymiarową przestrzeń, zwanąprzestrzenią fazową.

Transformacja Legendre’a

Transformacja Legendre’aopisuje przejście od zmiennych x i y w funkcji f (x, y) do nowych zmiennych u ≡ ^∂f_∂x i y w nowej funkcji g(u, y ).

Rozważmy różniczkę zupełną funkcji f (x, y)

df = ∂f

∂xdx+ ∂f

∂ydy = udx + v dy , gdzie

u ≡ ∂f

∂x, v ≡ ∂f

∂y.

Transformacja Legendre’aopisuje przejście od zmiennych x i y w funkcji f (x, y) do nowych zmiennych u ≡ ^∂f_∂x i y w nowej funkcji g(u, y ).

Rozważmy różniczkę zupełną funkcji f (x, y) df = ∂f

∂xdx+ ∂f

∂ydy = udx + v dy , gdzie

u ≡ ∂f

∂x, v ≡ ∂f

∂y.

Zauważmy, że zależność funkcji f od zmiennych x i y sprawia, że w jej różniczce zupełnej występują wyrazy proporcjonalne do przyrostów dx i dy.

Transformacja Legendre’a

Transformacja Legendre’aopisuje przejście od zmiennych x i y w funkcji f (x, y) do nowych zmiennych u ≡ ^∂f_∂x i y w nowej funkcji g(u, y ).

Rozważmy różniczkę zupełną funkcji f (x, y) df = ∂f

∂xdx+ ∂f

∂ydy = udx + v dy , gdzie

u ≡ ∂f

∂x, v ≡ ∂f

∂y.

Zauważmy, że zależność funkcji f od zmiennych x i y sprawia, że w jej różniczce zupełnej występują wyrazy proporcjonalne do przyrostów dx i dy.

Zdefiniujmy funkcję g

g ≡ ux − f , której różniczka zupełna wyraża się wzorem

dg = udx + xdu − df = udx + xdu − udx − v dy

= xdu − v dy .

Transformacja Legendre’a

Zdefiniujmy funkcję g

g ≡ ux − f , której różniczka zupełna wyraża się wzorem

dg = udx + xdu − df = udx + xdu − udx − v dy

= xdu − v dy .

Zatem g jest funkcją zmiennych u i y,g = g (u, y ).

Zdefiniujmy funkcję g

g ≡ ux − f , której różniczka zupełna wyraża się wzorem

dg = udx + xdu − df = udx + xdu − udx − v dy

= xdu − v dy .

Zatem g jest funkcją zmiennych u i y,g = g (u, y ). Dlatego dg = ∂g

∂udu+∂g

∂ydy ⇔ x = ∂g

∂u, v = −∂g

∂y.

Transformacja Legendre’a

Zdefiniujmy funkcję g

g ≡ ux − f , której różniczka zupełna wyraża się wzorem

dg = udx + xdu − df = udx + xdu − udx − v dy

= xdu − v dy .

Zatem g jest funkcją zmiennych u i y,g = g (u, y ). Dlatego dg = ∂g

∂udu+∂g

∂ydy ⇔ x = ∂g

∂u, v = −∂g

∂y.

Funkcję g(u, y) nazywamy transformatą Legendre’a funkcji f (x, y).

Zdefiniujmy funkcję g

g ≡ ux − f , której różniczka zupełna wyraża się wzorem

dg = udx + xdu − df = udx + xdu − udx − v dy

= xdu − v dy .

Zatem g jest funkcją zmiennych u i y,g = g (u, y ). Dlatego dg = ∂g

∂udu+∂g

∂ydy ⇔ x = ∂g

∂u, v = −∂g

∂y.

Funkcję g(u, y) nazywamy transformatą Legendre’a funkcji f (x, y).

Transformata Legendre’a funkcji Lagrange’a

Zdefiniujmyfunkcję Hamiltona H jako transformatę Legendre’a funkcji Lagrange’aL(q, ˙q, t)

H ≡ Xn

i=1

˙qip_i − L(q, ˙q, t), gdzie p_i = ∂L

∂˙qi

,

a n jest liczbą stopni swobody.

Obliczmy różniczkę zupełną funkcji H

dH = Xn

i=1



˙q_idp_i+p_idq˙_i − ∂L

∂q_idq_i− ∂L

∂q˙_idq˙_i



−∂L

∂tdt

Zdefiniujmyfunkcję Hamiltona H jako transformatę Legendre’a funkcji Lagrange’aL(q, ˙q, t)

H ≡ Xn

i=1

˙qip_i − L(q, ˙q, t), gdzie p_i = ∂L

∂˙qi

,

a n jest liczbą stopni swobody.

Obliczmy różniczkę zupełną funkcji H

dH = Xn

i=1



˙q_idp_i+p_idq˙_i − ∂L

∂q_idq_i− ∂L

∂q˙_idq˙_i



−∂L

∂tdt

=

Transformata Legendre’a funkcji Lagrange’a

Zdefiniujmyfunkcję Hamiltona H jako transformatę Legendre’a funkcji Lagrange’aL(q, ˙q, t)

H ≡ Xn

i=1

˙qip_i − L(q, ˙q, t), gdzie p_i = ∂L

∂˙qi

,

a n jest liczbą stopni swobody.

Obliczmy różniczkę zupełną funkcji H

dH = Xn

i=1



˙q_idp_i+p_idq˙_i − ∂L

∂q_idq_i− ∂L

∂q˙_idq˙_i



−∂L

∂tdt

= Xn

i=1



˙

q_idp_i − d dt

∂L

∂˙q_idq_i



−∂L

∂tdt

Zdefiniujmyfunkcję Hamiltona H jako transformatę Legendre’a funkcji Lagrange’aL(q, ˙q, t)

H ≡ Xn

i=1

˙qip_i − L(q, ˙q, t), gdzie p_i = ∂L

∂˙qi

,

a n jest liczbą stopni swobody.

Obliczmy różniczkę zupełną funkcji H

dH = Xn

i=1



˙q_idp_i+p_idq˙_i − ∂L

∂q_idq_i− ∂L

∂q˙_idq˙_i



−∂L

∂tdt

= Xn

i=1



˙

q_idp_i − d dt

∂L

∂˙q_idq_i



−∂L

∂tdt=

Xn

i=1

( ˙q_idp_i −p˙_idq_i) −∂L

∂tdt,

Transformata Legendre’a funkcji Lagrange’a

Zdefiniujmyfunkcję Hamiltona H jako transformatę Legendre’a funkcji Lagrange’aL(q, ˙q, t)

H ≡ Xn

i=1

˙qip_i − L(q, ˙q, t), gdzie p_i = ∂L

∂˙qi

,

a n jest liczbą stopni swobody.

Obliczmy różniczkę zupełną funkcji H

dH = Xn

i=1



˙q_idp_i+p_idq˙_i − ∂L

∂q_idq_i− ∂L

∂q˙_idq˙_i



−∂L

∂tdt

= Xn

i=1



˙

q_idp_i − d dt

∂L

∂˙q_idq_i



−∂L

∂tdt=

Xn

i=1

( ˙q_idp_i −p˙_idq_i) −∂L

∂tdt, gdzie skorzystaliśmy z równań Lagrange’a II rodzaju

Zdefiniujmyfunkcję Hamiltona H jako transformatę Legendre’a funkcji Lagrange’aL(q, ˙q, t)

H ≡ Xn

i=1

˙qip_i − L(q, ˙q, t), gdzie p_i = ∂L

∂˙qi

,

a n jest liczbą stopni swobody.

Obliczmy różniczkę zupełną funkcji H

dH = Xn

i=1



˙q_idp_i+p_idq˙_i − ∂L

∂q_idq_i− ∂L

∂q˙_idq˙_i



−∂L

∂tdt

= Xn

i=1



˙

q_idp_i − d dt

∂L

∂˙q_idq_i



−∂L

∂tdt=

Xn

i=1

( ˙q_idp_i −p˙_idq_i) −∂L

∂tdt, gdzie skorzystaliśmy z równań Lagrange’a II rodzajui z definicji

pędu uogólnionego.

Transformata Legendre’a funkcji Lagrange’a

Zdefiniujmyfunkcję Hamiltona H jako transformatę Legendre’a funkcji Lagrange’aL(q, ˙q, t)

H ≡ Xn

i=1

˙qip_i − L(q, ˙q, t), gdzie p_i = ∂L

∂˙qi

,

a n jest liczbą stopni swobody.

Obliczmy różniczkę zupełną funkcji H

dH = Xn

i=1



˙q_idp_i+p_idq˙_i − ∂L

∂q_idq_i− ∂L

∂q˙_idq˙_i



−∂L

∂tdt

= Xn

i=1



˙

q_idp_i − d dt

∂L

∂˙q_idq_i



−∂L

∂tdt=

Xn

i=1

( ˙q_idp_i −p˙_idq_i) −∂L

∂tdt, gdzie skorzystaliśmy z równań Lagrange’a II rodzaju i z definicji

pędu uogólnionego.

Wzór

dH = Xn

i=1

( ˙qidpi −p˙idqi) −∂L

∂tdt,

pokazuje, że funkcja Hamiltona jest funkcją 2n + 1 zmiennych q_i, p_i, t,a zatem jej różniczka zupełna ma postać:

dH(q, p, t) = Xn

i=1

∂H

∂q_idq_i +∂H

∂p_idp_i

 +∂H

∂tdt.

Równania Hamiltona

Wzór

dH = Xn

i=1

( ˙qidpi −p˙idqi) −∂L

∂tdt,

pokazuje, że funkcja Hamiltona jest funkcją 2n + 1 zmiennych q_i, p_i, t, a zatem jej różniczka zupełna ma postać:

dH(q, p, t) = Xn

i=1

∂H

∂q_idq_i +∂H

∂p_idp_i

 +∂H

∂tdt.

Dlawięzów holonomicznychwszystkie zmienne są niezależne, więc możemy porównać współczynniki przy niezależnych przyrostach dq_i, dpi i dt,

Wzór

dH = Xn

i=1

( ˙qidpi −p˙idqi) −∂L

∂tdt,

pokazuje, że funkcja Hamiltona jest funkcją 2n + 1 zmiennych q_i, p_i, t, a zatem jej różniczka zupełna ma postać:

dH(q, p, t) = Xn

i=1

∂H

∂q_idq_i +∂H

∂p_idp_i

 +∂H

∂tdt.

Dlawięzów holonomicznychwszystkie zmienne są niezależne, więc możemy porównać współczynniki przy niezależnych przyrostach dq_i, dpi i dt, co daje

˙ q_i = ∂H

∂p_i, p˙_i = −∂H

∂q_i, i = 1, . . . n i ∂H

∂t = −∂L

∂t.

Równania Hamiltona

Wzór

dH = Xn

i=1

( ˙qidpi −p˙idqi) −∂L

∂tdt,

pokazuje, że funkcja Hamiltona jest funkcją 2n + 1 zmiennych q_i, p_i, t, a zatem jej różniczka zupełna ma postać:

dH(q, p, t) = Xn

i=1

∂H

∂q_idq_i +∂H

∂p_idp_i

 +∂H

∂tdt.

Dlawięzów holonomicznychwszystkie zmienne są niezależne, więc możemy porównać współczynniki przy niezależnych przyrostach dq_i, dpi i dt, co daje

˙ q_i = ∂H

∂p_i, p˙_i = −∂H

∂q_i, i = 1, . . . n i ∂H

∂t = −∂L

∂t.

Układ 2n równań różniczkowych pierwszego rzędu

˙ q_i = ∂H

∂p_i, p˙_i = −∂H

∂q_i, i = 1, . . . n

nazywamyrównaniami Hamiltona,albo inaczejrównaniami kanonicznymi.

Funkcja Hamiltona dana jest wzorem

H(q, p, t) ≡ Xn

i=1

˙qip_i − L q,˙q, t
,

Równania Hamiltona

Układ 2n równań różniczkowych pierwszego rzędu

˙ q_i = ∂H

∂p_i, p˙_i = −∂H

∂q_i, i = 1, . . . n

nazywamyrównaniami Hamiltona,albo inaczejrównaniami kanonicznymi.

Funkcja Hamiltona dana jest wzorem

H(q, p, t) ≡ Xn

i=1

˙qip_i − L q,˙q, t
,

przy czym prędkości uogólnione ˙qi eliminujemy korzystając z układu równań definiującego pędy kanonicznie sprzężone

p_i = ∂L(q, ˙q, t)

∂q˙_i , i = 1, . . . , n ⇒ q˙_i = ˙q_i(q, p, t).

Układ 2n równań różniczkowych pierwszego rzędu

˙ q_i = ∂H

∂p_i, p˙_i = −∂H

∂q_i, i = 1, . . . n

nazywamyrównaniami Hamiltona,albo inaczejrównaniami kanonicznymi.

Funkcja Hamiltona dana jest wzorem

H(q, p, t) ≡ Xn

i=1

˙qip_i − L q,˙q, t
,

przy czym prędkości uogólnione ˙qi eliminujemy korzystając z układu równań definiującego pędy kanonicznie sprzężone

p_i = ∂L(q, ˙q, t)

∂q˙_i , i = 1, . . . , n ⇒ q˙_i = ˙q_i(q, p, t).

Równania Hamiltona

Jawne zależności od czasu funkcji Lagrange’a i funkcji Hamiltona wiążą się wzorem

∂H

∂t = −∂L

∂t. Zauważmy, że w równaniach kanonicznych

˙ qi = ∂H

∂p_i, p˙i = −∂H

∂q_i, i = 1, . . . n współrzędne uogólnione qi i odpowiadające im pędy pi,

Jawne zależności od czasu funkcji Lagrange’a i funkcji Hamiltona wiążą się wzorem

∂H

∂t = −∂L

∂t. Zauważmy, że w równaniach kanonicznych

˙ qi = ∂H

∂p_i, p˙i = −∂H

∂q_i, i = 1, . . . n współrzędne uogólnione qi i odpowiadające im pędy pi,z wyjątkiem różnicy znaku,

Równania Hamiltona

Jawne zależności od czasu funkcji Lagrange’a i funkcji Hamiltona wiążą się wzorem

∂H

∂t = −∂L

∂t. Zauważmy, że w równaniach kanonicznych

˙ qi = ∂H

∂p_i, p˙i = −∂H

∂q_i, i = 1, . . . n współrzędne uogólnione qi i odpowiadające im pędy pi,z wyjątkiem różnicy znaku,pełnią symetryczne role.

Jawne zależności od czasu funkcji Lagrange’a i funkcji Hamiltona wiążą się wzorem

∂H

∂t = −∂L

∂t. Zauważmy, że w równaniach kanonicznych

˙ qi = ∂H

∂p_i, p˙i = −∂H

∂q_i, i = 1, . . . n współrzędne uogólnione qi i odpowiadające im pędy pi,z wyjątkiem różnicy znaku,pełnią symetryczne role.

Właśnie to uzasadnia nazwępęd kanonicznie sprzężony.

Równania Hamiltona

Jawne zależności od czasu funkcji Lagrange’a i funkcji Hamiltona wiążą się wzorem

∂H

∂t = −∂L

∂t. Zauważmy, że w równaniach kanonicznych

˙ qi = ∂H

∂p_i, p˙i = −∂H

∂q_i, i = 1, . . . n współrzędne uogólnione qi i odpowiadające im pędy pi,z wyjątkiem różnicy znaku,pełnią symetryczne role.

Właśnie to uzasadnia nazwępęd kanonicznie sprzężony.

Równania kanoniczne są spełnione dla więzów holonomicznych.

Ich jednoznaczne rozwiązanie wymaga podania2nwarunków początkowych na współrzędne i pędy kanonicznie sprzężone

qi0= qi(0), pi0 = pi(0), i = 1, . . . , n.

Równania Hamiltona

Równania kanoniczne są spełnione dla więzów holonomicznych.

Ich jednoznaczne rozwiązanie wymaga podania2nwarunków początkowych na współrzędne i pędy kanonicznie sprzężone

qi0= qi(0), pi0 = pi(0), i = 1, . . . , n.

Równania Hamiltona, które tworzą układ2n równań różniczkowych pierwszego rzędu,

Równania kanoniczne są spełnione dla więzów holonomicznych.

Ich jednoznaczne rozwiązanie wymaga podania2nwarunków początkowych na współrzędne i pędy kanonicznie sprzężone

qi0= qi(0), pi0 = pi(0), i = 1, . . . , n.

Równania Hamiltona, które tworzą układ2n równań różniczkowych pierwszego rzędu,są równoważne równaniom Lagrange’a II-go rodzaju, które tworzą układn równań różniczkowych drugiego rzędu,

Równania Hamiltona

Równania kanoniczne są spełnione dla więzów holonomicznych.

Ich jednoznaczne rozwiązanie wymaga podania2nwarunków początkowych na współrzędne i pędy kanonicznie sprzężone

qi0= qi(0), pi0 = pi(0), i = 1, . . . , n.

Równania Hamiltona, które tworzą układ2n równań różniczkowych pierwszego rzędu,są równoważne równaniom Lagrange’a II-go rodzaju, które tworzą układn równań różniczkowych drugiego rzędu,tylko jeśli potrafimy wyeliminować prędkości uogólnione z funkcji Hamiltona

H= Xn

i=1

˙

qipi − L q,˙q, t

Równania kanoniczne są spełnione dla więzów holonomicznych.

Ich jednoznaczne rozwiązanie wymaga podania2nwarunków początkowych na współrzędne i pędy kanonicznie sprzężone

qi0= qi(0), pi0 = pi(0), i = 1, . . . , n.

Równania Hamiltona, które tworzą układ2n równań różniczkowych pierwszego rzędu,są równoważne równaniom Lagrange’a II-go rodzaju, które tworzą układn równań różniczkowych drugiego rzędu,tylko jeśli potrafimy wyeliminować prędkości uogólnione z funkcji Hamiltona

H= Xn

i=1

˙

qipi − L q,˙q, t

Równania Hamiltona

korzystając z równań p_i = ∂L(q, ˙q, t)

∂q˙_i , ⇒ q˙_i = ˙q_i(q, p, t), i = 1, . . . , n.

Paul Dirac po raz pierwszy wskazał, że rozwiązanie powyższego układu równań nie zawsze jest możliwe.

P.A.M. Dirac, Canadian Journal of Mathematics 2 (1950) 129.

korzystając z równań p_i = ∂L(q, ˙q, t)

∂q˙_i , ⇒ q˙_i = ˙q_i(q, p, t), i = 1, . . . , n.

Paul Dirac po raz pierwszy wskazał, że rozwiązanie powyższego układu równań nie zawsze jest możliwe.

P.A.M. Dirac, Canadian Journal of Mathematics 2 (1950) 129.

Przykład 1.Rozważmy układ fizyczny o dwóch stopniach swobody opisywany funkcją Lagrange’a

L= m

2 ( ˙q₁+ ˙q2)²− V(q1, q₂).

Równania Hamiltona

korzystając z równań p_i = ∂L(q, ˙q, t)

∂q˙_i , ⇒ q˙_i = ˙q_i(q, p, t), i = 1, . . . , n.

Paul Dirac po raz pierwszy wskazał, że rozwiązanie powyższego układu równań nie zawsze jest możliwe.

P.A.M. Dirac, Canadian Journal of Mathematics 2 (1950) 129.

Przykład 1.Rozważmy układ fizyczny o dwóch stopniach swobody opisywany funkcją Lagrange’a

L= m

2 ( ˙q₁+ ˙q2)²− V(q1, q₂).

Znajdźmy pędy kanonicznie sprzężone do współrzędnych q1 i q2







p₁ = _∂^∂L_q˙

1 = _∂^∂_q˙

1

hm

2 ( ˙q₁+ ˙q2)²− V(q1, q₂)ⁱ= m ( ˙q₁+ ˙q₂) p₂ = _∂^∂L_q˙

2 = _∂^∂_q˙

2

hm

2 ( ˙q₁+ ˙q2)²− V(q1, q₂)ⁱ= m ( ˙q₁+ ˙q₂) Widzimy, że oba pędy są równe,p1 = p2,a więc z powyższego układu równań nie da się jednoznacznie wyznaczyć prędkości uogólnionych ˙q₁ i ˙q₂.

Równania Hamiltona

Znajdźmy pędy kanonicznie sprzężone do współrzędnych q1 i q2







p₁ = _∂^∂L_q˙

1 = _∂^∂_q˙

1

hm

2 ( ˙q₁+ ˙q2)²− V(q1, q₂)ⁱ= m ( ˙q₁+ ˙q₂) p₂ = _∂^∂L_q˙

2 = _∂^∂_q˙

2

hm

2 ( ˙q₁+ ˙q2)²− V(q1, q₂)ⁱ= m ( ˙q₁+ ˙q₂) Widzimy, że oba pędy są równe,p1 = p2,a więc z powyższego układu równań nie da się jednoznacznie wyznaczyć prędkości uogólnionych ˙q₁ i ˙q₂.

Znajdźmy funkcję Hamiltona dla cząstki swobodnej poruszającej się w przestrzeni trójwymiarowej.

Funkcja Lagrange’a dana jest wzorem L= T = 1

2m ˙~r²,

Funkcja Hamiltona

Znajdźmy funkcję Hamiltona dla cząstki swobodnej poruszającej się w przestrzeni trójwymiarowej.

Funkcja Lagrange’a dana jest wzorem L= T = 1

2m ˙~r²,

a pęd kanonicznie sprzężony do wektora położenia ~r wyraża się wzorem

~ p= ∂L

∂ ˙~r = m ˙~r ⇒ ˙~r = p~ m.

Znajdźmy funkcję Hamiltona dla cząstki swobodnej poruszającej się w przestrzeni trójwymiarowej.

Funkcja Lagrange’a dana jest wzorem L= T = 1

2m ˙~r²,

a pęd kanonicznie sprzężony do wektora położenia ~r wyraża się wzorem

~ p= ∂L

∂ ˙~r = m ˙~r ⇒ ˙~r = p~ m. Funkcja Hamiltona jest równa

H = ˙~r · ~p − L= p~

m · ~p − 1 2m~p

m· ~p m = ~p²

2m.

Funkcja Hamiltona

Znajdźmy funkcję Hamiltona dla cząstki swobodnej poruszającej się w przestrzeni trójwymiarowej.

Funkcja Lagrange’a dana jest wzorem L= T = 1

2m ˙~r²,

a pęd kanonicznie sprzężony do wektora położenia ~r wyraża się wzorem

~ p= ∂L

∂ ˙~r = m ˙~r ⇒ ˙~r = p~ m. Funkcja Hamiltona jest równa

H = ˙~r · ~p − L= p~

m · ~p − 1 2m~p

m· ~p m = ~p²

2m.

Znajdźmy teraz funkcję Hamiltona dla cząstki naładowanej poruszającej się w polu elektromagnetycznym.

Funkcja Lagrange’a takiej cząstki dana jest wzorem L= T − V = 1

2m ˙~r²− q^ϕ − ~A · ˙~r^,

gdzie skorzystaliśmy ze wzoru na potencjał uogólniony siły Lorentza (patrz Wykład 4).

Funkcja Hamiltona

Znajdźmy teraz funkcję Hamiltona dla cząstki naładowanej poruszającej się w polu elektromagnetycznym.

Funkcja Lagrange’a takiej cząstki dana jest wzorem L= T − V = 1

2m ˙~r²− q^ϕ − ~A · ˙~r^,

gdzie skorzystaliśmy ze wzoru na potencjał uogólniony siły Lorentza (patrz Wykład 4).Przypomnijmy, że ϕ = ϕ (~r, t) jest potencjałem skalarnym, a ~A= ~A(~r, t) – potencjałem wektorowym pola elektromagnetycznego.

Znajdźmy teraz funkcję Hamiltona dla cząstki naładowanej poruszającej się w polu elektromagnetycznym.

Funkcja Lagrange’a takiej cząstki dana jest wzorem L= T − V = 1

2m ˙~r²− q^ϕ − ~A · ˙~r^,

gdzie skorzystaliśmy ze wzoru na potencjał uogólniony siły Lorentza (patrz Wykład 4). Przypomnijmy, że ϕ = ϕ (~r, t) jest potencjałem skalarnym, a ~A= ~A(~r, t) – potencjałem wektorowym pola elektromagnetycznego.

Pęd kanonicznie sprzężony wyraża się wzorem

~ p = ∂L

∂ ˙~r = m ˙~r + q ~A ⇒ ˙~r = 1 m

~p − q ~A^,

Funkcja Hamiltona

Znajdźmy teraz funkcję Hamiltona dla cząstki naładowanej poruszającej się w polu elektromagnetycznym.

Funkcja Lagrange’a takiej cząstki dana jest wzorem L= T − V = 1

2m ˙~r²− q^ϕ − ~A · ˙~r^,

gdzie skorzystaliśmy ze wzoru na potencjał uogólniony siły Lorentza (patrz Wykład 4). Przypomnijmy, że ϕ = ϕ (~r, t) jest potencjałem skalarnym, a ~A= ~A(~r, t) – potencjałem wektorowym pola elektromagnetycznego.

Pęd kanonicznie sprzężony wyraża się wzorem

~ p = ∂L

∂ ˙~r = m ˙~r + q ~A ⇒ ˙~r = 1 m

~p − q ~A^,

a funkcja Hamiltona jest równa

H = ˙~r~p − L = ˙~r ·^m ˙~r+ q ~A^−1

2m ˙~r²+ qϕ − q ~A · ˙~r

= 1

2m ˙~r²+ qϕ = 1 2m

1 m

~p − q ~A^

2

+ qϕ.

Porównując funkcje Hamiltona cząstki swobodnej i cząstki w polu elektromagnetycznym

H = p~²

2m i H= 1

2m

p − q ~~ A^2+ qϕ

Funkcja Hamiltona

a funkcja Hamiltona jest równa

H = ˙~r~p − L = ˙~r ·^m ˙~r+ q ~A^−1

2m ˙~r²+ qϕ − q ~A · ˙~r

= 1

2m ˙~r²+ qϕ = 1 2m

1 m

~p − q ~A^

2

+ qϕ.

Porównując funkcje Hamiltona cząstki swobodnej i cząstki w polu elektromagnetycznym

H = p~²

2m i H= 1

2m

p − q ~~ A^2+ qϕ

widzimy, że uwzględnienie oddziaływania z zewnętrznym polem polega na zamianie

~

p → ~p − q ~A

a funkcja Hamiltona jest równa

H = ˙~r~p − L = ˙~r ·^m ˙~r+ q ~A^−1

2m ˙~r²+ qϕ − q ~A · ˙~r

= 1

2m ˙~r²+ qϕ = 1 2m

1 m

~p − q ~A^

2

+ qϕ.

Porównując funkcje Hamiltona cząstki swobodnej i cząstki w polu elektromagnetycznym

H = p~²

2m i H= 1

2m

p − q ~~ A^2+ qϕ

widzimy, że uwzględnienie oddziaływania z zewnętrznym polem polega na zamianie

~

p → ~p − q ~A

Funkcja i równania Hamiltona

oraz dodaniu wyrazuqϕreprezentującego energię oddziaływania ładunku q z polem elektrycznym.

Jest to tak zwanareguła minimalnego sprzężeniacząstki naładowanej z zewnętrznym polem elektromagnetycznym.

oraz dodaniu wyrazuqϕreprezentującego energię oddziaływania ładunku q z polem elektrycznym.

Jest to tak zwanareguła minimalnego sprzężeniacząstki naładowanej z zewnętrznym polem elektromagnetycznym.

Jako przykład zastosowania tej reguły oraz równań Hamiltona rozważmy ruch cząstki naładowanej w stałym jednorodnym polu magnetycznym o indukcji ~B.

Funkcja i równania Hamiltona

oraz dodaniu wyrazuqϕreprezentującego energię oddziaływania ładunku q z polem elektrycznym.

Jest to tak zwanareguła minimalnego sprzężeniacząstki naładowanej z zewnętrznym polem elektromagnetycznym.

Jako przykład zastosowania tej reguły oraz równań Hamiltona rozważmy ruch cząstki naładowanej w stałym jednorodnym polu magnetycznym o indukcji ~B.

Przykład 2.Wybierzmy osie układu współrzędnych tak aby B~ = (0, 0, B), gdzie B = const. Ładunek elektryczny cząstki q przyjmujemy za dany, a natężenie pola elektrycznego ~E = 0.

oraz dodaniu wyrazuqϕreprezentującego energię oddziaływania ładunku q z polem elektrycznym.

Jest to tak zwanareguła minimalnego sprzężeniacząstki naładowanej z zewnętrznym polem elektromagnetycznym.

Jako przykład zastosowania tej reguły oraz równań Hamiltona rozważmy ruch cząstki naładowanej w stałym jednorodnym polu magnetycznym o indukcji ~B.

Przykład 2.Wybierzmy osie układu współrzędnych tak aby B~ = (0, 0, B), gdzie B = const. Ładunek elektryczny cząstki q przyjmujemy za dany, a natężenie pola elektrycznego ~E = 0.

Cząstka w stałym polu magnetycznym

Natężenie pola elektrycznego i indukcja magnetyczna wiążą się z potencjałami wzorami

E~(~r, t) = −~∇ϕ(~r, t) −∂ ~A(~r, t)

∂t , B~(~r, t) = ~∇ × ~A(~r, t) . Pole magnetyczne jest statyczne i jednorodne więc

B~ = ~∇ × ~A(~r) ,

Natężenie pola elektrycznego i indukcja magnetyczna wiążą się z potencjałami wzorami

E~(~r, t) = −~∇ϕ(~r, t) −∂ ~A(~r, t)

∂t , B~(~r, t) = ~∇ × ~A(~r, t) . Pole magnetyczne jest statyczne i jednorodne więc

B~ = ~∇ × ~A(~r) , a pole elektryczne ~E = 0, skąd

E~ = −~∇ϕ(~r, t) −∂ ~A(~r)

∂t = −~∇ϕ(~r, t) = 0 ⇔ ϕ(~r, t) = ϕ (t) .

Cząstka w stałym polu magnetycznym

Natężenie pola elektrycznego i indukcja magnetyczna wiążą się z potencjałami wzorami

E~(~r, t) = −~∇ϕ(~r, t) −∂ ~A(~r, t)

∂t , B~(~r, t) = ~∇ × ~A(~r, t) . Pole magnetyczne jest statyczne i jednorodne więc

B~ = ~∇ × ~A(~r) , a pole elektryczne ~E = 0, skąd

E~ = −~∇ϕ(~r, t) −∂ ~A(~r)

∂t = −~∇ϕ(~r, t) = 0 ⇔ ϕ(~r, t) = ϕ (t) . Przyjmijmy dla prostotyϕ= 0.

Natężenie pola elektrycznego i indukcja magnetyczna wiążą się z potencjałami wzorami

E~(~r, t) = −~∇ϕ(~r, t) −∂ ~A(~r, t)

∂t , B~(~r, t) = ~∇ × ~A(~r, t) . Pole magnetyczne jest statyczne i jednorodne więc

B~ = ~∇ × ~A(~r) , a pole elektryczne ~E = 0, skąd

E~ = −~∇ϕ(~r, t) −∂ ~A(~r)

∂t = −~∇ϕ(~r, t) = 0 ⇔ ϕ(~r, t) = ϕ (t) . Przyjmijmy dla prostotyϕ= 0.

Cząstka w stałym polu magnetycznym

Równanie

B~ = (0, 0, B) = ~∇ × ~A możemy rozpisać w składowych











∂Az

∂y − ^∂A_∂z^y = 0,

∂Ax

∂z −^∂A_∂x^z = 0,

∂Ay

∂x −^∂A_∂y^x = B.

Równanie

B~ = (0, 0, B) = ~∇ × ~A możemy rozpisać w składowych











∂Az

∂y − ^∂A_∂z^y = 0,

∂Ax

∂z −^∂A_∂x^z = 0,

∂Ay

∂x −^∂A_∂y^x = B.

Zauważmy, że funkcja:

A~= (0, xB, 0)

jest rozwiązaniem tego układu równań.

Cząstka w stałym polu magnetycznym

Równanie

B~ = (0, 0, B) = ~∇ × ~A możemy rozpisać w składowych











∂Az

∂y − ^∂A_∂z^y = 0,

∂Ax

∂z −^∂A_∂x^z = 0,

∂Ay

∂x −^∂A_∂y^x = B.

Zauważmy, że funkcja:

A~= (0, xB, 0)

jest rozwiązaniem tego układu równań.

Innym rozwiązaniem jest funkcja A~^′ = (−yB, 0, 0).

Równanie

B~ = (0, 0, B) = ~∇ × ~A możemy rozpisać w składowych











∂Az

∂y − ^∂A_∂z^y = 0,

∂Ax

∂z −^∂A_∂x^z = 0,

∂Ay

∂x −^∂A_∂y^x = B.

Zauważmy, że funkcja:

A~= (0, xB, 0)

jest rozwiązaniem tego układu równań.

Innym rozwiązaniem jest funkcja A~^′ = (−yB, 0, 0).

Istnienie więcej niż jednego rozwiązania wiąże się z

Cząstka w stałym polu magnetycznym

Równanie

B~ = (0, 0, B) = ~∇ × ~A możemy rozpisać w składowych











∂Az

∂y − ^∂A_∂z^y = 0,

∂Ax

∂z −^∂A_∂x^z = 0,

∂Ay

∂x −^∂A_∂y^x = B.

Zauważmy, że funkcja:

A~= (0, xB, 0)

jest rozwiązaniem tego układu równań.

Innym rozwiązaniem jest funkcja A~^′ = (−yB, 0, 0).

Istnienie więcej niż jednego rozwiązania wiąże się z

niezmienniczością cechowaniaelektrodynamiki, która polega na tym, że potencjały możemy przecechować nie zmieniając wektorów E~ i ~B.

Cząstka w stałym polu magnetycznym

niezmienniczością cechowaniaelektrodynamiki, która polega na tym, że potencjały możemy przecechować nie zmieniając wektorów E~ i ~B.W szczególności, rozważmy transformację cechowania

A →~ A~^′ = ~A+ ~∇λ(~r),

niezmienniczością cechowaniaelektrodynamiki, która polega na tym, że potencjały możemy przecechować nie zmieniając wektorów E~ i ~B. W szczególności, rozważmy transformację cechowania

A →~ A~^′ = ~A+ ~∇λ(~r),

przy której wektor indukcji przekształci się następująco B~^′ = ∇ × ~~ A^′

Cząstka w stałym polu magnetycznym

niezmienniczością cechowaniaelektrodynamiki, która polega na tym, że potencjały możemy przecechować nie zmieniając wektorów E~ i ~B. W szczególności, rozważmy transformację cechowania

A →~ A~^′ = ~A+ ~∇λ(~r),

przy której wektor indukcji przekształci się następująco B~^′ = ∇ × ~~ A^′ = ~∇ × ~A

| {z }

B~

+~∇ ×^∇λ~ ^

niezmienniczością cechowaniaelektrodynamiki, która polega na tym, że potencjały możemy przecechować nie zmieniając wektorów E~ i ~B. W szczególności, rozważmy transformację cechowania

A →~ A~^′ = ~A+ ~∇λ(~r),

przy której wektor indukcji przekształci się następująco B~^′ = ∇ × ~~ A^′ = ~∇ × ~A

| {z }

B~

+~∇ ×^∇λ~ ^ = ~B+ ˆeiε_ijk ∂

∂x_j

∇λ~ ^

k

Cząstka w stałym polu magnetycznym

niezmienniczością cechowaniaelektrodynamiki, która polega na tym, że potencjały możemy przecechować nie zmieniając wektorów E~ i ~B. W szczególności, rozważmy transformację cechowania

A →~ A~^′ = ~A+ ~∇λ(~r),

przy której wektor indukcji przekształci się następująco B~^′ = ∇ × ~~ A^′ = ~∇ × ~A

| {z }

B~

+~∇ ×^∇λ~ ^ = ~B+ ˆeiε_ijk ∂

∂x_j

∇λ~ ^

k

=

niezmienniczością cechowaniaelektrodynamiki, która polega na tym, że potencjały możemy przecechować nie zmieniając wektorów E~ i ~B. W szczególności, rozważmy transformację cechowania

A →~ A~^′ = ~A+ ~∇λ(~r),

przy której wektor indukcji przekształci się następująco B~^′ = ∇ × ~~ A^′ = ~∇ × ~A

| {z }

B~

+~∇ ×^∇λ~ ^ = ~B+ ˆeiε_ijk ∂

∂x_j

∇λ~ ^

k

= B~ + ˆe_iε_ijk ∂

∂x_j

∂λ

∂x_k



Cząstka w stałym polu magnetycznym

niezmienniczością cechowaniaelektrodynamiki, która polega na tym, że potencjały możemy przecechować nie zmieniając wektorów E~ i ~B. W szczególności, rozważmy transformację cechowania

A →~ A~^′ = ~A+ ~∇λ(~r),

przy której wektor indukcji przekształci się następująco B~^′ = ∇ × ~~ A^′ = ~∇ × ~A

| {z }

B~

+~∇ ×^∇λ~ ^ = ~B+ ˆeiε_ijk ∂

∂x_j

∇λ~ ^

k

= B~ + ˆe_iε_ijk ∂

∂x_j

∂λ

∂x_k



=B~ + ˆe_iε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k

niezmienniczością cechowaniaelektrodynamiki, która polega na tym, że potencjały możemy przecechować nie zmieniając wektorów E~ i ~B. W szczególności, rozważmy transformację cechowania

A →~ A~^′ = ~A+ ~∇λ(~r),

przy której wektor indukcji przekształci się następująco B~^′ = ∇ × ~~ A^′ = ~∇ × ~A

| {z }

B~

+~∇ ×^∇λ~ ^ = ~B+ ˆeiε_ijk ∂

∂x_j

∇λ~ ^

k

= B~ + ˆe_iε_ijk ∂

∂x_j

∂λ

∂x_k



=B~ + ˆe_iε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k =B,~

Cząstka w stałym polu magnetycznym

niezmienniczością cechowaniaelektrodynamiki, która polega na tym, że potencjały możemy przecechować nie zmieniając wektorów E~ i ~B. W szczególności, rozważmy transformację cechowania

A →~ A~^′ = ~A+ ~∇λ(~r),

przy której wektor indukcji przekształci się następująco B~^′ = ∇ × ~~ A^′ = ~∇ × ~A

| {z }

B~

+~∇ ×^∇λ~ ^ = ~B+ ˆeiε_ijk ∂

∂x_j

∇λ~ ^

k

= B~ + ˆe_iε_ijk ∂

∂x_j

∂λ

∂x_k



=B~ + ˆe_iε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k =B,~ gdzie drugi wyraz po lewej stronie ostatniej równości znika,

niezmienniczością cechowaniaelektrodynamiki, która polega na tym, że potencjały możemy przecechować nie zmieniając wektorów E~ i ~B. W szczególności, rozważmy transformację cechowania

A →~ A~^′ = ~A+ ~∇λ(~r),

przy której wektor indukcji przekształci się następująco B~^′ = ∇ × ~~ A^′ = ~∇ × ~A

| {z }

B~

+~∇ ×^∇λ~ ^ = ~B+ ˆeiε_ijk ∂

∂x_j

∇λ~ ^

k

= B~ + ˆe_iε_ijk ∂

∂x_j

∂λ

∂x_k



=B~ + ˆe_iε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k =B,~ gdzie drugi wyraz po lewej stronie ostatniej równości znika,

Cząstka w stałym polu magnetycznym

gdyż jest zwężeniem tensora antysymetrycznego εijk z tensorem symetrycznym _∂x^∂2λ

j∂xk.Rzeczywiście ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k = 1

2ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k +1

2ε_ikj ∂²λ

∂x_k∂x_j

= 1

2ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k −1

2ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k =0,

gdyż jest zwężeniem tensora antysymetrycznego εijk z tensorem symetrycznym _∂x^∂2λ

j∂xk. Rzeczywiście ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k = 1

2ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k +1

2ε_ikj ∂²λ

∂x_k∂x_j

= 1

2ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k −1

2ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k =0, gdzie w drugim wyrazie po prawej stronie pierwszej równości dokonaliśmy zamiany wskaźników sumacyjnych j ↔ k,

Cząstka w stałym polu magnetycznym

gdyż jest zwężeniem tensora antysymetrycznego εijk z tensorem symetrycznym _∂x^∂2λ

j∂xk. Rzeczywiście ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k = 1

2ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k +1

2ε_ikj ∂²λ

∂x_k∂x_j

= 1

2ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k −1

2ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k =0, gdzie w drugim wyrazie po prawej stronie pierwszej równości dokonaliśmy zamiany wskaźników sumacyjnych j ↔ k,a w ostatniej równości skorzystaliśmy z antysymetrii tensora εijk i przestawiliśmy pochodne, co jest możliwe, jeśli λ(~r) jest funkcją klasy C².

gdyż jest zwężeniem tensora antysymetrycznego εijk z tensorem symetrycznym _∂x^∂2λ

j∂xk. Rzeczywiście ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k = 1

2ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k +1

2ε_ikj ∂²λ

∂x_k∂x_j

= 1

2ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k −1

2ε_ijk ∂²λ

∂x_j∂x_k =0, gdzie w drugim wyrazie po prawej stronie pierwszej równości dokonaliśmy zamiany wskaźników sumacyjnych j ↔ k, a w ostatniej równości skorzystaliśmy z antysymetrii tensora εijk i przestawiliśmy pochodne, co jest możliwe, jeśli λ(~r) jest funkcją klasy C².

Cząstka w stałym polu magnetycznym

Wybierzmy pierwsze rozwiązanie A~ = (0, xB, 0)

i zmodyfikujmy odpowiednio funkcję Hamiltona cząstki swobodnej

H = ~p² 2m = 1

2m

p_x²+ p_y²+ p²_z^

Wybierzmy pierwsze rozwiązanie A~ = (0, xB, 0)

i zmodyfikujmy odpowiednio funkcję Hamiltona cząstki swobodnej

H = ~p² 2m = 1

2m

p_x²+ p_y²+ p²_z^

podstawiającp → ~~ p − q ~A= (px, p_y− qxB, p_z) H = 1

2m



p_x²+ p_z^2+ 1

2m(py − qxB)².

Cząstka w stałym polu magnetycznym

Wybierzmy pierwsze rozwiązanie A~ = (0, xB, 0)

i zmodyfikujmy odpowiednio funkcję Hamiltona cząstki swobodnej

H = ~p² 2m = 1

2m

p_x²+ p_y²+ p²_z^

podstawiającp → ~~ p − q ~A= (px, p_y− qxB, p_z) H = 1

2m



p_x²+ p_z^2+ 1

2m(py − qxB)².