Plan wykładu. Mnożenie wektorów

(1)

Wst ˛ep do mechaniki

dr in˙z. Ireneusz Owczarek

CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek

2012/13

1 dr in˙z. Ireneusz Owczarek Wst ˛ep do mechaniki

Plan wykładu

1 Zjawiska ruchu Algebra wektorów Kinematyka

2 Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki

Układy inercjalne i mechanika klasyczna Siła bezwładno´sci

II zasada dynamiki III zasada dynamiki

3 Praca i energia

Praca w polu sił zachowawczych Zachowanie energii

Zjawiska ruchu Algebra wektorów

Wektory

przedstawia si ˛e (na płaszczy´znie lub w przestrzeni) zazwyczaj w uj ˛eciu:

graficznym,

analitycznym, czyli w postaci układu liczb.

Ka˙zdy wektor mo˙zna przedstawi´c w postaci

Aþ= Axþi + Ayþj

Długo´s´c wektora þA: A=ð

A²x+ A²y.

Cx= Ax+ Bx

C = A + B

Mno˙zenie wektorów

Iloczyn skalarny

dwóch wektorów jest skalarem (liczb ˛a):

c= þA· þB=- -A^þ-

- - -B^þ-

-· cos φ = AxBx+ AyBy

gdzie φ jest k ˛atem pomi ˛edzy wektorami.

Przykłady zastosowania:

W = þF· þs = F · s · cos φ Ek=1

2m· þv · þv = 1 2m· v².

(2)

Mno˙zenie wektorów . . .

Iloczyn wektorowy

dwóch wektorów jest wektorem:

Cþ= þA× þB o zwrocie okre´slonym reguł ˛a ´sruby prawoskr ˛etnej oraz o długo´sci

C=- -C^þ-

-=- -A^þ-

- - -B^þ-

-· sin φ gdzie φ jest k ˛atem pomi ˛edzy wektorami.

Mþ = þr × þF , FþL= q · þv × þB.

Mno˙zenie wektorów . . .

Iloczyn wektora przez liczb ˛e jest wektorem

Cþ= þA· b o długo´sci

C=- -C^þ-

-=- -A^þ-

-· b

i zwrocie zgodnym ze zwrotem wektora þA, gdy b jest dodatnie oraz zwrocie przeciwnym dla b ujemnego.

Ponadto, je˙zeli b >1 to długo´s´c wektora þCjest wi ˛eksza ni˙z wektora þA.

Fþ = m · þa þ p= m · þv

Zjawiska ruchu Kinematyka

Układ odniesienia

to ciało lub zbiór ciał wzgl ˛edem, których opisuje si ˛e ruch innego ciała.

Torem ruchu ciał nazywa si ˛e krzyw ˛a utworzon ˛a przez punkty okre´slaj ˛ace kolejne poło˙zenia ciał w przestrzeni.

Gdy tor jest lini ˛a prost ˛a to ciało porusza si ˛eruchem prostoliniowym, gdy lini ˛a krzyw ˛a – ruch jestruchem krzywoliniowym.

Opis ruchu

Droga jest to długo´s´c toru zakre´slonego podczas ruchu.

Wektor poło˙zenia

þr(t) = x(t) ·þi + y(t) · þj + z(t) · þk gdzie þi,þj, þk s ˛a wersorami odpowiednio osi x, y i z.

(3)

Pr ˛edko´s´c

Pr ˛edko ´s ´c ´srednia þvsr=∆þr(t)

∆t =

=∆x

∆tþi +∆y

∆tþj +∆z

∆tþk

Pr ˛edko ´s ´c chwilowa þvch= lim

∆t→0

∆þr(t)

∆t = dþr dt =

= dx dtþi +dy

dtþj +dz dtþk

Interpretacj ˛a geometryczn ˛a pr ˛edko´sci

´sredniej jest sieczna.

Wektor pr ˛edko´sci chwilowej ciała jest styczny do toru, po którym to ciało si ˛e porusza. Wi ˛ecej ...

Pr ˛edko´s´c i przyspieszenie

Składowe pr ˛edko´sci chwilowej vx=dx(t)

dt , vy= dy(t)

dt , vz =dz(t) dt . Warto´s´c wektora pr ˛edko´sci

v=ð

v²x+ vy²+ v²z.

Przyspieszenie chwilowe þach= lim

∆t→0

∆þv(t)

∆t =dþv dt = dvx

dtþi +dvy

dtþj +dvz

dt þk

Wektor przyspieszenia chwilowego jest styczny do toru tylko w ruchu prostoliniowy m.

Zasady dynamiki Newtona I zasada dynamiki

Zasada bezwładno´sci

Oddziaływanie mi ˛edzy ciałami ilo´sciowo opisuje Siła

to wielko´s´c wektorowa stanowi ˛aca miar ˛e oddziaływa ´n pomi ˛edzy ciałami, które powoduj ˛a zmiany kształtu lub stanu ruchu.

Jednostk ˛a siły w układzie SI jest niuton 1N =1kg · m

s² .

Pierwsza zasada dynamiki

Ka˙zde ciało pozostaje w spoczynku lub w ruchu prostoliniowym jednostajnym wzgl ˛edem spoczywaj ˛acego lub poruszaj ˛acego si ˛e ruchem jednostajnym prostoliniowym układu odniesienia, dopóki działanie innych ciał nie zmusi je do zmiany tego stanu.

Siła jest przyczyn ˛a zmian ruchu, a nie jest przyczyn ˛a samego ruchu, tzn.

ciało mo˙ze si ˛e porusza´c nawet, gdy nie działaj ˛a na nie ˙zadne siły (bezwładno´s´c).

Zasada bezwładno´sci . . .

Zasada bezwładno´sci

Ka˙zde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego i jednostajnego je˙zeli siły przyło˙zone nie zmuszaj ˛a ciała do zmiany tego stanu.

Zasada bezwładno´sci lub pierwsza zasada dynamiki le˙zy u podstaw statyki punktu materialnego,

n

Ø

i

Fþi= 0.

Wnioski

Wszystkie ciała maj ˛a własno´s´c bezwładno´sci.

Istniej ˛a inercjalne układy odniesienia.

(4)

Układ inercjalne i nieinercjalne

Newton zakładał istnienie "absolutnego" układu odniesienia.

Układ inercjalny

to układ, w którym obowi ˛azuj ˛a zasady dynamiki Newtona.

lub Je˙zeli na ciało nie działaj ˛a siły zewn ˛etrzne to Układ inercjalny

to taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza si ˛e ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Ka˙zdy układ poruszaj ˛acy si ˛e wzgl ˛edem układu inercjalnego ze stał ˛a co do warto´sci i kierunku pr ˛edko´sci ˛a jest te˙z układem inercjalnym.

Jaki układ mo˙zna uzna´c za inercjalny ? Heliocentryczny układ odniesienia.

Laboratoryjny układ odniesienia.

Układ inercjalne i nieinercjalne . . .

W układach inercjalnych

Fþwyp=

n

Ø

i

Fþi.

Fþbezw= 0.

Czy Ziemia jest układem inercjalnym ? Warto´sci przyspieszenia normalnego:

ruch obrotowy wokół własnej osi (obrót dobowy) –0, 034_s^m₂, ruch obrotowy wokół Sło ´nca – 0, 0044^m_s₂.

małe w porównaniu z g≈ 9, 81_s^m₂.

Ziemia mo˙ze z dobrym przybli˙zeniem by´c traktowana jako układ inercjalny.

Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i mechanika klasyczna

Poj ˛ecia wzgl ˛edne i absolutne

Zasada wzgl ˛edno´sci (Galileusza)

prawa fizyki w dwóch inercjalnych układach odniesienia s ˛a takie same.

Poj ˛ecia wzgl ˛edne, np. ruch, pr ˛edko´s´c, tor ruchu.

Przekształcenie współrz ˛ednych

Niezale˙zny postulat mechaniki klasycznej Czas i długo´s´c s ˛a wielko´sciami absolutnymi.

Z tych zało˙ze ´n wynika Transformacja Galileusza

Je˙zeli osie X i X^′układów inercjalnych poruszaj ˛a si ˛e ze wzgl ˛edn ˛a pr ˛edko´sci ˛a v zgodnie z osi ˛a X, to

x= x^′+ vt, y= y^′, z= z^′, t= t^′.

Klasyczne prawo składania szybko´sci u= |u^′± v|.

(5)

Pr ˛edko´s´c i p ˛ed

Prawo zachowania p ˛edu w układzie S m1uþ1+ m2uþ2= const.

Pr ˛edko´sci w układzie S þ

u1= þv + þu^′₁, þ

u2= þv + þu^′₂, wobec tego

m1(þv + þu^′₁) + m2(þv + þu^′₂) = const.

oraz

m1þv+m1uþ^′1+m2þv+m2uþ^′2= const. i (m1+m2)þv = const.

Prawo zachowania p ˛edu pozostaje niezmiennicze we wszystkich układach inercjalnych

m1uþ^′1+ m2uþ^′2= const.

Przyspieszenie

Dodawanie pr ˛edko´sci w transformacji Galileusza þ

u= þu^′+ þv.

Po obliczeniu pochodnych:

dþu dt =d þu^′

dt +dþv dt. Poniewa˙z układ porusza si ˛e ze stała pr ˛edko´sci ˛a

dþv dt = 0 to

Przyspieszenie

jest niezmiennicze w transformacji Galileusza þa= þa^′.

Zasady dynamiki Newtona Siła bezwładno ´sci

Układy nieinercjalne

Siła bezwładno´sci

Fþbezwjest sił ˛a pozorn ˛a, gdy˙z nie wynika ona z ˙zadnego oddziaływania mi ˛edzy ciałami.

Układ nieinercjalny

porusza si ˛e ze stałym przyspieszeniem wzgl ˛edem układu inercjalnego.

W układach nieinercjalnych

Fþwyp= þFbezw+

n

Ø

i

Fþi

Fþbezw= −m · þaukÓ= 0

Układy nieinercjalne . . .

Przykłady:

siła bezwładno´sci podczas ruszania pojazdu, siła bezwładno´sci podczas hamowania pojazdu, siła Coriolisa,

siła od´srodkowa.

Fþn= mþg + þw= mþg + mþa a) jazda do góry

Fn= mg + ma = m(g + a) b) jazda do dołu

Fn= mg − ma = m(g − a)

(6)

Stan niewa˙zko´sci ciał

Wypadkowa siła działaj ˛aca na ciało znajduj ˛ace si ˛e w swobodnie spadaj ˛acej windzie, w polu grawitacyjnym, jest równa zeru.

Układ nieinercjalny obracaj ˛ acy si ˛e

Ziemia obracaj ˛aca si ˛e wokół własnej osi jest nieinercjalnym układem odniesienia.

Promie ´n krzywizny ruchu po okr ˛egu okre´slony jest przez szeroko´s´c geograficzn ˛a φ:

Fodsi = mω²RZ· cos φ.

Siła od´srodkowa powoduje zmian ˛e efektywnego przyspieszenia ziemskiego

∆g ≈ −0, 033 · cos φ m s².

Efekt jest wi ˛ekszy od oczekiwanego ze wzgl ˛edu na spłaszczenie Ziemi.

Układ nieinercjalny obracaj ˛ acy si ˛e . . .

W układzie nieinercjalnym obracaj ˛acym si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a k ˛atow ˛a ω wyst ˛epuje siła pozorna składaj ˛aca si ˛e z dwóch cz ˛e´sci: siły od´srodkowej i siły Coriolisa

Fþods= mþω× (þr × þω), FþCorr= 2mþv × þω.

Siła Coriolisa pojawia si ˛e tylko wtedy, gdy ciało ma niezerow ˛a pr ˛edko´s´c w układzie nieinercjalnym i jest prostopadła do pr ˛edko´sci ciała

(obserwowanej w układzie nieinercjalnym).

mþa= þF− mþω× (þr × þω) − 2mþv × þω.

Układ nieinercjalny obracaj ˛ acy si ˛e . . .

Siła Coriolisa powoduje nast ˛epuj ˛ace efekty:

na półkuli północnej wiatr skr ˛eca w prawo, a na południowej – w lewo;

na półkuli północnej mocniej podmywane s ˛a prawe brzegi rzek (na południowej – lewe);

na półkuli północnej wiry wodne oraz cyklony poruszaj ˛a si ˛e odwrotnie do ruchu wskazówek zegara, a na południowej zgodnie z ruchem

wskazówek zegara.

(7)

Układ nieinercjalny obracaj ˛ acy si ˛e . . .

Na półkuli północnej siła Coriolisa odchyla tor ciała w kierunku wschodnim.

Spadek z5, 5km zajmie t = 100s, a ko ´ncowe odchylenie toru od pionu:

∆l = aCt²

2 ≈ 40 · cos φ m, dla Łodzi około25m.

start wahadła z maksymalnego wychylenia

Dla obserwatora na Ziemi płaszczyzna ruchu wahadła Foucault’a obraca si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a k ˛atow ˛a

ω1= ω · sin φ, dla Łodzi φ= 52^o

ω1≈ 12

o

h.

Pełny obrót płaszczyzny drga ´n:32h.

M = 28kg, l = 67m, T = 16, 4s.

Zasady dynamiki Newtona II zasada dynamiki

Zasady dynamiki

Masa jest miar ˛a bezwładno ´sci ciała w ruchu post ˛epowym.

Je˙zeli dwa ciała pod wpływem tej samej siły doznaj ˛a przyspiesze ´n, to iloraz mas tych ciał jest odwrotnie proporcjonalny do ich przyspiesze ´n

m1

m2

=a2

a1

.

Zasady dynamiki . . .

Druga zasada dynamiki

Ciało, na które działa siła niezrównowa˙zona, porusza si ˛e ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do warto´sci tej siły, skierowanym i zwróconym tak samo, jak działaj ˛aca na ciało siła:

þa= Fþ m. lub w innej postaci:

Fþ = mdþv dt = d

dt(mþv)

P˛ed ciała

to wielko´s´c wektorowa równa iloczynowi masy ciała i jego pr ˛edko´sci.

F dtþ = d(mþv) = dþp

Zasady dynamiki . . .

Druga zasada dynamiki

Przyrost p ˛edu ciała jest równy pop ˛edowi siły działaj ˛acej na to ciało.

mdþv= þF dt.

W przypadku ruchu bezwładnego, tj. gdy þF = 0, p ˛ed ciała jest stały d

dt(mþv) = þF dt= 0 czyli

mþv= const.

(8)

Zasady dynamiki Newtona III zasada dynamiki

Zasady dynamiki . . .

Trzecia zasada dynamiki

Gdy ciało A działa na ciało B sił ˛a þFABwtedy ciało B działa jednocze´snie na ciało A sił ˛a þFBArówn ˛a co do warto´sci, równoległ ˛a i przeciwnie zwrócon ˛a do siły þFAB:

FþAB= − þFBA.

Siły zawsze wyst ˛epuj ˛a parami, czyli nie mo˙zna mówi´c o pojedynczej wyizolowanej sile.

Układ ciał nazywamy odosobnionym albo zamkni ˛etym

je˙zeli dla ka˙zdego ciała tego układu wszystkie siły, działaj ˛ace na nie, pochodz ˛ace od ciał zewn ˛etrznych równowa˙z ˛a si ˛e.

W układzie odosobnionym uwzgl ˛ednia si ˛e tylko siły wzajemnego oddziaływania mi ˛edzy ciałami układu, zwane siłami wewn ˛etrznymi.

P˛ed układu ciał

Zgodnie z trzeci ˛a zasad ˛a dynamiki dþp dt = d

dt Ø

i

miþvi

albo

þ p=Ø

i

miþvi= const.

Zasada zachowania p ˛edu

Wektor p ˛edu zamkni ˛etego układu ciał nie zmienia si ˛e z upływem czasu.

lub

Zasada zachowania p ˛edu

W inercjalnym układzie odniesienia p ˛ed całkowity układu ciał, na który nie działaj ˛a siły zewn ˛etrzne lub suma sił zewn ˛etrznych jest równa zero, jest stałym wektorem, niezale˙znym od zjawisk, zachodz ˛acych wewn ˛atrz układu.

P˛ed układu ciał . . .

Klasyczne i podstawowe zało˙zenie – siły zewn ˛etrzne s ˛a zaniedbywane:

1 działaj ˛a krótko,

2 znacznie mniejsze od sił wewn ˛etrznych.

Przykłady:

zderzenia spr ˛e˙zyste i niespr ˛e˙zyste, opis eksplozji,

rozpad promieniotwórczy, reakcje j ˛adrowe, emisja i absorpcja ´swiatła, nap ˛ed odrzutowy (rakietowy).

Praca i energia Praca w polu sił zachowawczych

Praca

Proces zmiany energii ciała spowodowany działaniem siły nazywamy procesem wykonania pracy, a przyrost energii ciała w tym procesie nazywamy prac ˛a, któr ˛a ta siła wykonała.

Praca elementarna dW wykonana przez sił ˛e þFdla małego przesuni ˛ecia dþr dW = þF· dþr

lub

dW = F cos Θ · ∆x

Je˙zeli k ˛at Θ <90^◦, sił ˛e nazywamy sił ˛a nap ˛edow ˛a.

Je˙zeli k ˛at Θ >90^◦, to þF jest sił ˛a oporu.

(9)

Praca . . .

Jednostk ˛a pracy w układzie SI jest J (1J= 1N·1m).

Cz ˛esto u˙zywa si ˛e jednostki eV (elektronowolt) (1eV = 1, 6 · 10⁻¹⁹J).

W = Ú

F dx

Praca wykonana w jednostce czasu to moc P =dW

dt = F dþþ r dt = þF þv.

Wi ˛ecej ...

Siły zachowawcze

Siła jest zachowawcza

je˙zeli praca wykonana przez t ˛e sił ˛e nad punktem materialnym, który porusza si ˛e po dowolnej drodze zamkni ˛etej jest równa zeru.

(WAB)1+ (WBA)2= 0 (WAB)2= −(WBA)2

(WAB)1= (WAB)2

Praca siły zachowawczej

nie zale˙zy od drogi, a tylko od poło˙zenia punktu pocz ˛atkowego i ko ´ncowego.

Siłami zachowawczymi s ˛a np. siła grawitacji, siła powoduj ˛aca ruch harmoniczny, siła elektrostatyczna.

Siła dysypatywna (rozpraszaj ˛aca)

gdy praca siły po drodze zamkni ˛etej nie równa si ˛e zeru.

Praca i energia Zachowanie energii

Energia potencjalna

Je´sli praca dotyczy sił zachowawczych, wówczas jej wykonanie powoduje zmian ˛e energii.

Energia potencjalna

ciała w danym punkcie (wzgl ˛edem okre´slonego punktu odniesienia) równa jest pracy jak ˛a wykonuj ˛a siły zachowawcze przy przemieszczeniu ciała z danego punktu do punktu odniesienia.

Zwi ˛azek pracy na odcinku AB z energi ˛a potencjaln ˛a w punktach A i B:

WAB= EpA− EpB= −(EpB− EpA) = −∆Ep

lub

dW = −dEp= F · dx.

Ogólnie

WAB=

B

Ú

A

Fþ· dþr

Energia kinetyczna

Praca wykonana przez sił ˛e działaj ˛ac ˛a na ciało równa jest zmianie jego energii kinetycznej.

WAB= mv_B² 2 − mv_A²

2 = EkB− EkA.

Energia kinetyczna

to energia ciała zwi ˛azana z jego ruchem Ek= mv²

2

Dlaczego energia kinetyczna ro´snie bardziej ze wzrostem pr ˛edko´sci ni˙z masy?

(10)

Prawo zachowania energii

Praca siły zachowawczej przy przesuni ˛eciu z punktu A do B:

WAB= EpA− EpB= EkB− EkA

⇓

EpA+ EkA = EpB+ EkB

⇓ Ep+ Ek= const.

Zasada zachowania energii mechanicznej

Całkowita energia mechaniczna ciała, na które działaj ˛a tylko siły zachowawcze, jeststała.

−∆Ep= ∆Ek

Prawo zachowania energii . . .

Ogólna zasada zachowania energii

Energia całkowita układu odosobnionego jest stała.

Układ odosobniony to taki układ, który nie wymienia energii z otoczeniem.

Zasada zachowania energii całkowitej

Energia mo˙ze by´c przekształcona z jednej formy w inn ˛a, ale nie mo˙ze by´c wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielko´sci ˛a stał ˛a.

lub

Zasada zachowania energii całkowitej

Całkowita energia izolowanego układu jest taka sama przed, jak i po wyst ˛apieniu przemian w tym układzie.

Prawo zachowania energii . . .

Literatura

Halliday D., Resnick R, Walker J.

Podstawy Fizyki t. 1-5.

PWN, 2005.

Praca zbiorowa pod red. A. Justa

Wst ˛ep do analizy matematycznej i wybranych zagadnie ´n z fizyki.

Wydawnictwo PŁ, Łód´z 2007.

Jaworski B., Dietłaf A.

Kurs Fizyki t. 1-3.

PWN, 1984.

Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ http://cmf.p.lodz.pl/efizyka

e-Fizyka. Podstawy fizyki.

K ˛akol Z. ˙Zukrowski J.

http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki.