zadania z informatora 2010

VII. ZBIÓR PRZYK ADOWYCH ZADA

MATURALNYCH

ZADANIA ZAMKNI TE Zadanie 1. (1 pkt)

Liczba 330 9 jest równa 90

A. 3210 B. 3300 C. 9120 D. 272700 Zadanie 2. (1 pkt) Liczba 8 3 2 3 3 9 jest równa A. 3 3 B. 32 9 3 C. 3 4 D. 3 5 Zadanie 3. (1 pkt) Liczba log 24 jest równa

A. 2log 2 log 20 B. log6 2log2 C. 2log 6 log12 D. log 30 log 6

Zadanie 4. (1 pkt)

Liczba 30 to p% liczby 80, zatem

A. p 40 B. p 40 C. p 42,5 D. p 42,5

Zadanie 5. (1 pkt)

4% liczby x jest równe 6, zatem

A. x 150 B. x 150 C. x 240 D. x 240

Zadanie 6. (1 pkt)

Liczba y to 120% liczby .x Wynika st d, e

A. y x 0, 2 B. y x 0, 2x C. x y 0, 2 D. x y 0, 2y

Zadanie 7. (1 pkt)

Rozwi zaniem równania 3 1

2 2 x x jest liczba A. 4 3 B. 3 4 C. 3 8 D. 8 3

Zadanie 8. (1 pkt)

Mniejsz z dwóch liczb spe niaj cych równanie x2 5x 6 0 jest

A. 6 B. 3 C. 2 D. 1

Zadanie 9. (1 pkt)

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f x 2 m x 1. Wynika st d, e

A. m 0 B. m 1 C. m 2 D. m 3

Zadanie 10. (1 pkt)

Funkcja f jest okre lona wzorem ( ) 3 4 dla 1 2 1 dla 1

x x

f x

x x . Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Zadanie 11. (1 pkt)

Rysunek przedstawia wykres funkcji y f x .

Wska rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji y f x 1 .

A. B. C. D. 0 1 1 x y x f y 0 1 1 x y 0 1 1 x y 1 y 1 y

–1 0 5 x –3 0 3 x 5 1 x 0 5 0 1 x Zadanie 12. (1 pkt)

Który z zaznaczonych przedzia ów jest zbiorem rozwi za nierówno ci | 2 x| 3? A.

B.

C.

D.

Zadanie 13. (1 pkt)

Wska równanie osi symetrii paraboli okre lonej równaniem y x2 4x 11.

A. x 4 B. x 2 C. x 2 D. x 4

Zadanie 14. (1 pkt)

Wska funkcj kwadratow , której zbiorem warto ci jest przedzia , . 3 A. f x( ) x 2 2 3

B. f x( ) 2 x 2 3 C. f x( ) x 2 2 3 D. f x( ) 2 x 2 3

Zadanie 15. (1 pkt)

Zbiorem rozwi za nierówno ci x2 5 jest

A. , 5 5, B. , 5 5, C. 5, D. 5,

Zadanie 16. (1 pkt)

Wykres funkcji kwadratowej f x( ) 3 x 1 2 4 nie ma punktów wspólnych z prost o równaniu

Zadanie 17. (1 pkt)

Prosta o równaniu y a ma dok adnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej

2

( ) 6 10.

f x x x Wynika st d, e

A. a 3 B. a 0 C. a 1 D. a 3

Zadanie 18. (1 pkt)

Jaka jest najmniejsza warto funkcji kwadratowej f x( ) x2 4x 3 w przedziale 0,3 ?

A. 7 B. 4 C. 3 D. 2

Zadanie 19. (1 pkt)

Dane s wielomiany W x( ) 3x3 2 , ( ) 2x V x x2 3 .x Stopie wielomianu W x V x jest ( ) ( ) równy

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

Zadanie 20. (1 pkt)

Ile rozwi za rzeczywistych ma równanie 5x4 13 0?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Zadanie 21. (1 pkt)

Wska liczb rozwi za równania 11₂ 0 11

x

x .

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Zadanie 22. (1 pkt)

Wska równanie prostej równoleg ej do prostej o równaniu y 2x 7.

A. y 2x 7 B. 1 5 2 y x C. 1 2 2 y x D. y 2x 1 Zadanie 23. (1 pkt)

Które z równa opisuje prost prostopad do prostej o równaniu y 4x 5?

A. y 4x 3 B. 1 3 4 y x C. 1 3 4 y x D. y 4x 3 Zadanie 24. (1 pkt)

Punkty A 1,3 i C 7,9 s przeciwleg ymi wierzcho kami prostok ta ABCD. Promie okr gu opisanego na tym prostok cie jest równy

Zadanie 25. (1 pkt)

Liczba punktów wspólnych okr gu o równaniu x 3 2 y 12 4 z osiami uk adu wspó rz dnych jest równa

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

Zadanie 26. (1 pkt)

rodek S okr gu o równaniu x2 y2 4x 6y 221 0 ma wspó rz dne

A. S ( 2,3) B. S (2, 3) C. S ( 4,6) D. S (4, 6)

Zadanie 27. (1 pkt)

Dane s d ugo ci boków BC 5 i AC 3 trójk ta prostok tnego ABC o k cie ostrym (zobacz rysunek). Wtedy

A. sin 3 5 B. 4 sin 5 C. 3 34 sin 34 D. 5 34 sin 34 Zadanie 28. (1 pkt) K t jest ostry i sin 1

4. Wówczas A. cos 3 4 B. 3 cos 4 C. 13 cos 4 D. 13 cos 4 Zadanie 29. (1 pkt)

K t jest k tem ostrym i tg 1

2. Jaki warunek spe nia k t ?

A. 30 B. 30 C. 60 D. 60

.

A B

S

A

B Zadanie 30. (1 pkt)

K t mi dzy ci ciw AB a styczn do okr gu w punkcie A (zobacz rysunek) ma miar 62 . Wówczas

A. 118 B. 124 C. 138 D. 152

Zadanie 31. (1 pkt)

K t rodkowy i k t wpisany s oparte na tym samym uku. Suma ich miar jest równa180 . Jaka jest miara k ta rodkowego?

A. 60 B. 90 C. 120 D. 135

Zadanie 32. (1 pkt)

Ró nica miar k tów wewn trznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równoleg obokiem, jest równa 40 . Miara k ta przy krótszej podstawie tego trapezu jest równa

A. 120 B. 110 C. 80 D. 70

Zadanie 33. (1 pkt)

Odcinki BC i DE s równoleg e. D ugo ci odcinków AC, CE i BC s podane na rysunku. D ugo odcinka DE jest równa

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 A B C D E 4 ₆ 4

Zadanie 34. (1 pkt)

Pole kwadratu wpisanego w okr g o promieniu 4 cm jest równe

A. 64 cm2 B. 32 cm2 C. 16 cm2 D. 8 cm2

Zadanie 35. (1 pkt)

Ci g a jest okre lony wzorem _n a_n 3 n 9 n2 dla n 1. Wynika st d, e

A. a₃ 81 B. a₃ 27 C. a₃ 0 D. a₃ 0

Zadanie 36. (1 pkt)

Liczby x 1, 4 i 8 (w podanej kolejno ci) s pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ci gu arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa

A. 3 B. 1 C. 1 D. 7

Zadanie 37. (1 pkt)

Liczby 8 , 4 i x 1 (w podanej kolejno ci) s pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ci gu geometrycznego. Wówczas liczba x jest równa

A. 3 B. 1 ,5 C. 1 D. 15

Zadanie 38. (1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które s podzielne przez 6 lub przez 10, jest

A. 25 B. 24 C. 21 D. 20

Zadanie 39. (1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry s mniejsze od 5 jest

A. 16 B. 20 C. 25 D. 30

Zadanie 40. (1 pkt)

Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mog usi na dwóch spo ród pi ciu miejsc w kinie, jest równa

A. 25 B. 20 C. 15 D. 12

Zadanie 41. (1 pkt)

Mediana danych: 0, 1, 1, 2, 3, 1 jest równa

A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5

Zadanie 42. (1 pkt)

Mediana danych przedstawionych w tabeli liczebno ci jest równa warto 0 1 2 3 liczebno 5 2 1 1

Zadanie 43. (1 pkt)

rednia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie cz sto ci jest równa

A. 1 B. 1,2 C. 1,5 D. 1,8

Zadanie 44. (1 pkt)

Ze zbioru liczb {1, 2,3, 4,5,6,7,8} wybieramy losowo jedn liczb . Liczba p oznacza prawdopodobie stwo otrzymania liczby podzielnej przez 3. Wtedy

A. p 0, 25 B. p 0, 25 C. 1 3 p D. 1 3 p Zadanie 45. (1 pkt)

O zdarzeniach losowych A i B s zawartych w wiadomo, e B A , P A( ) 0,7 i ( ) 0,3P B . Wtedy

A. P A B( ) 1 B. P A B( ) 0,7 C. P A B( ) 0, 4 D. P A B( ) 0,3

Zadanie 46. (1 pkt)

Przek tna sze cianu ma d ugo 3. Pole powierzchni ca kowitej tego sze cianu jest równe

A. 54 B. 36 C. 18 D. 12

Zadanie 47. (1 pkt)

Pole powierzchni ca kowitej sze cianu jest równe 24 cm2. Obj to tego sze cianu jest równa

A. 8 cm3 _{B. 16 cm}3 _{C. 27 cm}3 _{D. 64 cm}3 3 cz sto w % 0 1 2 3 10 warto 20 30 40 0

Zadanie 48. (1 pkt)

Przek tna prostopad o cianu o wymiarach 2 × 3 × 5 ma d ugo

A. 13 B. 29 C. 34 D. 38

Zadanie 49. (1 pkt)

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku d ugo ci 6. Obj to tego walca jest równa

A. 18 B. 54 C. 108 D. 216

Zadanie 50. (1 pkt)

Przekrój osiowy sto ka jest trójk tem równobocznym o boku d ugo ci 6. Pole powierzchni bocznej tego sto ka jest równe

A. 12 B. 18 C. 27 D. 36 2 3 5 6 6

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. (2 pkt) Rozwi równanie 2 3 1 1 2 2 x x . Zadanie 52. (2 pkt) Rozwi uk ad równa 3 5 2 3 x y x y . Zadanie 53. (2 pkt) Rozwi nierówno _x2 6_x 7 0_. Zadanie 54. (2 pkt) Rozwi równanie 2_x3 _x2 6_x 3 0_. Zadanie 55. (2 pkt)

O funkcji liniowej f wiadomo, e (1) 2f oraz, e do wykresu tej funkcji nale y punkt 3

, 2

P . Wyznacz wzór funkcji f. Zadanie 56. (2 pkt)

Oblicz miejsca zerowe funkcji

( ) 2 1 dla 0 2 dla 0 x x f x x x . Zadanie 57. (2 pkt) Naszkicuj wykres funkcji

( ) 2 1 dla 0 2 dla 0 x x f x x x . Zadanie 58. (2 pkt)

Oblicz najmniejsz warto funkcji kwadratowej f x( ) x2 6x 1 w przedziale 0,1 . Zadanie 59. (2 pkt)

Wielomiany _{W x ax x b} 2 _{i V x x}3 _2x2 _{x s równe. Oblicz i .a b} Zadanie 60. (2 pkt)

Wyra enie 3

3 1

x

x x zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów. Zadanie 61. (2 pkt)

Napisz równanie prostej równoleg ej do prostej o równaniu 2x y 11 0 i przechodz cej przez punkt P (1, 2).

Zadanie 62. (2 pkt)

Zadanie 63. (2 pkt)

Wyznacz równanie okr gu o rodku S 3, 5 przechodz cego przez pocz tek uk adu wspó rz dnych.

Zadanie 64. (2 pkt)

Wyznacz równanie prostej zawieraj cej rodkow CD trójk ta ABC, którego wierzcho kami s punkty: A 2, 1 ,B 6,1 , C 7,10 .

Zadanie 65. (2 pkt)

W trójk cie prostok tnym, w którym przyprostok tne maj d ugo ci 2 i 4, jeden z k tów ostrych ma miar . Oblicz sin cos .

Zadanie 66. (2 pkt) K t jest ostry i sin 1.

4 Oblicz

2

3 2tg .

Zadanie 67. (2 pkt)

Punkt D le y na boku BC trójk ta równoramiennego ABC, w którym AC BC . Odcinek AD dzieli trójk t ABC na dwa trójk ty równoramienne w taki sposób, e AB AD CD (patrz rysunek). Oblicz miary k tów trójk ta ABC.

Zadanie 68. (2 pkt)

Oblicz pole trójk ta równoramiennego ABC, w którym AB 24 i AC BC 13. Zadanie 69. (2 pkt)

Liczby 4, 10, c s d ugo ciami boków trójk ta równoramiennego. Oblicz c. Zadanie 70. (2 pkt)

Liczby 6, 10, c s d ugo ciami boków trójk ta równoramiennego. Oblicz c. Zadanie 71. (2 pkt)

Liczby 6, 10, c s d ugo ciami boków trójk ta prostok tnego. Oblicz c. Zadanie 72. (2 pkt)

Liczby x 1, x, 5 s d ugo ciami boków trójk ta równoramiennego. Oblicz x.

A B

C

Zadanie 73. (2 pkt)

Obwód czworok ta wypuk ego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójk ta ABD jest równy 46 cm, a obwód trójk ta BCD jest równy 36 cm. Oblicz d ugo przek tnej BD.

Zadanie 74. (2 pkt)

Ile wyrazów ujemnych ma ci g a okre lony wzorem _{n a n}2 2_n 24

n dla n 1?

Zadanie 75. (2 pkt)

Liczby 2, x 3, 8 s w podanej kolejno ci pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ci gu arytmetycznego. Oblicz x.

Zadanie 76. (2 pkt)

Wyrazami ci gu arytmetycznego a s kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez _n 5 daj reszt 2. Ponadto a₃ 12. Oblicz a . ₁₅

Zadanie 77. (2 pkt)

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, e w ich zapisie dziesi tnym wyst puje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste?

Uwaga: przypominamy, e zero jest liczb parzyst . Zadanie 78. (2 pkt)

Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 15 lub 20? Zadanie 79. (2 pkt)

Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesi tek jest o 2 wi ksza od cyfry jedno ci?

Zadanie 80. (2 pkt)

Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty, a na drugiej 4 punkty (patrz rysunek). Ile jest wszystkich trójk tów, których wierzcho kami s trzy spo ród zaznaczonych punktów ?

Zadanie 81. (2 pkt)

Zadanie 82. (2 pkt)

Oblicz redni arytmetyczn danych przedstawionych na poni szym diagramie cz sto ci

Zadanie 83. (2 pkt)

Oblicz median danych: 0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1. Zadanie 84. (2 pkt)

Oblicz median danych przedstawionych w postaci tabeli liczebno ci

warto 0 1 2 3

liczebno 4 3 1 1

Zadanie 85. (2 pkt)

Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} wybieramy losowo jedn liczb . Oblicz prawdopodobie stwo otrzymania liczby podzielnej przez 3 lub przez 2.

Zadanie 86. (2 pkt)

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedn liczb . Oblicz prawdopodobie stwo otrzymania liczby podzielnej przez 15.

Zadanie 87. (2 pkt)

Rzucamy dwa razy symetryczn sze cienn kostk do gry. Oblicz prawdopodobie stwo otrzymania iloczynu oczek równego 5.

Zadanie 88. (2 pkt)

A i B s takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w , e A B oraz P A 0,3 i P B 0,4. Oblicz (P A B ).

Zadanie 89. (2 pkt)

A i B s takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w , e A B oraz P A 0,3 i P B 0,7. Oblicz prawdopodobie stwo ró nicy B \ . A

cz sto w % 0 1 2 3 10 warto 15 30 45 0

Zadanie 90. (2 pkt)

Przek tna sze cianu ma d ugo 9. Oblicz pole powierzchni ca kowitej tego sze cianu.

Zadanie 91. (2 pkt)

Przekrój osiowy sto ka jest trójk tem równoramiennym o podstawie d ugo ci 12. Wysoko sto ka jest równa 8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego sto ka.

Zadanie 92. (2 pkt)

Oblicz sinus k ta mi dzy przek tn sze cianu a jego p aszczyzn podstawy. 9

12 8

Zadanie 93. (2 pkt)

Czworok ty ABCD i APQR s kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, e BP DR.

Zadanie 94. (2 pkt)

Na boku BC trójk ta ABC wybrano punkt D tak, by CAD ABC . Odcinek AE jest dwusieczn k ta DAB. Udowodnij, e AC CE .

A B C D P Q R A B C D E

ZADANIA OTWARTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI

Zadanie 95.

Oblicz sum wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wy cznie za pomoc cyfr wybranych ze zbioru {0, 1, 2, 3}.

Zadanie 96.

Z pojemnika, w którym s dwa losy wygrywaj ce i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobie stwo, e otrzymamy co najmniej jeden los wygrywaj cy. Wynik przedstaw w postaci u amka nieskracalnego.

Zadanie 97.

Z miejscowo ci A i B oddalonych od siebie o 182 km wyje d aj naprzeciw siebie dwaj rowerzy ci. Rowerzysta jad cy z miejscowo ci B do miejscowo ci A jedzie ze redni pr dko ci mniejsz od 25 km/h. Rowerzysta jad cy z miejscowo ci A do miejscowo ci B wyje d a o 1 godzin wcze niej i jedzie ze redni pr dko ci o 7 km/h wi ksz od redniej pr dko ci drugiego rowerzysty. Rowerzy ci spotkali si w takim miejscu, e rowerzysta jad cy z miejscowo ci A przeby do tego miejsca ₁₃9 _{ca ej drogi z A do B. Z jakimi rednimi} pr dko ciami jechali obaj rowerzy ci?

Zadanie 98.

Ucze przeczyta ksi k licz c 480 stron, przy czym ka dego dnia czyta tak sam liczb stron. Gdyby czyta ka dego dnia o 8 stron wi cej, to przeczyta by t ksi k o 3 dni wcze niej. Oblicz, ile dni ucze czyta t ksi k .

Zadanie 99.

Liczby a, b, c tworz w podanej kolejno ci ci g geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93. Te same liczby, w podanej kolejno ci s pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ci gu arytmetycznego. Oblicz a, b i c.

Zadanie 100.

Wyznacz wzór na n-ty wyraz ci gu arytmetycznego wiedz c, e suma pierwszych pi ciu jego wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, pi ty i trzynasty tworz w podanej kolejno ci ci g geometryczny.

Zadanie 101.

Podstaw ostros upa prawid owego czworok tnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trójk ta równoramiennego ACS jest równe 120 oraz AC : AS 10:13. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostros upa.

Zadanie 102.

Podstaw ostros upa ABCDE jest kwadrat ABCD. Punkt F jest rodkiem kraw dzi AD, odcinek EF jest wysoko ci ostros upa (patrz rysunek). Oblicz obj to ostros upa, je li wiadomo, e AE 15, BE 17.

Zadanie 103.

Dany jest trójk t prostok tny ABC, w którym BC 30, AC 40, AB 50. Punkt W jest rodkiem okr gu wpisanego w ten trójk t. Okr g wpisany w trójk t ABC jest styczny do boku AB w punkcie M. Oblicz d ugo odcinka CM.

Zadanie 104.

Na zewn trz trójk ta prostok tnego ABC, w którym ACB 90 oraz AC 5, BC 12 zbudowano kwadrat ACDE (patrz rysunek). Punkt H le y na prostej AB i k t EHA 90 . Oblicz pole trójk ta HAE.

Zadanie 105.

Wyka , e prawdziwa jest nierówno ₂50 _{1 2}50 _{1 2}26_.

A B C D E H A B C M W A _B C D E F

Zadanie 106. Udowodnij, e je li

a) x, y s liczbami rzeczywistymi, to x2 y2 2xy_.

b) x, y, z s liczbami rzeczywistymi takimi, e x y z 1, to

3 1 2 2 2 _{y z} x . Zadanie 107.

Punkt D le y na boku BC trójk ta równoramiennego ABC, w którym AC BC . Odcinek AD dzieli trójk t ABC na dwa trójk ty równoramienne w taki sposób, e AD CD oraz

BD

AB (patrz rysunek). Udowodnij, e ADC 5 ACD .

Zadanie 108.

Dane s dwa pó okr gi o wspólnym rodku O i rednicach odpowiednio AB i CD (punkty A, B, C, D i O s wspó liniowe). Punkt P le y na wewn trznym pó okr gu, punkt R le y na zewn trznym pó okr gu, punkty O, P i R s wspó liniowe. Udowodnij, e APB CRD 180 .

A B C D A C D B R P O

Przyk adowe zadania

Odpowiedzi do zada zamkni tych

Odpowiedzi do zada otwartych

Nr zadania Odpowied Nr zadania Odpowied 51 8 5 x 80 30 trójk tów 52 x 2, y 1 81 x 7 53 x 7,1 82 0 ,9 54 2 1 x lub x 3 lub 3 x 83 1 55 3 7 3 1 x y 84 1 56 2 1 x 85 11 7 57 wykres 86 15 1 58 y 4 87 18 1 59 a 1 b 1 88 0 ,4 60 1 3 3 6 2 x x x x 89 0 ,4 61 2x y 0 90 162 62 x 32 y 5 2 9 91 60 63 x 32 y 5 2 34 92 3 3 64 y 2x 4 93 dowód 65 5 2 94 dowód Nr zadania 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Odpowied A C B A A B D B D A D C C A B D C C B B B D B C C 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A C D A B C B C B C B A C B B A A A B B C A D B B

66 15 47 95 10392 67 36 , 72 , 72 96 10 7 68 60 97 7 km h , 14 km h 69 c 10 98 15 70 c 6 lub c 10 99 75 15 3 c b a lub 31 31 31 c b a 71 c 8 lub c 2 34 100 a_n 2 lub a_n 3n 7 72 x 5 lub x 6 101 20 313 73 BD 16 102 3 209 64 74 5 wyrazów 103 2 145 75 x 7 104 169 750 76 a₁₅ 72 105 dowód 77 2125 106 dowód 78 9 liczb 107 dowód 79 72 liczby 108 dowód