Wykład VI
• Definicja i równanie na funkcje sferyczne,
• Ortogonalność funkcji sferycznych,
Iloczyn skalarny w zmiennych
kątowych
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
−=
=
1 1 2 0 0 2 0,
,
,
cos
,
,
sin
,
g
f
d
d
g
f
g
f
d
d
g
f
Równanie na funkcje sferyczne
(
r
,
,
)
f
(
r
,
,
)
f
f
=
=
Niech spełnia równanie Laplace’a w zmiennych
sferycznych
(
)
(
)
0
1
1
1
1
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2=
−
+
−
+
+
=
f
r
f
r
r
f
r
r
f
f
Żeby otrzymać równanie na f w powyższej formie, laplasjan we współrzędnych sferycznych przekształcamy w następujący sposób
Rozdzielenie zmiennych
Y
( ) ( ) ( )
,
= T
(
2)
( )
(
2)
1
2 21
1
1
1
d
d
d
dT
d
d
T
l
l
−
=
−
+
+
−
Przyrównując obie strony do stałej
l
otrzymujemy
( )
( )
(
)
( )
l
l
l
im ie
m
m
e
=
=
=
+
=
=
−
=
,
2
,
1
,
0
,
2
2(
)
T
T
l
( )
l
T
2T
l 21
1
2
1
l
−
=
+
+
−
−
(
)
(
)
0
1
1
1
1
2
2 2 2 2 2 2 2=
−
+
−
+
+
=
f
r
f
r
r
f
r
r
f
f
Rozwiązania poszukujemy w postaci
f
(
r
,
,
)
=
r
lY
( )
,
,
l
=
0
,
1
,
2
,
( )
(
)
0
1
1
1
1
2 2 2 2=
−
+
−
+
+
Y
Y
Y
l
l
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( ) (
)
(
)
l l( )
l l l lm lm lm lm mP
P
P
l
l
P
P
m
P
m
m
l
l
P
m
P
P
T
T
m
T
l
l
T
T
=
=
+
+
−
−
=
=
+
−
+
+
+
−
−
−
=
−
=
+
+
−
−
0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 20
1
2
1
0
0
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
Różniczkując stronami równanie na P
lm
po
otrzymujemy
(
2)
( )
(
)( )
( ) (
)(
)
, 10
2
1
1
2
2
1
−
P
lm
−
m
+
P
lm
+
l
l
+
−
m
+
m
+
P
lm
=
P
lm
=
P
l m+Wniosek
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
l
l
l
l
m
l
P
P
P
l l l m l m l m l m l1
,
,
1
,
2
,
!
2
1
2 0 , ,−
=
−
−
+
−
+
−
=
=
=
+• Ogólny wzór na funkcje sferyczne
( )
(
)
(
( )
)
( )
m im l m lm lmN
P
e
Y
,
=
1
−
2 2𝑃𝑙,𝑚jest pewną funkcją z indeksami, odpowiadającymi stałym l, m w równaniu na funkcję T
Funkcji T poszukujemy w postaci jak obok.
Jest to równanie różniczkowe dla wielomianów Legendre’a stopnia l, w związku z tym funkcja 𝑃𝑙,𝑚 jest wielomianem Legendre’a 𝑃𝑙
(■)
(■)
Symbol ∗ 𝑚 oznacza pochodną rzędu m względem ξ. W ostatnim przekształceniu skorzystaliśmy ze wzoru Rodriguesa dla wielomianów Legendre’a.
funkcji
sferycznych
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
− − + − − −
−
=
=
−
=
−
=
1 1 2 , 1 1 2 , 0 1 2 2 21
1
2
1
2
1
,
l m m l m m m l lm m m m l m l m m l lm m m m m i m l m l m l lm m l lmP
P
d
N
N
P
P
d
N
N
e
d
P
P
d
N
N
Y
Y
(♠)
(♦)
( )
(
)
( )
( )
( )
( ) ( )
P
l
l
W
d
P
W
l m m l m
=
−
=
− 0
dla
1
1 1 2
jest wielomianem stopnia l-m+2m-m=l
• Wniosek: funkcje sferyczne dla różnych indeksów są ortogonalne
(
Y
lmY
lm)
=
N
lm
ll
mm2
,
Ponieważ 𝑃𝑙′jest ortogonalne do wszystkich wielomianów stopnia 𝑙 < 𝑙′
