Funkcje analityczne
Wykład 6. Funkcje elementarne i ich szeregi potęgowe
Paweł Mleczko
Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Plan wykładu
W czasie wykładu omawiać będziemy
| funkcje elementarne oraz ich szeregi potęgowe
| logarytmowanie oraz potęgowanie liczb zespolonych.
Szeregi potęgowe – przypomnienie wiadomości z poprzedniego wykładu Szereg
∞
X
n=0
an(z − z0)n ai∈ C, i = 0, 1, . . . nazywamy szeregiem potęgowym o środku w z0.
Istnieje taka liczba R 0 (nazywana promieniem zbieżności), że w kole |z − z0| < R szereg jest zbieżny, natomiast w zbiorze |z − z0| > R jest rozbieżny.
Promień można policzyć korzystając z formuły Cauchy’ego–Hadamarda):
λ := lim sup
n→∞
p|an n|.
Wówczas
R :=
1
λ λ ∈ (0, ∞)
0 λ = +∞
+∞ λ = 0.
Szeregi potęgowe – przypomnienie wiadomości z poprzedniego wykładu Twierdzenie 1. Niech A ⊂ C będzie obszarem oraz niech f : A → C.
| Jeśli f jest analityczna w A (czyli rozwija się w szereg potęgowy w każdym punkcie zbioru A), to jest w A holomorficzna (czyli ma pochodną w każdym punkcie zbioru A)
| Jeśli f jest funkcją analityczną, to jej szereg potęgowy jest szeregiem Taylora, w szczególności f jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna
1. Ważne funkcje elementarne i ich szeregi potęgowe
Wielomiany
Funkcję wn: C → C daną wzorem
wn(z) = a0+ a1z + a2z2+ · · · + anzn z ∈ C gdzie ai∈ C, i = 0, 1, . . . , n, nazywamy wielomianem zespolonym.
Wielomiany mają pochodną w każdym punkcie płaszczyzny zespolonej.
Iloraz dwóch wielomianów nazywamy funkcją wymierną. Funkcja jest różniczkowalna w swojej dzie- dzinie.
Funkcja wykładnicza
1
Szereg
∞
X
n=0
zn n!
jest zbieżny na całej płaszczyźnie zespolonej (to łatwo sprawdzić). Funkcję exp : C → C daną wzorem
exp z = exp(z) =
∞
X
n=0
zn
n! z ∈ C
nazywamy funkcją wykładniczą.
Własności funkcji exp Niech z, w ∈ C. Wówczas
| (exp z)0= exp z
| exp 0 = 1
| exp(z + w) = exp z exp w
| exp z 6= 0
| exp z = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy z = 2kπi, gdzie k jest liczbą całkowitą
| exp z = exp w wtedy i tylko wtedy, gdy z = w + 2kπi, gdzie k jest liczbą całkowitą
Funkcja exp jako funkcja wykładnicza
Czasami funcję exp zapisuje się z wykorzystaniem notacji wykładniczej, czyli exp z = ez.
Zauważmy, że z przedstawionych właśności funkcji exp wynika, że posiada ona faktycznie własności funkcji wykładniczej. Ponadto z dowodu na poprzedniej stronie wynika, że
exp ix = sin x + i cos x x ∈ R.
Jest to tzw. formuła Eulera. Stąd zaś i własności funkcji exp wynika, że
exp z = exp Re z exp i Im z = eRe z(cos Im z + i sin Im z) z ∈ C.
Teraz bardzo łatwo uzasadnić jeszcze jedną własność funkcji exp:
| | exp z| = eRe z.
Zastosowanie: wzór de Moivre’a Ze wzoru
exp ix = sin x + i cos x x ∈ R.
od razu wynika wzór de Moivre’a. Istotnie, niech z ∈ C. Dla r = |z| oraz t ∈ [0, 2π) mamy z = r(cos t + i sin t) = r exp(it).
Stąd
zn= r exp(it))n= rnexp(int) = |z|n(cos nt + i sin nt).
Zastosowanie: dowodzenie tożsamości trygonometrycznych
Poprzednie rozważania (w szczególności wzór de Moivre’a) można użyć do udowodnienia wybranych tożsamości trygonometrycznych.
Dla przykładu wykażemy, że dla dowolnych α, β ∈ R zachodzi równość cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
sin(α + β) = cos α sin β + sin α cos β.
2
Weźmy dwie liczby zespolone o module 1: cos α + i sin α oraz cos β + i sin β i pomnóżmy je przez siebie.
Mamy
(cos α + i sin α)(cos β + i sin β)
= cos α cos β − sin α sin β + i(cos α sin β + sin α cos β) Z drugiej strony:
(cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = eiαeiβ= ei(α+β)= cos(α + β) + i sin(α + β) Porównując części rzeczywiste i urojone powyższych wyrażeń otrzymujemy oczekiwane wzory.
Funkcje trygonometryczne Zauważmy, że szeregi
∞
X
n=0
(−1)n (2n)!z2n
∞
X
n=0
(−1)n (2n + 1)!z2n+1 są zbieżne na całej płaszczyźnie. Stąd dobrze określone są funkcje
sin z :=
∞
X
n=0
(−1)n (2n)!z2n cos z :=
∞
X
n=0
(−1)n (2n + 1)!z2n+1
Wybrane własności funkcji trygonometrycznych Niech z, w ∈ C. Wówczas
| sin2z + cos2z = 1 (jedynka trygonometryczna)
| cos(z ± w) = cos z cos w ∓ sin z sin w
| sin(z ± w) = cos z sin w ± sin z cos w
| zachodzą wzory redukcyjne analogiczne do wzorów dla zmiennych rzeczywistych
| sin(z + 2kπ) = sin z, cos(z + 2kπ) = cos z dla dowolnego k ∈ Z
| (sin z)0= cos z, (cos z)0= − sin z.
Uwaga! 1. Nie jest prawdą, że
| sin z| ¬ 1.
Wybrane własnośći funkcji trygonometrycznych
Dla dowolnego z ∈ C zachodzą równości (zwane formułami Eulera)
cos z = exp(iz) + exp(−iz) 2
sin z = exp(iz) − exp(−iz)
2i .
Funkcja logarytmiczna
Niech z ∈ C \ {0}. Zbiór log z dany wzorem
log z = {w ∈ C : exp w = z}.
nazywamy logarytmem liczby z.
3
Logarytm nie jest wyznaczony jednoznacznie – do zbioru log z należy każda z liczb ln |z| + i arg z,
gdzie ln jest logarytmem rzeczywistym. Liczbę ln |z| + i Arg z nazywamy logarytmem głównym i ozna- czamy Log z. Jest jasne, że Log |z| = ln |z| (gdyż arg |z| = 0). Z własności funkcji wykładniczej wynika, że
log z = {w ∈ C : w = Log z + 2kπi, k ∈ Z}.
Funkcja logarytmiczna: szereg potęgowy
Twierdzenie 2. Niech z ∈ C \ {0}. Każdy element zbior log z definiuje funkcję holomorficzną na płasz- czyźnie poza punktami zero oraz ujemną częścią osi rzeczywistej oraz zachodzi wzór
(log z)0 =1 z. Stąd wynika, że jeśli |z| < 1, to
Log(1 + z) =
∞
X
n=1
(−1)n+1 n zn.
Potęga zespolona
Niech z ∈ C \ {0}, γ ∈ C. Zbiór zγ opisany warunkiem
zγ = {δ ∈ C : δ = exp(γw), w ∈ log z}
nazywamy potęgą zγ. Liczbę exp(γ Log z) nazywamy wartością główną potęgi.
Podsumowanie wykładu Po wykładzie wiedzieć należy:
| jakie są szeregi funkcju wykładniczej oraz funkcji trygonometrycznych
| jak stosować formuły Eulera do obliczania wartości zespolonych funkcji trygonometrycznych
| jak liczyć potęgi oraz logarytmy liczb zespolonych.
2. Zadania na ćwiczenia
1. Proszę obliczyć
| sin(π2−π4)
| cos(π4)
| log(1 + i)
| (√ 3 + i)2i
| (1 − i)1+i 2. Udowodnić, że
sin(α + β+ = cos α sin β + sin α cos β
3. Uzasadnić, że funkcja z 7→ sin z ma pochodną w każdym punkcie płaszczyzny zespolonej.
4. Rozwiązać równania
| sin z = 43i
| sin z = 5
| ez= i
4
