Obliczanie nośności podłoża gruntowego qgr jest pierwszym zadaniem projektującego obiekty budowlane. Obliczenia te wy-konuje się, korzystając z wzorów, które pozwalają uwzględnić: właściwości gruntu (f, c, γ), geometrię posadowienia (D, B, L), kształt podstawy fundamentu B/L, nachylenie obciążenia H/V, głębokość posadowienia D, nachylenie podstawy fundamentu β i nachylenie powierzchni terenu ω, wpływ mimośrodu obciąże-nia e oraz wpływ szerokości fundamentu B. W artykule prze-analizowano sposoby uwzględniania tych czynników. Wpływ uwarstwienia podłoża gruntowego można uwzględniać, stosu-jąc zasadę fundamentu zastępczego (podaną w normie polskiej PN ‑81/B‑03020 i w normie europejskiej EUROKOD 7) lub w sposób zaproponowany przez Madeja [10, 11].
OBLICZANIE NOŚNOŚCI JEDNORODNEGO PODŁOŻA GRUNTOWEGO
Nośność jednorodnego podłoża gruntowego ustala się, ko-rzystając z wzorów zaproponowanych przez Terzaghiego [23] i powtórzonych przez Terzaghiego i Pecka [24]:
dla ław fundamentowych –
0,5
gr c D q B
q = ⋅c N + ⋅ g ⋅D N + ⋅ ⋅ g ⋅B Ng (1a)
dla fundamentu o podstawie kołowej –
1,2 0,6
gr c D q B
q = ⋅ ⋅c N + ⋅ g ⋅D N + ⋅ ⋅ g ⋅r Ng (1b)
Dr hab. inż. Jacek Pieczyrak, prof. ATH Akademia Techniczno-Humanistyczna, Bielsko-Biała
fundamentu o podstawie kwadratowej – 1,2 0,4 gr c D q B q = ⋅ ⋅c N + ⋅ g ⋅D N + ⋅ ⋅ g ⋅B Ng (1c) gdzie: c – spójność gruntu,
gD – ciężar objętościowy gruntu zalegającego powyżej poziomu posadowienia
(rys. 1),
gB – ciężar objętościowy gruntu zalegającego poniżej poziomu posadowienia
(rys. 1),
D – głębokość posadowienia, B – szerokość fundamentu,
Ni – współczynniki nośności zależne od wartości kąta tarcia wewnętrznego
gruntu f.
W przypadku gruntów spoistych wartości parametrów geo-technicznych c i ϕ zależą od prędkości przykładania obciążenia. Miara tej prędkości zależy od faktu, czy ciśnienie wody w po-rach obciążanego gruntu zdąży rozproszyć się. Jeżeli ciśnienie to zdąży rozproszyć się, to stosujemy parametry efektywne cʹ i ϕʹ. W przeciwnym przypadku należy stosować parametry po-zorne cu i ϕu.
W normie „Geotechnika. Projektowanie posadowień bezpo-średnich zmiana PN‑81/B‑03020” (punkt 3.3.1., s. 12) podane jest następujące zalecenie: W przypadku obiektów, dla których w fazie budowy lub eksploatacji może nastąpić szybki przyrost sił na podłoże (budowle realizowane krócej niż 3 miesiące) lub obiekty, dla których siły od obciążeń zmiennych przekracza-ją 50% sił całkowitych, do obliczeń oporu granicznego nale-ży przyjmować parametry cu i ϕu. W pozostałych przypadkach
można przyjmować parametry efektywne cʹ i ϕʹ.
Jako twórcę wzoru (1a) wymienia się również Buismana [1], a sam wzór (1a) znany jest też pod nazwą Buismana‑Terzaghie-go [27].
Wzory (1a, 1b, 1c) odnoszą się do przypadku fundamen-tu płytko posadowionego o podstawie poziomej, obciążonego osiowo i pionowo. Ustalono je dla dwóch stanów granicznych o różnych kierunkach naprężeń głównych [3]:
ośrodka niespoistego, nieobciążonego i ważkiego (
– g ≠ 0),
ośrodka spoistego, nieważkiego (
– g = 0) i obciążonego
w naziomie.
Wzory (1a, 1b, 1c) są słuszne przy małym zagłębieniu fun-damentu (D ≤ 0,5B), gdy obciążenie graniczne jest związane z wypieraniem gruntu spod fundamentu. W przypadku więk-szych zagłębień (D ≥ 5B) w ogóle nie dochodzi do wypierania gruntu [28].
Bezwymiarowe współczynniki nośności Ni, sformułowano
rozpatrując następujące przypadki: ośrodek niespoisty, nieobciążony –
(g ≠ 0, f ≠ 0, c = 0, p = 0) stąd Ng (w polskiej normie NB),
ośrodek nieważki, niespoisty, obciążony w naziomie –
(g = 0, f ≠ 0, c = 0, p ≠ 0) stąd Nq (w polskiej normie ND),
ośrodek spoisty, nieważki i nieobciążony –
(g = 0, f ≠ 0, c ≠ 0, p = 0) stąd Nc (w polskiej normie Nc).
Zastosowana superpozycja powoduje, że wzory (1) nie są w pełni ścisłe, jednakże powstały błąd (wynoszący 17 ÷ 20% przy f = 30 ÷ 40º i 0% przy f = 0) prowadzi do zapasu bezpie-czeństwa [27].
Następnie wzory te zostały uogólnione przez Terzaghiego‑ Schultza [22] i podane w postaci jednego wzoru [28], występu-jącego również w normie PN‑81/B‑03020 [30]:
1 0,3 1 0,2 gr c D q B B B q c N D N B N L L g = + ⋅ ⋅ + ⋅ g ⋅ + − ⋅ ⋅ g ⋅ (2) W PN‑81/B‑03020 wzór (2), po prostym przekształceniu uzyskuje następującą postać:
1 0,3 1 1,5 1 0,25 gr u c D q B B B q c N D N L L B B N L g = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ g ⋅ + + − ⋅ ⋅ g ⋅
gdzie L=L′ i B=B′ efektywna długość i efektywna
szero-kość fundamentu według wzoru (23). Ponadto we wzorze tym, w normie polskiej, występują cu i fu.
Dalsza rozbudowa uogólnionego wzoru na nośność podłoża gruntowego pochodzi od Hansena [5] i ma postać [8]:
0,5 gr c c c c c c q q q q q q q c N s d i b g q N s d i b g B Ng s i b gg g g g ′ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ g ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (3)
Zwróćmy uwagę, że we wzorze (3) nie występuje współ-czynnik dg. Innymi słowy dg = 1.
Występujące w tym wzorze współczynniki Ni, si, di, ii, bi, gi,
są współczynnikami funkcyjnymi. Współczynniki nośności Ni
zależą tylko od kąta tarcia wewnętrznego gruntu f. Pozostałe współczynniki uwzględniają wpływ, odpowiednio:
kształtu podstawy fundamentu
– si,
głębokości posadowienia
– di,
siły poziomej, czyli nachylenia obciążenia
– ii,
nachylenia podstawy fundamentu
– bi,
nachylenia powierzchni terenu (skarpy) w sąsiedztwie –
fundamentu gi.
W normie „Geotechnika. Projektowanie posadowień bez-pośrednich zmiana PN‑81/B‑03020” [31] i w Eurokodzie 7 [32], ogólna postać wzoru na nośność podłoża gruntowego nie uwzględnia współczynników di i gi, a więc przedstawia się
na-stępująco: 0,5 gr c c c c q q q q q c N s i b q N s i b B Ng s i bg g g ′ ′ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ g ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (4)
W normie PN‑81/B‑03020 [30] odmienną postać ma człon trzeci. Otóż w miejscu współczynnika liczbowego „0,5” wystę-puje współczynnik ”1”
gr c c c c q q q q
q = ⋅c N′ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅s i b q N′ ⋅ ⋅ ⋅ + g ⋅ ⋅s i b B Ng⋅ ⋅ ⋅s i bg g g (5)
Kanoniczna postać wzoru na nośność podłoża gruntowego, zaproponowana przez Terzaghiego [23], jest powszechnie uzna-na i stosowauzna-na. Odmienne stanowiska poszczególnych badaczy znajdują wyraz w różnych postaciach funkcji wyrażających współczynniki Ni, si, di, ii, bi, gi.
Współczynniki nośności (Ni), ustalone przez Terzaghiego
[23], mają następującą postać:
tg tg2 4 2 q N =eπ⋅ f⋅ π f+ (6) ( 1) ctg c q N = N − ⋅ f (7) 2 ( q 1) tg
Ng= ⋅ N − ⋅ f gdy d ≥ 0,5 f (dla szorstkiej podstawy) (8)
Przyjęcie do obliczenia obciążenia granicznego, że podsta-wa fundamentu jest gładka, czyli że d = 0, propodsta-wadzi do otrzy-mania wartości zbyt małej. Natomiast w przypadku podstawy fundamentu idealnie szorstkiej, d = -f, prowadzi do otrzymania wartości zbyt dużej.
W takiej też postaci wzory te występują w Eurokodzie 7 [32] i w normie „Geotechnika. Projektowanie posadowień bez-pośrednich zmiana PN‑81/B‑03020” [31]. Natomiast w normie PN‑81/B‑03020 [30] wzór przedstawiający współczynnik Nγ ma nieco inną postać:
0,75 ( q 1) tg
Ng= ⋅ N − ⋅ f (9)
Zwróćmy jednak uwagę, że współczynnik Nγ wyrażony
wzorem (8) skojarzony jest w wzorem (4), natomiast wyrażony wzorem (9) skojarzony jest z wzorem (5). Tak, więc globalny współczynnik liczbowy przy trzecim członie wzoru na nośność podłoża gruntowego wynosi odpowiednio:
0,5 · 2 = 1 w przypadku Eurokodu 7 (10a) 1 · 0,75 = 0,75 w przypadku PN‑81/B‑03020 [30] (10b) Ostatecznie wartość liczbowa trzeciego członu wzoru na nośność według Eurokodu 7 będzie o 33% (1 : 0,75 = 1,33) większa od odpowiedniej wartości otrzymywanej według PN ‑81/ B‑03020 [30].
Współczynniki kształtu podstawy fundamentu (si)
docze-kały się wielu różnych ustaleń; Pieczyrak [15] podaje ich 18. Według Eurokodu 7 [32] i normy „Geotechnika. Projekto-wanie posadowień bezpośrednich zmiana PN‑81/B‑03020” [31] współczynniki kształtu należy ustalać z poniższych wzorów:
1 sin q B s L ′ ′ = + ⋅ f ′ (11a) 1 0,3 B s L g ′ = − ⋅ ′ (11b) 1 1 q q c q s N s N ⋅ − = − (11c)
przy czym dla kwadratu i koła należy przyjmować B 1
L
′ =
′ .
Wielkości L′ i B′ oznaczają efektywną długość i efektywną szerokość podstawy fundamentu, które uwzględniają wpływ ob-ciążenia mimośrodowego, według wzoru (23).
W normie PN‑81/B‑03020 [30] współczynniki kształtu po-dane są w postaci następujących wzorów:
1 1,5 q B s L ′ = + ′ (12a) 1 0,25 B s L g ′ = − ⋅ ′ (12b) 1 0,3 c B s L ′ = + ′ (12c)
Współczynnik kształtu sq według wzoru (12a) daje
warto-ści nie tylko znacznie odbiegające od propozycji Terzaghiego [23] wyrażonej wzorem (1), ale i przesadnie duże w stosunku do innych propozycji (rys. 2). Zdaniem autora, słuszniej będzie tu przyjąć:
sq = 1 (12a bis) Warto zauważyć, że zarówno Lancellotta [8], jak i Vesić [27] podają inne zestawy wzorów dla współczynników kształtu si.
Lancellotta [8] zaleca stosować wzory Meyerhofa [12] w po-staci: 1 sin 1 0,1 1 sin q B s s L g ′ + f = = + ⋅ ⋅ ′ − f (13a i b) 1 sin 1 0,2 1 sin c B s L ′ + f = + ⋅ ⋅ ′ − f (13c)
Natomiast Vesić [27] proponuje stosować wzory de Be-er’a [2], zmodyfikowane przez Vesića [25]:
1 tg q B s L ′ = + ⋅ f (14a) 1 0,4 B s L g= − ⋅ (14b) 1 q c c N B s L N = + ⋅ (14c)
W przypadku ław fundamentowych sq = sγ = sc = 1.
Graficzne modele współczynników kształtu si, zalecanych przez Eurokod 7 [32], PN‑81/B‑03020 [30], Meyerhofa [12] i Vesića [25] pokazano odpowiednio na rys. 2 (sq), rys. 3 (sg) i rys. 4 (sc).
Okazuje się, że różne propozycje, odmienne co do matema-tycznego modelu współczynników si, na ogół prowadzą do tych
samych lub zbliżonych wartości liczbowych. I tak w przypadku sc oceny Eurokodu 7 [32], Meyerhofa [12] i Vesića [25] są w peł-ni zgodne, o ile f ≤ 25°. W przypadku współczynpeł-nika sq
stwier-dzamy zgodność ocen Eurokodu 7 i Vesića [25]), jeśli f ≤ 20°. W porównaniu z nimi (a nawet z propozycją Meyerhofa) zalece-nie PN‑81/B‑03020 jest bardzo odległe. Natomiast w przypadku współczynnika sg wartości ustalane według zaleceń Eurokodu 7
są większe od 9% (dla α = 1) do 26% (dla α = 2,5) w stosunku do zgodnych ocen Meyerhofa [12] i Vesića [25]. Oceny Meyer-hofa i Vesića pokrywają się, jeśli f ≤ 35°. Dla większych war-tości kąta f oceny te, tj. co do warwar-tości współczynników si,
roz-chodzą się.
Z treści rys. 4 wynika, że współczynnik kształtu sc według
Eurokodu 7 traci swą słuszność, gdy f ≤ 5°. Nie ma to jednak praktycznego znaczenia, bowiem wartość liczbowa kąta tarcia wewnętrznego f dla gruntów zezwalających na posadowienie
bezpośrednie jest większa od 5°. Na rys. 5 pokazano przestrzeń c – f dla gruntów spoistych. Dla iłów o IL = 0,40 kąt tarcia
we-wnętrznego wynosi 8°. Kąt tarcia wewe-wnętrznego dla gruntów niespoistych jest większy niż dla gruntów spoistych.
Współczynniki głębokości posadowienia (di), według
Lan-cellotta’y [8], należy przyjmować w formie zaproponowanej przez Hansena [5] i Vesića [26], wówczas gdy głębokość posa-dowienia jest większa niż 2 m (D > 2 m). Współczynniki te (nie występują w Eurokodzie 7 i PN‑81/B‑03020) mają postać:
2 1 2 tg (1 sin ) q D d B ′ ′ = + ⋅ f ⋅ − f ⋅ jeśli D ≤ B, (15a) 2 1 2 tg (1 sin ) arc tg q D d B ′ ′ = + ⋅ f ⋅ − f ⋅ jeśli D > B (15b) 1 q c q c d d d N tg − = − ′ ⋅ f (15c)
Obrazy zależności współczynników dq i dc od wartości kąta
tarcia wewnętrznego gruntu f pokazano odpowiednio na rys. 6 i 7. Wzory (15) tak są zbudowane, że dla D > B ale D/B ≤ 1,5 uzyskuje się wartości mniejsze niż dla D/B = 1. Zatem jeśli
1 D 1,5
B
< ≤
wówczas współczynniki dq i dc ustalamy, przyjmując 1. D
B =
Współczynniki nachylenia obciążenia spowodowanego działaniem obciążenia poziomego H (ii) występujące w Euro-kodzie 7 mają postać zaproponowaną przez Vesića [26] i reko-mendowaną przez Lancellotta’ę [8]:
Rys. 2. Współczynniki kształtu sq według różnych propozycji
Rys. 3. Współczynniki kształtu sγ według różnych propozycji
Rys. 4. Współczynniki kształtu sc według różnych propozycji
Rys. 5. Przestrzeń c – f dla gruntów spoistych
(Aw – Pg, πp, π; Bw – Gp, G, Gπ; Cw ‑ Gpz, Gz, Gπz; Dw – Ip, I, Iπ)
Rys. 6. Współczynnik głębokości posadowienia dq (dla D > 2 m)
1 ctg m q H i V A c = − ′ ′ ′ + ⋅ ⋅ f (16a) ( 1) 1 ctg m H i V A c + g = − ′ ′ ′ + ⋅ ⋅ f (16b) 1 tg q c q c i i i N − = − ′ ⋅ f (16c) gdzie: 2 1 B B L m m B L ′ + ′ = = ′ + ′
gdy H działa w kierunku Bʹ
2 1 L L B m m L B ′ + ′ = = ′ + ′
gdy H działa w kierunku Lʹ
W przypadkach, gdy składowa pozioma obciążenia działa w kierunku tworzącym kąt θ z kierunkiem L′, wartość m można obliczyć z wzoru:
2 2
cos sin
L B
m=mΘ =m ⋅ Θ +m ⋅ Θ
Współczynniki uwzględniające wpływ nachylenia pod-stawy fundamentu (bi) Lancellotta [8] poleca stosować według
propozycji Hansena [5]: 2 (1 tg ) q b = − β⋅ f′ (17a) q bg=b (17b) 1 tg q c q c b b b N − = − ′ ⋅ f (17c) gdzie:
β – kąt nachylenia podstawy fundamentu w radianach (rys. 8).
Obraz zależności współczynników uwzględniających wpływ nachylenia podstawy fundamentu pokazano na rys. 9 i 10.
Wzory (17a) i (17c) mają różną postać matematyczną, jed-nak otrzymywane z nich wartości liczbowe niewiele różnią się między sobą.
Współczynniki uwzględniające nachylenia powierzchni terenu (skarpy) w sąsiedztwie fundamentu (gi) podaje Vesić [27] za Hansenem [5] w postaci wzorów:
2 (1 tg ) q g ≈gg= − ω (18a) 1 tg q c q c g g g N − = − ⋅ f a dla f = 0 2 1 2 c g = − ⋅ω π + (18b) gdzie:
ω – kąt nachylenia powierzchni terenu (rys. 11). Rys. 8. Kąt β nachylenia podstawy fundamentu
Rys. 9. Współczynniki uwzględniające nachylenie podstawy fundamentu bq = bγ
według Hansena [5]
Rys. 10. Współczynnik uwzględniający nachylenie podstawy fundamentu bc
według Hansena [5]
Rys. 11. Kąt ω nachylenia powierzchni terenu
Rys. 12. Współczynniki uwzględniające nachylenie terenu gq = gγ
Graficzny obraz współczynników uwzględniających nachy-lenie terenu przedstawiono na rys. 12 i 13.
W tabl. 1 zestawiono współczynniki nośności Ni, kształtu
podstawy fundamentu si, nachylenia obciążenia ii, nachylenia
podstawy fundamentu bi, nachylenia terenu gi.
NOŚNOŚĆ PODŁOŻA BEZ ODPŁYWU WODY W warunkach bez odpływu wody wzory na nośność oblicze-niową podłoża gruntowego podaje norma europejska Eurokod 7 w postaci 2 2 c gr u c c R q c s i b q A π = = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ′ (19) gdzie: R – nośność,
A′ = B′·L′ – pole efektywnej powierzchni fundamentu, cu – wytrzymałość gruntu na ścinanie bez odpływu,
sc, ic, bc – bezwymiarowe współczynniki uwzględniające wpływ:
kształtu podstawy fundamentu • 1 0,2 c B s L ′ = + ⋅ ′ (20)
nachylenia obciążenia, spowodowany obciążeniem poziomym
• H 1 1 1 2 c u H i A c = ⋅ + − ′⋅
z zastrzeżeniem, że H ≤ Aʹ · cu.
nachylenia podstawy fundamentu • 2 1 2 c b = − ⋅β π + (22) gdzie:
β kąt pochylenia podstawy fundamentu w radianach (rys. 8).
Zwróćmy uwagę, że w normie PN‑81/B‑03020 [30] współczynnik kształtu sc, wzór (12c), ma podobną postać:
1 0,3 c B s L ′ = + ′. WPŁYW MIMOŚRODU
W przypadku działania obciążenia mimośrodowego Meyer-hof [12] zaproponował wprowadzenie zredukowanych wymia-rów podstawy fundamentu, nazywanych odpowiednio efektyw-ną szerokością B′ i efektywefektyw-ną długością L′ (rys. 14)
2 B B′ = − ⋅B e i L′ = − ⋅L 2 eL (23) gdzie: B B M e Q = , L L M e Q = (24)
MB – moment działający w płaszczyźnie równoległej do krótszego boku
podsta-wy fundamentu, tj. B,
ML – moment działający w płaszczyźnie równoległej do dłuższego boku
pod-stawy fundamentu, tj. L (czyli moment większy, ML ≥ MB),
Q – siła osiowa działająca na fundament.
Takie stanowisko jest równoznaczne zastąpieniu mimośrodo-wego obciążenia działającego na powierzchnię A = B·L obciąże-niem osiowym działającym na powierzchnię A′ = B′·L′. Sposób ten, jak stwierdza Harr [4], jest powszechnie stosowany.
Tabl. 1. Współczynniki nośności, kształtu podstawy fundamentu, nachylenia obciążenia, nachylenia podstawy fundamentu, nachylenia terenu
Współczynniki nośności tg tg2
4 2
q
N =eπ⋅ f⋅ π f+
Nc=(Nq− ⋅1) ctgf Ng= ⋅2 (Nq− ⋅ f1) tg gdy d ≥0,5⋅f
Współczynniki kształtu podstawy q 1 sin
B s L ′ ′ = + ⋅ f ′ 1 1 q q c q s N s N ⋅ − = − sg 1 0,3 BL ′ = − ⋅ ′
Współczynniki nachylenia obciążenia 1
ctg m q H i V A c = − ′ ′ ′ + ⋅ ⋅ f 1 tg q c q c i i i N − = − ′ ⋅ f ( 1) 1 ctg m H i V A c + g = − ′ ′ ′ + ⋅ ⋅ f
Współczynniki nachylenia podstawy (1 tg )2 q b = − β⋅ f′ 1 tg q c q c b b b N − = − ′ ⋅ f bg=bq
Współczynniki nachylenia terenu (1 tg )2 q g ≈gg= − ω 1 tg q c q c g g g N − = − ⋅ f 2 (1 tg ) q g ≈gg= − ω
Rys. 13. Współczynnik uwzględniający nachylenie terenu gc
według Hansena [5]
Ten sam sposób rozumowania w przypadku fundamen-tu o podstawie kołowej prowadzi (Lancellotta, [8]) do nastę-pujących zastępczych (efektywnych) wymiarów L′(koła) = L′
i B′(koła) = B′ (rys. 15): * * L′ = A ⋅α B′ = L*′ α (25) gdzie: * sin A = ⋅A x− x π π (26)
zakreskowane pole w kształcie soczewki (rys. 15), równe po-dwójnemu odcinkowi koła o promieniu R; tutaj kąt x w radia-nach; jeżeli kąt x wyrazimy w stopniach wówczas:
( ) ( ) * sin 180 o o A = ⋅A x − x π (26a) * * * sin 2 L R R e R e R e B x + α = = ⋅ = − − (27) gdzie:
R – promień kołowej podstawy fundamentu, e – mimośród działania obciążenia,
(o)
180 π
x = ⋅x [rad] (28a)
x(o) – kąt x wyrażony w stopniach [°],
(o) 2 arccos e R
x = ⋅ (28b)
Kąt x jest to kąt środkowy, (w radianach lub stopniach), pod jakim widziana jest cięciwa przechodząca przez punkt Q, w któ-rym przyłożona jest siła Q.
W powszechnie stosowanej praktyce inżynierskiej dopusz-cza się traktowanie fundamentów o podstawie kołowej, jako fundamenty o podstawie kwadratowej. Wówczas bok kwadratu ustala się z zależności równoważności pól obu figur. W ten spo-sób otrzymujemy: Akoła = 2 4 D π⋅ A
kwadratu = L2 przy czym L = B 0,886
2
D
L= =B ⋅ π ≈ ⋅D (29)
Należy jednak pamiętać, że w rzeczywistości, w wyniku działania obciążenia mimośrodowego pojawiają się naprężenia maksymalne σmax i minimalne σmin. Gdy siła znajdzie się poza
rdzeniem przekroju, wówczas naprężenia minimalne powinny stać się naprężeniami ujemnymi (odrywającymi), ale ponieważ grunt nie przenosi rozciągań, zatem przyjmują one wartość zero przy jednoczesnym odpowiednim wzroście naprężeń ściskają-cych.
Jeśli, w przypadku prostokąta, siła Q obciążająca fundament znajduje się w rdzeniu podstawy, czyli gdy:
1 6 B L e e B ≤ − L oraz L 6 L e ≤ i 6 B B e ≤ (30) wówczas max/min L B L B M M Q A W W σ = ± ± (31)
gdzie dla prostokąta
2 6 6 L B L L W = ⋅ = ⋅A 2 6 6 B L B B W = ⋅ = ⋅A (32) ostatecznie max/min 1 6 L 6 B e e Q A L B ⋅ ⋅ σ = ⋅ ± ± (33)
Jeśli, w przypadku koła, siła Q znajduje się w rdzeniu pod-stawy, czyli gdy zachodzi relacja
1 4 e≤ ⋅R (34) wówczas naprężenia max/min Q MA W σ = ± (35)
gdzie dla koła
3 3 2 4 32 4 4 R D R R W =π⋅ =π⋅ = π⋅R ⋅ = ⋅A (36) ostatecznie max/min 4 1 4 Q Q e Q e A A R A R ⋅ ⋅ σ = ± ⋅ = ⋅ ± ⋅ (37)
Na rys 16 pokazano naprężenia kontaktowe dla prostokąta, a na rys 17 dla koła. Na rysunkach tych zestawiono wykresy naprężeń dla podstawy fundamentu o rzeczywistych wymiarach (L i B oraz 2R) i dla fundamentów o wymiarach zredukowanych L′ i B′.
Naprężenia kontaktowe pod wirtualnymi fundamentami o wymiarach zredukowanych L′ i B′ mają wartość stałą σM, równomiernie rozłożoną pod całym rzutem fundamentu (tak jak w przypadku obciążenia osiowego).
Stosunek zastępczego naprężenia kontaktowego σM, jakie wystąpiłoby pod fundamentem o zredukowanych wymiarach L′ i B′ do maksymalnego naprężenia kontaktowego σmax, dla
fun-damentu o wymiarach rzeczywistych L i B (lub 2R), wyraża się związkiem: w przypadku prostokąta – max 1 6 6 6 6 1 1 M L B L B Q A A e e e e A A Q L B L B σ = ⋅ = ⋅ ′ ⋅ ⋅ ′ ⋅ ⋅ σ ⋅ + + + + (38)
wprowadzając L L e L e = i B B e B e = (39) otrzymujemy max 1 1 (1 2 ) (1 2 ) (1 6 6 ) M L B L B σ = ⋅
σ − ⋅e ⋅ − ⋅e + ⋅e + ⋅e (40a)
dla eB = 0 otrzymujemy 2 max 1 1 (1 2 ) (1 6 ) 1 4 12 M L L L L σ = =
σ − ⋅e ⋅ + ⋅e + ⋅e − ⋅e (40b)
w przypadku koła – max 1 4 4 1 1 M Q A A e e A A Q R R σ = ⋅ = ⋅ ′ ⋅ ′ ⋅ σ ⋅ + + (41) wprowadzając R e R e = (42) otrzymujemy 2 arccose 2 arccos R R x = ⋅ = ⋅ e (43) 2 * 2 sin 2 360 2 R A′ =A = ⋅ x ⋅ π⋅R − ⋅ x (44) 1
(2 arccos ) sin (2 arccos ) 180 R R A A′= ⋅ e − ⋅ e π (45)
Rys. 16. Naprężenia kontaktowe pod prostokątnym fundamentem rzeczywistym i wirtualnym
Rys. 17. Naprężenia kontaktowe pod okrągłym fundamentem rzeczywistym i wirtualnym
Rys. 18. Stosunek σM/σmax ( –––– ) i σM/σśr ( ‑ ‑ ‑ ‑ ), gdy εL = εB dla prostokąta
Rys. 19. Stosunek σM/σmax ( –––– ) i σM/σśr ( ‑ ‑ ‑ ‑ ), gdy εB = 0 dla prostokąta
interesujący nas stosunek max 1 4 1 1 1 1 (2 arccos ) sin (2 arccos ) (1 4 )
180 M R R R A e A R σ = ⋅ = ′ ⋅ σ + = ⋅ > ⋅ e ⋅ e + ⋅e − π (46)
Warto zwrócić uwagę, że zawsze σM > σśr i σM < σmax (rys. 18 i 19), gdzie σM jest naprężeniem kontaktowym pod fundamen-tem o wymiarach zredukowanych do L′ i B′ (a więc naprężeniem równomiernie rozłożonym).
Generalnie, gdy położenie siły Q zmierza do granicy rdze-nia podstawy, wówczas stosunki naprężeń kontaktowych σM/σśr i σM/σmax (zarówno w przypadku prostokąta, jak i koła) zmierza-ją odpowiednio do wartości: 1,45 M œr σ ≈ σ i maxM 0,75 σ ≈ σ (47)
Jak widać stosowanie efektywnych wymiarów L′ i B′, we-dług propozycji Meyerhofa, na ogół prowadzi do zapasu bez-pieczeństwa.
W przypadku budowli z wysoko położonym środkiem cięż-kości (budowle zaliczamy do budowli z wysoko położonym środkiem ciężkości, jeżeli znajduje się on na wysokości h ≥ 3B), niezależnie od korzystania z wymiarów efektywnych L′ i B′, na-leży zgodnie z wymaganiami normy PN‑93/B‑03201 (punkt 5.7.2., s. 18), spełnić warunek: max min 5 σ ≤ σ (48)
Aby siła Q nie wyszła z rdzenia przekroju podstawy, wy-miary podstawy fundamentu powinny spełniać następujące wa-runki: w przypadku prostokąta – 6 ( L B) L≥ ⋅ e + α ⋅e (49a) 1 6 L B L B= ≥ ⋅ ⋅ +e e α α (49b) w przypadku koła – 4 R≥ ⋅e czyli D= ⋅ ≥ ⋅2 R 8 e (50)
W szczególnych przypadkach – i to tylko wówczas, gdy uwzględni się najniekorzystniejszy układ obciążeń, budowla nie jest odpowiedzialna i nie ma wysoko umiejscowionego środka ciężkości, norma PN‑81/B‑03020 i Eurokod 7 dopuszczają po-wstanie szczeliny pomiędzy podłożem i podstawą fundamen-tu. Według PN‑81/B‑03020 zasięg szczeliny C nie może być większy od połowy odległości C′ między prostą, przechodzącą równolegle do osi obojętnej, przez środek ciężkości całej pod-stawy a skrajnym punktem podpod-stawy, przeciwległym do punktu, w którym występuje σmax (rys. 21).
W tych szczególnych (i raczej wyjątkowych) sytuacjach, kiedy decydujemy się na powstanie szczeliny między podłożem i podstawą fundamentu, wtedy wymiary podstawy fundamentu, zgodnie z polską normą, powinny spełniać warunki:
w przypadku prostokąta – 3 ( L B) L≥ ⋅ e + α ⋅e (51a) 1 3 L B L B= ≥ ⋅ ⋅ +e e α α (51b) w przypadku koła – 2 R≥ ⋅e czyli D= ⋅ ≥ ⋅2 R 4 e (52) Dopuszczenie sytuacji, w której szczelina pod fundamentem C sięga nie dalej niż od połowy odległości C′ między prostą, przechodzącą równolegle do osi obojętnej, przez środek cięż-kości całej podstawy a skrajnym punktem podstawy, przeciwle-głym do punktu, w którym występuje σmax (rys. 21), oznacza, że
decydujemy się na „poszerzony” rdzeń podstawy fundamentu, który jest dwa razy większy od rdzenia właściwego (Wysokiń-ski i in., [29]). Granice rdzenia właściwego wynoszą L/6 i B/6, natomiast rdzenia „poszerzonego” L/3 i B/3.
Pod tym względem stanowisko normy europejskiej jest mniej ostrożne. Eurokod 7 (str. 57) zaleca tylko, aby w sytuacji, gdy
3
L
e> lub e > 0,6·R, czyli gdy:
3
L< ⋅e w przypadku prostokąta (53)
5 1,67
3
R< ⋅ =e ⋅e w przypadku koła, (54) zachować szczególne środki ostrożności. Oznacza to, że szczeli-na pod fundamentami o prostokątnej podstawie może mieć taki
sam zasięg jak to określa polska norma PN‑81/B‑03020, jednak w przypadku kołowych podstaw zasięg szczeliny C może sięgać na głębokość 0,58·R (rys. 22).
Pojawienie się normy europejskiej (i wycofanie norm PN‑B ze zbioru norm aktualnych, w marcu 2010 roku) wymusza stoso-wanie nowych uregulowań zawartych w Eurokodzie 7. Bardzo pomocnym ułatwieniem jest tu książka Wysokińskiego [29].
WPŁYW SZEROKOŚCI FUNDAMENTU
W literaturze przedmiotu brak jest informacji na temat ogra-niczenia wpływu szerokości fundamentu B przy obliczaniu nośności podłoża gruntowego. Tymczasem w niektórych przy-padkach wpływ ten jest tak znaczny, że otrzymane wartości qgr wydają się niepokojąco duże. Wyrazistość tego wpływu ujawnia się, gdy f > 15°. Oznacza to, że głównie ma to miejsce w od-niesieniu do gruntów niespoistych. Jeżeli jednocześnie wzrasta głębokość posadowienia fundamentu D, wówczas proces ten potęguje się.
Poza tym wzrost wartości osiadań s jest znaczniejszy niż wzrost wartości obciążenia granicznego qgr (a więc i qdop). Tak
więc, jeżeli szerokość fundamentu jest znaczna (np. B > 5 m), wówczas należy obowiązkowo określić wartość spodziewanych osiadań s, czyli należy projektować na drugi stan graniczny (Pieczyrak, [20]).
LITERATURA
Buisman A. S. K.: Grondmechanica. Waltman, Delft 1940. 1.
de Beer E.: Proefondervindelijke bijdrage tot de studie van het grans-2.
draagvermogen van zand onder funderingen op staal; Bepaling von der vormf-actor sb. Annales des Travaux Publics de Belgique, 68, 1967, No. 6, 481‑506; 69,
No. 1, 41‑88; No. 4, 321‑360; No. 5, 395‑442; No. 6, 495‑522.
Dembicki E.: Parcie, odpór i nośność gruntu. Arkady, Warszawa 1979. 3.
Harr M. E.: Foundations of Theoretical Soil Mechanics. Wydanie rosyj‑Wydanie rosyj-4.
skie: Izdatielstwo Litieratury po Stroitielstwu, Moskwa 1971.
Hansen J. B.: A revised and extended formula for bearing capacity. Bul-5.
letin N.28, Danish Geotechnical Institute, 1970.
Lambe T. W., Whitman R. V.: Mechanika gruntów. Tom 1, cz. I, II, III. 6.
Arkady, Warszawa 1977.
Lambe T. W., Whitman R. V.: Mechanika gruntów. Tom 2, cz. IV, V. 7.
Arkady, Warszawa 1978.
Lancellotta R.: Geotechnical Engineering. Second Edition. Taylor & 8.
Francis, Londonand New York 2009.
Liu C., Evett J. B.: Soils and Foundations. Seventh Edition, Pearson 9.
Education International, 2008.
Madej J.: O nośności granicznej podłoża uwarstwionego. Inżynieria 10.
i Budownictwo, nr 6/1977; 225‑229.
Madej J.: Nośność graniczna podłoża uwarstwionego w świetle normy 11.
PN‑81/B‑03020. VII Krajowa Konferencja Mechaniki Gruntów i Fundamento-wania. Poznań 1984, Tom II, 23‑30.
Meyerhof G. G.: The ultimate Bering capacity of foundations. Géotech-12.
nique, 2, 1951, 301‑332.
Orzechowski J.: Zastosowanie nomogramów do wyznaczania osiadań 13.
gruntu. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1967.
Pieczyrak J.: Współczynniki kształtu uwzględniające wpływ prze-14.
strzennej pracy podłoża gruntowego na jego nośność graniczną. Zeszyty Nauko-we Politechniki Śląskiej. Budownictwo, zeszyt 61. Gliwice 1985, 103‑108.
Pieczyrak J.: Projektowanie posadowień fundamentów bezpośrednich 15.
Kryterium nośności podłoża gruntowego. Gliwickie Biuro Projektów Budow-nictwa Przemysłowego, Gliwice 1985.
Pieczyrak J.: Czynniki decydujące o dokładności oceny osiadań funda-16.
mentu. Inżynieria i Budownictwo, nr 3/1992, 87‑89.
Pieczyrak J.: Analiza osiadań – metoda naprężeń. Inżynieria i Budow-17.
nictwo, nr 8/1992, 302‑304.
Pieczyrak J.: Analiza osiadań – metoda odkształceń. Inżynieria i Bu-18.
downictwo. nr 2/1993; 70‑74.
Pieczyrak J.: Nośność graniczna podłoża gruntowego według PN‑81/B‑ 19.
03020 i Eurokodu 7. XIV Krajowa Konferencja Mechaniki Gruntów i Inżynierii Geotechnicznej „Problemy geotechniczne posadowień na gruntach słabych”; 21‑23 czerwca 2006 Białystok‑Augustów. Tom 2, ss. 197‑211.
Pieczyrak J.: Wpływ szerokości fundamentu na jego nośność i osiada-20.
nie. Materiały niepublikowane, 2012.
Poulos H. G., Davis E. H.: Elastic solutions for soil and rock mechan-21.
ics. John Wiley & Sons, Inc. New York, London, Sydney, Toronto 1974. Schultze E.: Erdstatische Berechnungen. VGB, Aachen 1967. 22.
Terzaghi K.: Theoretical Soil Mechanics. New York 1943. 23.
Terzaghi K., Peck R. B.: Soil Mechanics In Engineering Practice. Sec-24.
ond Edition. John Wiley & Sons, New York – Chichester – Brisbane – Toronto 1967.
Vesić A. S.: Research on Bearing Capacity of Soils (unpublished), 25.
1970.
Vesić A. S.: Analysis of ultimate loads of shallow Foudations. JSMFD, 26.
ASCE, 1, 1973, 45‑73.
Vesić A. S.: Foundation Engineering Handbook. Edited by Hans F. 27.
Winterkorn & Hsai‑Yang Fang. Van Nostrand Reinhold Company, New York, Cincinnati, Toronto, London, Melbourne. Rozdział 3: „Bearing capacity of shal‑„Bearing capacity of shal‑Bearing capacity of shal-low foundations”, 1975, 121‑147.
Wiłun Z.: Zarys geotechniki. Wydanie 6. Wydawnictwa Komunikacji 28.
i Łączności Sp. z o.o., Warszawa 1987.
Wysokiński L., Kotlicki W., Godlewski T.: Projektowanie geotechnicz-29.
ne według Eurokodu 7. Poradnik. Instytut Techniki Budowlanej, 2011. PN‑81/B‑03020 Grunty budowlane. Posadowienie bezpośrednie bu-30.
dowli. Obliczenia statyczne i projektowanie.
Geotechnika. Projektowanie posadowień bezpośrednich zmiana PN‑ 31.
81/B‑03020.
PN‑EN 1997‑1. Eurokod 7: Projektowanie geotechniczne – Część 1: 32.
Zasady ogólne.
PN‑93/B‑03201. Kominy. Obliczenia i projektowanie. 33.
Kontrola osiadania gruntów wzmacnianych wierconymi ko-lumnami żwirowymi opiera się na dwuetapowym podejściu do zagadnienia osiadania [2, 5, 8]. Budowa elementów wierconych kolumn żwirowych tworzy sztywniejszą strefę ze zmniejszo-ną ściśliwością, redukując osiadanie nasypów i budowli zwią-zanych z transportem. Osiadanie poniżej strefy wzmocnionej wierconymi kolumnami żwirowymi wyznacza się tradycyjnym podejściem geotechnicznym.
Całkowite osiadania scałk budowli stanowi sumę osiadania strefy górnej suz oraz strefy poniżej wzmocnionego obszaru stz:
scałk = suz + stz (1)
OSIADANIE W STREFIE WZMOCNIONEJ Osiadanie w strefie wzmocnionej wierconymi kolumna-mi żwirowykolumna-mi (górna strefa) określa się w funkcji naprężenia w górnej części kolumn żwirowych qg wyznaczonego z równa-nia: 1 g g g a a n q = ⋅q n R R − + (2) gdzie:
q – średni nacisk na podłoże,
Ra – stosunek przekroju poprzecznego obszaru pokrytego elementami wierconej
kolumny żwirowej do przekroju gruntu rodzimego,
ng – wskaźnik koncentracji naprężenia między elementami wierconej kolumny
żwirowej a gruntem rodzimym.
Pomierzona i przyjęta wartość wskaźnika koncentracji dla fundamentów sztywnych wynosi od 4 do 45. W przypadku fun-damentów wiotkich wskaźnik koncentracji naprężenia może być mniejszy niż zaobserwowany przy fundamentach sztywnych; należy dobierać go z dużą ostrożnością.
Osiadanie strefy wzmocnionej wierconymi kolumnami żwi-rowymi określone jest wzorem:
g uz g q s k = (3) gdzie:
qg – naprężenie w górnej części wierconej kolumny żwirowej,
kg – moduł sztywności (sprężystości) wierconej kolumny żwirowej.
W obliczeniu osiadania górnej strefy uwzględniono odkształ-cenie wierconych kolumn żwirowych, bez uwzględnienia gruntu pomiędzy kolumnami, a uzyskane wyniki pomiarów wskazują jedynie niewielkie nierównomierne osiadanie pomiędzy górną częścią wierconych kolumn żwirowych a gruntem rodzimym. W nasypach o dużej wysokości wpływ na powierzchniowe osia-danie podłoża jest mniejszy. Wynika to z powstania w płasz-czyźnie styku gruntu macierzystego z nasypem przesklepienia w nasypie spowodowanego sztywnością wierconych kolumn żwirowych.
OSIADANIE PODŁOŻA PONIŻEJ STREFY WZMOC-NIONEJ WIERCONYMI KOLUMNAMI ŻWIROWYMI
Osiadanie poniżej strefy wzmocnionej wierconymi kolum-nami żwirowymi określa się na podstawie analizy osiadań sprę-żystych (4) lub osiadań konsolidacyjnych (5) tej strefy:
tz q H s E D ⋅ = (4) lub 1 log 1 o tz c o o p H s c H e p + D = ⋅ + + (5) gdzie:
H – miąższość dolnej warstwy (poniżej wierconych kolumn żwirowych), E – moduł odkształcenia gruntu rodzimego strefy dolnej,
cc – wskaźnik ściśliwości gruntu rodzimego,
eo – wskaźnik porowatości gruntu rodzimego,
po – składowa pionowa naprężenia efektywnego w środku warstwy ściśliwej,
Dq – średni nacisk wywierany przez budowlę lub nasyp.
Średni nacisk jest iloczynem wywieranego nacisku i współ-czynnika oddziaływania naprężenia I6. Współczynnik oddziały-wania naprężenia wewnątrz dolnej strefy, ze względu na dużą szerokość konstrukcji, przyjmuje się równy 1.
W gruntach ziarnistych oraz pęczniejących prekonsolido-wanych gruntach spoistych do obliczeń osiadania przyjmuje się moduł odkształcenia. Wartość modułu odkształcenia gruntu rodzimego może być wyznaczona z korelacji badań sondowa-nia sondą SPT, badań wytrzymałości na ścinanie bez odpływu, badań sondowania CPT lub innych badań in situ.
PRĘDKOŚĆ OSIADAŃ
Wartość osiadań po zakończeniu budowy może być zredu-kowana poprzez użycie wierconych kolumn żwirowych zbudo-wanych z kruszywa spełniającego funkcję drenów pionowych. Obliczenie radialnego drenażu służyć może do określenia pozio-mu rozproszenia nadwyżki ciśnienia wody w porach. Wartość rozproszenia ciśnienia wody w porach występująca w okresie budowy służyć może do określenia osiadań występujących po ukończeniu budowy.
PRĘDKOŚĆ OSIADANIA W STREFIE WZMOCNIONEJ WIERCONYMI KOLUMNAMI ŻWIROWYMI Radialny drenaż wierconych kolumn żwirowych można wy-znaczyć metodą Barrona. Określa się tu czas osiadania t w zależ-ności od czynnika czasu T współczynnika radialnej konsolidacji cr i kwadratu efektywnej długości drenażu de według wzoru: Prof. zw. dr hab. inż. Eugeniusz Dembicki – Politechnika Gdańska. Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska
Mgr inż. Michel Wojnarowicz – Sepia G.C. Paris, mgr inż. Grzegorz Augustyniak – Gdańsk
