Analiza matematyczna 2

Analiza matematyczna 2

lista zada« nr 10  caªki krzywoliniowe Przypomnienie

• Je±li F i G s¡ funkcjami dwóch zmiennych, to ~A = (F, G)(±ci±lej: ~A(x, y) = (F (x, y), G(x, y))) nazywamy polem wektorowym.

• Je±li Γ jest krzyw¡ kawaªkami gªadk¡, a γ(t) = (x(t), y(t)) jej parametryzacj¡, γ : [a, b] → R², to mamy trzy rodzaje caªek krzywoliniowych (po lewej stronie symbolu^def= s¡ oznaczenia, po prawej  denicje):

Z

Γ

f ds^def= Zb

a

f (γ(t)) γ⁰(t)

dt = Z b

a

f (x(t), y(t)) q

(x⁰(t))²+ (y⁰(t))²dt,

Z

Γ

A · d~~ r = Z

Γ

(F dx + G dy)^def= Zb

a

A(γ(t)) · γ~ ⁰(t)dt = Z b

a

(F (x(t), y(t))x⁰(t) + G(x(t), y(t))y⁰(t))dt,

Z

Γ

A · d~~ n = Z

Γ

(F dy − G dx)^def= Zb

a

A(γ(t)) · ~~ n(t) γ⁰(t)

dt = Zb

a

(F (x(t), y(t))y⁰(t) − G(x(t), y(t))x⁰(t))dt.

• Je±li Γ jest krzyw¡ zamkni¦t¡, to piszemy I

Γzamiast Z

Γi zwykle zakªadamy, Γ jest zorientowana dodatnio.

• Twierdzenie Greena: je±li D jest obszarem, którego brzeg jest zorientowan¡ dodatnio krzyw¡ Γ kawaªkami gªadk¡, to dla dowolnych funkcji F , G o ci¡gªych pochodnych cz¡stkowych na D ∪ Γ zachodzi

I

Γ

(F dx + G dy) = Z Z

D

 ∂G

∂x−∂F

∂y

 dx dy.

• Gradient: ∇f = ∂f

∂x,∂f

∂y

 . Laplasjan: ∆f(x, y) = ∂²f

∂x² +∂²f

∂y². Dywergencja: div ~A = ∂Ax

∂x +∂Ay

∂y ; tutaj ~A = (Ax, Ay).

Rozgrzewka

1. Oblicz caªki krzywoliniowe (przyjmij orientacj¦ w prawo):

Z

Γ

(x²ydx + xy²dy), Γ =(x, y) : y = 1 − x², −1 ≤ x ≤ 1 , Z

Γ

√x ds, Γ =



(x, y) : y = 2

3(x − 1)√

x − 1, 1 ≤ x ≤ 2

 . 2. Prze¢wicz oznaczenia:

• je±li f jest funkcj¡ dwóch zmiennych, to ∇f jest polem wektorowym;

• je±li f oraz g s¡ funkcjami dwóch zmiennych, to ∇f · ∇g jest funkcj¡ skalarn¡;

• zachodzi wzór ∇(fg) = f∇g + g∇f;

• zachodzi wzór ∆f = div∇g.

‚wiczenia rachunkowe

1. Niech Γ b¦dzie póªokr¦giem (x, y) : x²+ y²= 4, y ≥ 0

o pocz¡tku w punkcie (2, 0) i ko«cu (−2, 0)(w ten sposób ustalamy orientacj¦ Γ). Oblicz caªki krzywoliniowe:

Z

Γ

yds,

Z

Γ

(ydx + 0dy),

Z

Γ

(0dx + ydy).

2. Oblicz prac¦ siªy spr¦»ysto±ci ~F (x, y) = (−x, −y) wzdªu» krzywej o parametryzacji γ(t) = (t, t²− 1), t ∈ (0, 1).

3. Ruch powietrza opisany jest przez pole wektorowe ~V (x, y) = (2y, y − x). Oblicz ilo±¢ powietrza przepªywaj¡cego przez: (a) odcinek ª¡cz¡cy punkty (0, 0) i (1, 1); (b) wycinek paraboli y = x² ª¡cz¡cy te same punkty.

4. Skomentuj wynik poprzedniego zadania w ±wietle twierdzenia Greena: rozwa» obszar zawarty pomi¦dzy dwiema krzywymi z poprzedniego zadania oblicz odpowiedni¡ caªk¦ podwójn¡.

‚wiczenia teoretyczne

W poni»szych zadaniach zakªadamy, »e D i Γ speªniaj¡ zaªo»enia tw. Greena.

1. Udowodnij, »e caªka krzywoliniowa z pola wektorowego nie zale»y od parametryzacji, tj. je±li

˜

γ(t) = γ(h(t)) s¡ równowa»nymi parametryzacjami krzywej gªadkiej Γ (tzn. γ : [a, b] → R²,

˜

γ : [c, d] → R² s¡ gªadkie, h : [c, d] → [a, b] jest ró»niczkowalna i rosn¡ca), to Z b

a

A(γ(t)) · γ~ ⁰(t)dt = Z d

c

A(˜~ γ(r)) · ˜γ⁰(r)dr.

2. Stosuj¡c wzór Greena dla odpowiednich funkcji F i G udowodnij twierdzenie o dywergencji:

I

Γ

(f dy − gdx) = Z Z

D

 ∂f

∂x +∂g

∂y

 dx dy.

Innymi sªowy, je±li ~a(x, y) = (f(x, y), g(x, y)), to I

Γ

~a(x, y) · d~n = Z Z

D

div ~a(x, y)dx dy.

3. Udowodnij, »e div(u∇v) = u∆v + ∇u · ∇v.

4. Udowodnij pierwszy wzór Greena:

I

Γ

u∇v · d~n = Z Z

D

(u∆v + ∇u · ∇v) dx dy.

(wstaw do twierdzenia o dywergencji ~a(x, y) = u(x, y)∇v(x, y)).

5. Udowodnij drugi wzór Greena:

I

Γ

(u∇v − v∇u) · d~n = Z Z

D

(u∆v(x, y) − v∆u) dx dy.

(wstaw do twierdzenia o dywergencji ~a(x, y) = u(x, y)∇v(x, y)).

6. Korzystaj¡c z twierdzenia Greena udowodnij, »e pole obszaru D wyra»a si¦ wzorem I

Γ

(0dx+xdy).

Mateusz Kwa±nicki