Metody numeryczne – Wykład 1 – reprezentacja zmiennopozycyjna liczb rzeczywistych

Metody numeryczne – Wykład 1 – reprezentacja zmiennopozycyjna liczb

rzeczywistych

Marek Bazan

III rok - Elektornika

Semestr zimowy 2020/2021

Plan zajęć

1. Reprezentacja zmienno-pozycyjna liczb. Definicje i własności.

I Liczby całkowite I Liczby rzeczywiste

2. Błędy obliczeń numerycznych

I Błąd bezwzględny i błąd względny (przykłady) I Błąd reprezentacji

I Błąd działań arytmetycznych I Błąd przybliżania pochodnej 3. Zadania źle uwarunkowane

I Zadanie źle uwarunkowane I Zadanie dobrze uwarunkowane

Reprezntacja licz całkowitych - repreznetacja stałopozycyjna

Parametry: podstawa β, liczba cyfr maksymalnej liczby L Cyfry: dL−2. . . , d1, d0 ∈ {0, . . . , β − 1}. Znak: z ∈ {0, 1}.

LZM = z(dL−2. . . d1d0)β

= (−1)^z(d_L−2β^L−2+ · · · + d₁β¹+ d₀β⁰). (1) Dla β = 2 mamy d_i ∈ {0, 1} dla (i = 0, . . . , L − 2) mamy, gdy L jest liczbą bitow, to można w tej notacji zapamiętać liczby z zakresu

[−2^L−1+ 1, 2^L−1− 1]. (2) Dla L = 8 mamy zakres [−2⁷+ 1, 2⁷− 1] ≡ [−127, 127].

Taką reprezentację nazywamy repreznetacją Znak Moduł (ZM).

Reprezntacja liczb całkowitych (2) - repreznetacja stałopozycyjna

Reprezentacja uzupełnieniowa do 2.

Cyfry: d_L−1, . . . , d₁, d₀∈ {0, 1}

LU2 = (dL−1dL−2. . . d1d0)U2

= (−2^L−1)dL−1+ 2^L−2dL−2+ · · · + d12¹+ d02⁰. (3) Dla L = 8 mamy zakres [−2⁷, 2⁷− 1] ≡ [−128, 127].

Liczby dodatnie są zapamiętane tak jak w kodzie ZM Liczby ujemne zapisujemy następującym algorytmem

1. Zapisz liczbę przeciwną tak jak w ZM 2. Dokonaj inwersji bitów

3. Zwiększ wynik o 1

UWAGA: Zaletą kodu U2 jest to, że w operacjach takich jak dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mnożenie nie trzeba osobno rozpatrywać znaku.

Reprezntacja liczb rzeczywistych - repreznetacja zmiennopozycyjna

Zbiór liczb zmienno-pozycyjnych oznaczamy przez F . Definiujemy go przyjmując oznaczenia

· β ∈ N i β ­ 2 – podstawa,

· t – dokładność,

· d₁ = β − 1, d₂, . . . , d_t ∈ {0, . . . , β − 1}, – cyfry,

· z = {0, 1} – bit znaku,

· L, U ∈ Z (L < U) – zakres cechy e ∈ Z, tzn. L ¬ e ¬ U.

Wówczas x ∈ F ma wartość

x = (−1)^z

d₁ β + d₂

β² + · · · + d_t β^t



| {z }

mantysa

·β cecha

z}|{e .

Nadmiar, niedomiar

1. Niedomiar:

Najmniejsza mantysa, najmniejsza cecha

d1= 1, d2== d3== · · · == dt == 0, e = L 2. Nadmiar:

Największa mantysa, majwiększa mantysa

d1 == d2 == d3 == · · · == dt == 1, e = U

Błędy obliczeń numerycznych Błąd bezwzględny i błąd względny

Dla wartości dokładniej x ∈ R przybliżanej w arytmetyce zmienno-pozycyjnej za pomocą wartości ˜x mamy

1. Błąd bezwględny ,

δ = |˜x − x | 2. Błąd względny,

 = |˜x − x |

|x|

częściej spotykamy się z zapisem

˜

x = x (1 + )

Błędy względny przykład – błąd reprezentacji i operacji arytmetyczych

Dla wartości dokładniej x ∈ R przybliżanej w arytmetyce

zmienno-pozycyjnej za pomocą najbliższej wartości ˜x ze zbioru F rd(x ) = x (1 + )

gdzie  ∈ O(2^−t) czyli zależy tylko i wyłącznie od liczby cyfr w mantysie.

Dalej mamy operacje arytmetyczne  ∈ {+, −, /, ∗}. Dla arytmetyki rd mamy

rd(x  y ) = (x  y )(1 + ).

Błędy bezwzględny przykład – błąd przybliżania pochodnej rzędu O(h)

Definicja pochodnej

f⁰(x ) = lim

h→0

f (x + h) − f (x ) h

Szereg Taylora

f (x + h) = f (x ) + h

1!f⁰(x ) + h²

2!f⁰⁰(x ) + h³

3!f⁰⁰⁰(x ) + . . . Przekształcając mamy

h

1!f⁰(x ) = f (x + h) − f (x ) − h²

2!f⁰⁰(x ) − h³

3!f⁰⁰⁰(x ) + . . . f⁰(x ) = f (x + h) − f (x )

h − h

2!f⁰⁰(x ) −h²

3!f⁰⁰⁰(x ) + . . .

Zadania źle uwarunkowane

Definicja:

Zadanie źle uwarunkowane to takie, dla którego mała zmiana danych wejściowych powoduje dużą zmianę wyniku.

Przykład:

Zadanie rozwiązywania równań liniowyc. Jeśli hiperpłaszczyzny odpowiadające rówaniom są zbliżone do równoległych to zadanie jest, źle uwarunkowane.

Definicja: Współczynnik uwarunkowania:

Niech z : Rⁿ → R^m będzie peweną funkcją, x ∈ Rⁿ dokładną wartością argumentu, a ˜x ∈ Rⁿ będzie przybliżeniem x.

Jeśli istnieje κ ∈ R taka, że

∀x, ˜x : ||z(x) − z(˜x)||_R^m

||z(x)||_R^m ¬ κ||x − ˜x||_Rⁿ

||x||_Rⁿ to κ nazywamy współczynnikiem uwarunkowania zadania.

Jeśli κ jest małe zadanie jest dobrze uwarunkowane. Dla κ dużego zadanie jest źle uwarunkowane.

Zadania źle uwarunkowane

Zadanie źle uwarunkowane - wyznaczanie zer wielomianu Wilkinsona

w (x ) =

20

Y

i =1

(x − i ) = (x − 1)(x − 2) . . . (x − 20).

Jeśli zmienimy współcz. przy x¹⁹o 2⁻²³z 210 na 210.0000001192 to https://en.wikipedia.org//wiki//Wilkinson%27s polynomial

Dziekuję za uwagę ...