27.11.2018, kl 1b
Aksjomaty liczb rzeczywistych.
D1 ∀a,b∈Ra + b = b + a (przemienność dodawania), D2 ∀a,b,c∈R(a + b) + c = a + (b + c) (łączność dodawania), D3 ∃0∈R∀a∈Ra + 0 = a (istnienie elementu zerowego), D4 ∀a∈R∃b∈Ra + b = 0 (istnienie elementu przeciwnego).
M1 ∀a,b∈Ra · b = b · a (przemienność dodawania)„
M2 ∀a,b,c∈R(a · b) · c = a · (b · c), (łączność mnożenia), M3 ∃1∈R∀a∈Ra · 1 = a (istnienie jedynki),
M4 ∀06=a∈R∃b∈Ra · b = 1 (istnienie elementu odwrotnego).
MD ∀a,b,c∈R(a + b) · c = a · c + b · c (rozdzielność mnożenia względem dodawania).
ZJ 0 6= 1.
N1 ∀a,b,c∈Rb < c =⇒ a + b < a + c (monotoniczność dodawania), N2 ∀a,b,c∈R(a > 0 ∧ b < c) =⇒ a · b < a · c (monotoniczność mnożenia) , N3 ∀a,b,c∈R(a < b ∧ b < c) =⇒ a < c (przechodniość relacji <),
N4 ∀a,b∈Rzachodzi dokładnie jedna z możliwości a < b ∨ a = b ∨ a > b (trychotomia relacji <).
Definicja Ograniczeniem górnym zbioru A ⊂ R nazywamy dowolną liczbę m o własności: ∀a∈Aa ¬ m.
Zbiór, który ma ograniczenie górne nazywamy ograniczonym z góry.
C Dla dowolnego ograniczonego z góry podzbioru A ⊂ R wśród wszystkich ograniczeń górnych zbioru A istnieje liczba najmniejsza. Liczbę tę nazywamy kresem górnym zbioru A. (aksjomat ciągłości (zupełności)) Udowodnij korzystając wyłącznie z aksjomatów:
1. Element zerowy z D3 jest wyznaczony jednoznacznie. Podobnie, jedynka w E3 jest wyznaczona jedno- znacznie.
2. ∀a∈Ra · 0 = 0,
3. ∀a,b∈Ristnieje dokładnie jedna liczba c ∈ R taka, że a + c = b. W szczególności, element b taki, że a + b = 0 jest jedyny i oznaczamy go przez −a. Podobnie, dla dowolnej liczby a 6= 0 istnieje dokładnie jedna liczba b ∈ R taka, że a · b = 1. Oznaczamy ją przez 1a (odwrotność liczby a).
4. −a = (−1) · a, −(−a) = a.
5. Dla dowolnych a, b, c, d ∈ R, jeśli a < b i c < d, to a + c < b + d,
6. Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c, d, jeśli a < b i c < d, to a · c < b · d, 7. Jeśli x > 0, to −x < 0.
8. a2 0.
9. 1 > 0.
10. (a + b)2= a2+ 2 · a · b + b2. 11. Jeśli ab = 0, to a = 0 lub b = 0.
12. Uzasadnij, że 23−35 = 151.
13. Uzasadnij, że zbiór liczb rzeczywistych spełnia wszystkie (powyższe) aksjomaty liczb rzeczywistych poza aksjomatem ciągłości.
