Całka krzywoliniowa nieskierowana w R
3Wstęp
Definicja
Łuk zwykły to linia w R3 o jednym końcu w pewnym punkcie A(x1, y1, z1) i drugim końcu B(x2, y2, z2), która nie przecina się sama z sobą.
Uwaga
Równanie łuku w R3 można przedstawić parametrycznie:
x = x (t) y = y (t) z = z(t)
t ∈ [α; β] x (t), y (t), z(t) – funkcje ciągłe
Wstęp
Definicja
Łuk zwykły to linia w R3 o jednym końcu w pewnym punkcie A(x1, y1, z1) i drugim końcu B(x2, y2, z2), która nie przecina się sama z sobą.
Uwaga
Równanie łuku w R3 można przedstawić parametrycznie:
x = x (t) y = y (t) z = z(t)
t ∈ [α; β] x (t), y (t), z(t) – funkcje ciągłe
Wstęp
Definicja
Jeżeli w przedstawieniu parametrycznm łuku:
a) pochodne x0(t), y0(t), z0(t) są funkcjami ciągłymi, b) (x0(t))2+ (y0(t))2+ (z0(t))2 6= 0 dla każdego t ∈ [α; β]
to mówimy ołuku gładkim (regularnym).
Łuk, który można podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich, nazywamy łukiem kawałkami gładkim (kawałkami regularnym).
Definicja
Jeżeli A = B, tzn. oba końce łuku są tym samym punktem, to mówimy o łuku zamkniętym. W przeciwnym przypadku mamy do czynienia złukiem otwartym.
Wstęp
Definicja
Jeżeli w przedstawieniu parametrycznm łuku:
a) pochodne x0(t), y0(t), z0(t) są funkcjami ciągłymi, b) (x0(t))2+ (y0(t))2+ (z0(t))2 6= 0 dla każdego t ∈ [α; β]
to mówimy ołuku gładkim (regularnym).
Łuk, który można podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich, nazywamy łukiem kawałkami gładkim (kawałkami regularnym).
Definicja
Jeżeli A = B, tzn. oba końce łuku są tym samym punktem, to mówimy o łuku zamkniętym. W przeciwnym przypadku mamy do czynienia złukiem otwartym.
Wstęp
Definicja
Jeżeli nie jest istotne, czy punkt A jest początkiem, a punkt B końcem łuku, czy też jest odwrotnie, to mówimy o łuku nieskierowanym (oznaczamy go zwykle literą L lub K ).
Jeżeli przeciwnie, wyróżniamy początek i koniec łuku (nadajemy łukowi kerunek), to mówimy ołuku skierowanym (oznaczamy go wtedy symbolem
>AB).
Ważne przedstawienia parametryczne
Odcinek AB, gdzie A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2):
x (t) = x1+ (x2− x1)t y (t) = y1+ (y2− y1)t z(t) = z1+ (z2− z1)t
t ∈ [0; 1]
Linia śrubowa o skoku H nawinięta na walec o równaniu (x − x0)2+ (y − y0)2= R2:
x (t) = x0+ R cos t y (t) = y0+ R sin t z(t) = 2πHt
t ∈ R
Ważne przedstawienia parametryczne
Odcinek AB, gdzie A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2):
x (t) = x1+ (x2− x1)t y (t) = y1+ (y2− y1)t z(t) = z1+ (z2− z1)t
t ∈ [0; 1]
Linia śrubowa o skoku H nawinięta na walec o równaniu (x − x0)2+ (y − y0)2= R2:
x (t) = x0+ R cos t y (t) = y0+ R sin t z(t) = 2πHt
t ∈ R
Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej nieskierowanej
Uwaga
Przedstawienie parametryczne danego łuku nie jest jednoznaczne (ten sam łuk można przedstawić parametrycznie na nieskończenie wiele sposobów).
Definicja
Załóżmy, że L jest łukiem gładkim oraz że w każdym punkcie tego łuku jest określona ciągła funkcja f (x , y , z).
Całkę krzywoliniową nieskierowaną w R3 określamy wzorem:
Z
L
f (x , y , z) dl = Z β
α
f (x (t), y (t), z(t))q(x0(t)2+ (y0(t))2+ (z0(t))2dt
jeżeli L jest łukiem danym parametrycznie.
Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej nieskierowanej
Uwaga
Przedstawienie parametryczne danego łuku nie jest jednoznaczne (ten sam łuk można przedstawić parametrycznie na nieskończenie wiele sposobów).
Definicja
Załóżmy, że L jest łukiem gładkim oraz że w każdym punkcie tego łuku jest określona ciągła funkcja f (x , y , z).
Całkę krzywoliniową nieskierowaną w R3 określamy wzorem:
Z
L
f (x , y , z) dl = Z β
α
f (x (t), y (t), z(t))q(x0(t)2+ (y0(t))2+ (z0(t))2dt
jeżeli L jest łukiem danym parametrycznie.
Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej nieskierowanej
Uwaga
Przedstawienie parametryczne danego łuku nie jest jednoznaczne (ten sam łuk można przedstawić parametrycznie na nieskończenie wiele sposobów).
Definicja
Załóżmy, że L jest łukiem gładkim oraz że w każdym punkcie tego łuku jest określona ciągła funkcja f (x , y , z).
Całkę krzywoliniową nieskierowaną w R3 określamy wzorem:
Z
L
f (x , y , z) dl = Z β
α
f (x (t), y (t), z(t))q(x0(t)2+ (y0(t))2+ (z0(t))2dt
jeżeli L jest łukiem danym parametrycznie.
Zastosowania całki krzywoliniowej nieskierowanej
Długość łuku L:
|L| = Z
L
dl
Całkowity ładunek elektryczny zgromadzony na łuku L: Q =
Z
L
%(x , y , z) dl
gdzie %(x , y , z) – gęstość liniowa ładunku elektrycznego
Zastosowania całki krzywoliniowej nieskierowanej
Długość łuku L:
|L| = Z
L
dl
Całkowity ładunek elektryczny zgromadzony na łuku L:
Q = Z
L
%(x , y , z) dl
gdzie %(x , y , z) – gęstość liniowa ładunku elektrycznego
Zastosowania całki krzywoliniowej nieskierowanej
Natężenie pola elektrycznego indukowane w danym punkcie
P0(x0, y0, z0) /∈ L przez ładunek elektryczny zgromadzony na łuku L:
E =~ 1 4πε0
Z
L
(~r − ~r0)%(x , y , z)
||~r − ~r0||3 dl
gdzie: ε0 – stała dielektryczna próżni
~
r0 = ~OP0 = [x0, y0, z0] – wektor wodzący punktu P0,
~
r = ~OP = [x , y , z] – wektor wodzący punktu P(x , y , z) ∈ L,
%(x , y , z) – gęstość liniowa ładunku elektrycznego na łuku L,
||~r − ~r0|| =q(x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2
