Całka krzywoliniowa nieskierowana w R

Całka krzywoliniowa nieskierowana w R

2

Wstęp

Definicja

Łuk zwykły to linia w R² o jednym końcu w pewnym punkcie A(x₁, y₁) i drugim końcu B(x₂, y₂), która nie przecina się sama z sobą.

Uwaga

Równanie łuku w R² można przedstawić: parametrycznie:

( x = x (t)

y = y (t) t ∈ [α; β] x (t) i y (t) – funkcje ciągłe jawnie:

y = g (x ), x ∈ [a; b] lub x = h(y ), y ∈ [c; d ] g (x ), odpowiednio h(y ) – funkcje ciągłe w układzie biegunowym:

r = r (ϕ), ϕ ∈ [ϕ₁; ϕ₂] r (ϕ) – funkcja ciągła

Wstęp

Definicja

Łuk zwykły to linia w R² o jednym końcu w pewnym punkcie A(x₁, y₁) i drugim końcu B(x₂, y₂), która nie przecina się sama z sobą.

Uwaga

Równanie łuku w R² można przedstawić:

parametrycznie:

( x = x (t)

y = y (t) t ∈ [α; β] x (t) i y (t) – funkcje ciągłe

jawnie:

y = g (x ), x ∈ [a; b] lub x = h(y ), y ∈ [c; d ] g (x ), odpowiednio h(y ) – funkcje ciągłe w układzie biegunowym:

r = r (ϕ), ϕ ∈ [ϕ₁; ϕ₂] r (ϕ) – funkcja ciągła

2

Wstęp

Definicja

Łuk zwykły to linia w R² o jednym końcu w pewnym punkcie A(x₁, y₁) i drugim końcu B(x₂, y₂), która nie przecina się sama z sobą.

Uwaga

Równanie łuku w R² można przedstawić:

parametrycznie:

( x = x (t)

y = y (t) t ∈ [α; β] x (t) i y (t) – funkcje ciągłe jawnie:

y = g (x ), x ∈ [a; b] lub x = h(y ), y ∈ [c; d ] g (x ), odpowiednio h(y ) – funkcje ciągłe

w układzie biegunowym:

r = r (ϕ), ϕ ∈ [ϕ₁; ϕ₂] r (ϕ) – funkcja ciągła

Wstęp

Definicja

Łuk zwykły to linia w R² o jednym końcu w pewnym punkcie A(x₁, y₁) i drugim końcu B(x₂, y₂), która nie przecina się sama z sobą.

Uwaga

Równanie łuku w R² można przedstawić:

parametrycznie:

( x = x (t)

y = y (t) t ∈ [α; β] x (t) i y (t) – funkcje ciągłe jawnie:

y = g (x ), x ∈ [a; b] lub x = h(y ), y ∈ [c; d ] g (x ), odpowiednio h(y ) – funkcje ciągłe w układzie biegunowym:

r = r (ϕ), ϕ ∈ [ϕ₁; ϕ₂] r (ϕ) – funkcja ciągła

2

Wstęp

Definicja

Jeżeli w przedstawieniu parametrycznm łuku:

a) pochodne x⁰(t) i y⁰(t) są funkcjami ciągłymi, b) (x⁰(t))²+ (y⁰(t))² 6= 0 dla każdego t ∈ [α; β]

to mówimy ołuku gładkim (regularnym).

Łuk, który można podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich, nazywamy łukiem kawałkami gładkim (kawałkami regularnym). Definicja

Jeżeli A = B, tzn. oba końce łuku są tym samym punktem, to mówimy o łuku zamkniętym. W przeciwnym przypadku mamy do czynienia złukiem otwartym.

Wstęp

Definicja

Jeżeli w przedstawieniu parametrycznm łuku:

a) pochodne x⁰(t) i y⁰(t) są funkcjami ciągłymi, b) (x⁰(t))²+ (y⁰(t))² 6= 0 dla każdego t ∈ [α; β]

to mówimy ołuku gładkim (regularnym).

Łuk, który można podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich, nazywamy łukiem kawałkami gładkim (kawałkami regularnym).

Definicja

Jeżeli A = B, tzn. oba końce łuku są tym samym punktem, to mówimy o łuku zamkniętym. W przeciwnym przypadku mamy do czynienia złukiem otwartym.

2

Wstęp

Definicja

Jeżeli w przedstawieniu parametrycznm łuku:

a) pochodne x⁰(t) i y⁰(t) są funkcjami ciągłymi, b) (x⁰(t))²+ (y⁰(t))² 6= 0 dla każdego t ∈ [α; β]

to mówimy ołuku gładkim (regularnym).

Łuk, który można podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich, nazywamy łukiem kawałkami gładkim (kawałkami regularnym).

Definicja

Jeżeli A = B, tzn. oba końce łuku są tym samym punktem, to mówimy o łuku zamkniętym. W przeciwnym przypadku mamy do czynienia złukiem otwartym.

Wstęp

Definicja

Jeżeli nie jest istotne, czy punkt A jest początkiem, a punkt B końcem łuku, czy też jest odwrotnie, to mówimy o łuku nieskierowanym (oznaczamy go zwykle literą L lub K ).

Jeżeli przeciwnie, wyróżniamy początek i koniec łuku (nadajemy łukowi kerunek), to mówimy o łuku skierowanym(oznaczamy go wtedy symbolem

>AB).

2

Wstęp

Definicja

Jeżeli nie jest istotne, czy punkt A jest początkiem, a punkt B końcem łuku, czy też jest odwrotnie, to mówimy o łuku nieskierowanym (oznaczamy go zwykle literą L lub K ).

Jeżeli przeciwnie, wyróżniamy początek i koniec łuku (nadajemy łukowi kerunek), to mówimy ołuku skierowanym (oznaczamy go wtedy symbolem

>AB).

Ważne przedstawienia parametryczne

Odcinek AB, gdzie A(x1, y1), B(x2, y2):

( x (t) = x₁+ (x₂− x₁)t

y (t) = y1+ (y2− y₁)t t ∈ [0; 1]

Okrąg o promieniu R i środku w punkcie S (x₀, y₀): ( x (t) = x0+ R cos t

y (t) = y₀+ R sin t t ∈ [0; 2π]

Uwaga

Przedstawienie parametryczne danego łuku nie jest jednoznaczne (ten sam łuk można przedstawić parametrycznie na nieskończenie wiele sposobów).

2

Ważne przedstawienia parametryczne

Odcinek AB, gdzie A(x1, y1), B(x2, y2):

( x (t) = x₁+ (x₂− x₁)t

y (t) = y1+ (y2− y₁)t t ∈ [0; 1]

Okrąg o promieniu R i środku w punkcie S (x₀, y₀):

( x (t) = x0+ R cos t

y (t) = y₀+ R sin t t ∈ [0; 2π]

Uwaga

Przedstawienie parametryczne danego łuku nie jest jednoznaczne (ten sam łuk można przedstawić parametrycznie na nieskończenie wiele sposobów).

Ważne przedstawienia parametryczne

Odcinek AB, gdzie A(x1, y1), B(x2, y2):

( x (t) = x₁+ (x₂− x₁)t

y (t) = y1+ (y2− y₁)t t ∈ [0; 1]

Okrąg o promieniu R i środku w punkcie S (x₀, y₀):

( x (t) = x0+ R cos t

y (t) = y₀+ R sin t t ∈ [0; 2π]

Uwaga

Przedstawienie parametryczne danego łuku nie jest jednoznaczne (ten sam łuk można przedstawić parametrycznie na nieskończenie wiele sposobów).

2

Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej nieskierowanej

Definicja

Załóżmy, że L jest łukiem gładkim oraz że w każdym punkcie tego łuku jest określona ciągła funkcja f (x , y ).

Całkę krzywoliniową nieskierowaną w R² określamy wzorem: Z

L

f (x , y ) dl = Z β

α

f (x (t), y (t)) q

(x⁰(t)²+ (y⁰(t))²dt jeżeli L jest łukiem danym parametrycznie;

Z

L

f (x , y ) dl = Z b

a

f (x , g (x )) q

1 + (g⁰(x ))²dx jeżeli L jest łukiem danym jawnym wzorem y = g (x );

Z

L

f (x , y ) dl = Z d

c

f (h(y ), y ) q

1 + (h⁰(y ))²dy jeżeli L jest łukiem danym jawnym wzorem x = h(y );

Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej nieskierowanej

Definicja

Załóżmy, że L jest łukiem gładkim oraz że w każdym punkcie tego łuku jest określona ciągła funkcja f (x , y ).

Całkę krzywoliniową nieskierowaną w R² określamy wzorem:

Z

L

f (x , y ) dl = Z β

α

f (x (t), y (t)) q

(x⁰(t)²+ (y⁰(t))²dt jeżeli L jest łukiem danym parametrycznie;

Z

L

f (x , y ) dl = Z b

a

f (x , g (x )) q

1 + (g⁰(x ))²dx jeżeli L jest łukiem danym jawnym wzorem y = g (x );

Z

L

f (x , y ) dl = Z d

c

f (h(y ), y ) q

1 + (h⁰(y ))²dy jeżeli L jest łukiem danym jawnym wzorem x = h(y );

2

Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej nieskierowanej

Definicja

Załóżmy, że L jest łukiem gładkim oraz że w każdym punkcie tego łuku jest określona ciągła funkcja f (x , y ).

Całkę krzywoliniową nieskierowaną w R² określamy wzorem:

Z

L

f (x , y ) dl = Z β

α

f (x (t), y (t)) q

(x⁰(t)²+ (y⁰(t))²dt jeżeli L jest łukiem danym parametrycznie;

Z

L

f (x , y ) dl = Z b

a

f (x , g (x )) q

1 + (g⁰(x ))²dx jeżeli L jest łukiem danym jawnym wzorem y = g (x );

Z

L

f (x , y ) dl = Z d

c

f (h(y ), y ) q

1 + (h⁰(y ))²dy jeżeli L jest łukiem danym jawnym wzorem x = h(y );

Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej nieskierowanej

Definicja

Załóżmy, że L jest łukiem gładkim oraz że w każdym punkcie tego łuku jest określona ciągła funkcja f (x , y ).

Całkę krzywoliniową nieskierowaną w R² określamy wzorem:

Z

L

f (x , y ) dl = Z β

α

f (x (t), y (t)) q

(x⁰(t)²+ (y⁰(t))²dt jeżeli L jest łukiem danym parametrycznie;

Z

L

f (x , y ) dl = Z b

a

f (x , g (x )) q

1 + (g⁰(x ))²dx jeżeli L jest łukiem danym jawnym wzorem y = g (x );

Z

L

f (x , y ) dl = Z d

c

f (h(y ), y ) q

1 + (h⁰(y ))²dy

jeżeli L jest łukiem danym jawnym wzorem x = h(y );Całka krzywoliniowa nieskierowana w R² 6 / 9

Określenie i sposób obliczania całki krzywoliniowej nieskierowanej

Definicja - c.d.

Z

L

f (x , y ) = Z ϕ2

ϕ1

f (r cos ϕ, r sin ϕ) q

(r (ϕ))²+ (r⁰(ϕ))²d ϕ jeżeli L jest łukiem danym we współrzędnych biegunowych.

Zastosowania całki krzywoliniowej nieskierowanej

Długość łuku L:

|L| = Z

L

dl

Pole powierzchni walcowej jak na rysunku:

|S| = Z

L

f (x , y ) dl

2

Zastosowania całki krzywoliniowej nieskierowanej

Długość łuku L:

|L| = Z

L

dl

Pole powierzchni walcowej jak na rysunku:

Z

Zastosowania całki krzywoliniowej nieskierowanej

Całkowity ładunek elektryczny zgromadzony na łuku L:

Q = Z

L

%(x , y ) dl gdzie %(x , y ) – gęstość liniowa ładunku elektrycznego

Natężenie pola elektrycznego indukowane w danym punkcie P₀(x₀, y₀) /∈ L przez ładunek elektryczny zgromadzony na łuku L:

E =~ 1 4πε₀

Z

L

(~r − ~r₀)%(x , y )

||~r − ~r₀||³ dl gdzie: ε0 – stała dielektryczna próżni

~

r₀ = ~OP₀ = [x₀, y₀] – wektor wodzący punktu P₀,

~

r = ~OP = [x , y ] – wektor wodzący punktu P(x , y ) ∈ L,

%(x , y ) – gęstość liniowa ładunku elektrycznego na łuku L,

||~r − ~r₀|| =^q(x − x₀)²+ (y − y₀)²

2

Zastosowania całki krzywoliniowej nieskierowanej

Całkowity ładunek elektryczny zgromadzony na łuku L:

Q = Z

L

%(x , y ) dl gdzie %(x , y ) – gęstość liniowa ładunku elektrycznego

Natężenie pola elektrycznego indukowane w danym punkcie P₀(x₀, y₀) /∈ L przez ładunek elektryczny zgromadzony na łuku L:

E =~ 1 4πε₀

Z

L

(~r − ~r₀)%(x , y )

||~r − ~r₀||³ dl gdzie: ε0 – stała dielektryczna próżni

~

r₀ = ~OP₀ = [x₀, y₀] – wektor wodzący punktu P₀,

~

r = ~OP = [x , y ] – wektor wodzący punktu P(x , y ) ∈ L,

%(x , y ) – gęstość liniowa ładunku elektrycznego na łuku L,

||~r − ~r || =^q(x − x )²+ (y − y )²