4. Całka krzywoliniowa nieskierowana w

4. Całka krzywoliniowa nieskierowana w

R³ 4.1 Łuki w R ³

Łukiem zwykłym w przestrzeni R nazywamy zbiór wszystkich punktów ³ ) 3

, ,

(x y z R

M = ∈ takich, Ŝe

), (t x

x= y= y(t), z=z(t), t∈

[ ]

α^,β ,

gdzie funkcje ^x, ^y,^z∈^C([α,β]), przy czym róŜnym wartościom parametru t∈

(

α^,β

)

odpowiadają róŜne punkty M .

Łuk L⊂R³ nazywamy otwartym, jeŜeli ^x(α)≠ ^x(β) lub ^y(α)≠ ^y(β) lub )

( ) (α ^z β

z ≠ .

Łuk L⊂R³ nazywamy zamkniętym, jeŜeli ^x(α)= ^x(β) i ^y(α)= ^y(β) i )

( ) (α ^z β

z = .

Łuk L⊂R³ nazywamy regularnym (gładkim), jeŜeli funkcje ^x, ^y, ^z∈^C1([α,β]) oraz

[ ] [

^{x′(t)2 + y′(t)}

] [ ]

^{2 + z′(t) 2 >0 dla} t∈

[ ]

α^,β .

Łuk L⊂R³ nazywamy kawałkami regularnym (kawałkami gładkim), jeŜeli przedział

[ ]

α^,β moŜna podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów tak, aby w kaŜdym z nich łuk był łukiem regularnym (gładkim).

ŁukL⊂R³, w którym wyróŜniono początek i koniec, nazywamy łukiem

skierowanym, w przeciwnym przypadku mówimy, Ŝe L⊂R³ jest łukiem nieskierowanym.

JeŜeli ^A=(^x(α),^y(α),^z(α)) jest początkiem, a punkt ^B=(^x(β),^y(β),^z(β)) jest końcem łuku L⊂R³, to łuk ten moŜemy zapisać takŜe

= AB∪

L .

Przykłady

Łuk L⊂R³ mający przedstawienie parametryczne

( )

( )

( )







⋅

− +

=

⋅

− +

=

⋅

− +

=

t z z z z

t y y y y

t x x x x L

1 2 1

1 2 1

1 2 1

: gdzie 0≤t≤1

jest odcinkiem na płaszczyźnie łączącym punkty A=(x₁,y₁,z₁) i B=(x₂,y₂,z₂), czyli AB

L= .

Łuk L⊂R³o przedstawieniu parametrycznym











= +

= +

= h t z

t R y y

t R x x L

π 2

sin cos

: ₀

0

gdzie ⁰≤t≤²π

jest pierwszym zwojem linii śrubowej o skoku h , nawiniętym na walec

2 2 0 2

0) ( )

(x−x + y−y = R .

4.2 Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej w R ³ Niech łuk L⊂R³ ma przedstawienie parametryczne

), (t x

x= y= y(t), z =z(t), ^t∈

[ ]

^{α,β ,}

gdzie funkcje ^x, ^y,^z∈^C1([α,β]) oraz f :L→R, f ∈C(L), f = f(x,y,z). Wtedy całkę krzywoliniową nieskierowaną po łuku L określamy wzorem

[ ] [ ] [ ]

∫

⁼

∫

^{′ + ′ + ′}

L

DEF

dt t z t y t

x t z t y t x f dl

z y x f

β α

2 2

2 ( ) ( )

) ( )) ( ), ( ), ( ( )

, ,

( .

Przykład

Obliczyć całkę

∫

=

L

dl

I , gdzie 0 1

2 3 3 :

3

2 ≤ ≤







=

=

=

t t

z t y

t x

L .

Mamy zgodnie z definicją

[ ] [ ] [ ]

∫

^{+ + =}

∫

^{+ + = ⋅}

∫

^{+ =}

= ¹

0

1

0

1

0

2 2 4

2 2 2 2

2 6 6 9 36 36 3 (1 2 )

3 t t dt t t dt t dt

I

( ) [ ]

∫

^{+ = ⋅ + =}

⋅¹

0

1 0 3 3 2 2

5 3

2 1

3 t dt t t .

Uwaga

JeŜeli dla określenia łuku L⊂R³ wprowadzimy funkcję wektorową

(

^{( ), ( ), ( )}

)

)

(t x t y t z t rr =

, gdzie α ≤t≤β

gdzie funkcje ^x, ^y,^z∈^C1([α,β]), to całkę krzywoliniową nieskierowaną z funkcji R

L

f : → , f ∈C(L) moŜna zapisać w postaci

∫

⁼

∫

^{⋅ ′}

L

dt t r t r f dl r f

β α

) ( )) ( ( )

(r r r

, gdzie

(

^{( ), ( ), ( )}

)

)

(t x t y t z t rr′ = ′ ′ ′

, ^{rr =}

(

^x,y,z

)

^{, rr′(t) =}

[ ] [

^{x′(t) 2 + y′(t)}

] [ ]

^{2 + z′(t)2 .}

4.3 Zastosowania całki krzywoliniowej nieskierowanej w R³

- Długość łuku

Długość łuku L⊂R³ wyraŜa się wzorem

∫

=

L

dl

L .

W dalszym ciągu będziemy zakładać, Ŝe L⊂ R³ jest łukiem regularnym o gęstości liniowej masy µ =µ(x,y,z), przy czym µ∈C(L). JeŜeli łuk L jest jednorodny, to

0 =const.

=µ µ

- Masa łuku

∫

=

L

dl z y x

m µ( , , ) ^.

- Momenty statyczne

- względem płaszczyzny Oxy

∫

^⋅

=

L

xy z x y z dl

MS µ( , , ) ^,

- względem płaszczyzny Oxz

∫

^⋅

=

L

xz y x y z dl

MS µ( , , ) ^.

- względem płaszczyzny Oyz

∫

^⋅

=

L

yz x x y z dl

MS µ( , , ) ^.

- Współrzędne środka masy

(

xC yC zC

)

C = , ,

m x_C = MS^yz ,

m y_C = MS^xz ,

m z_C = MS^xy .

- Momenty bezwładności - względem osi Ox

∫

^{+ ⋅}

=

L

x y z x y z dl

I ( ^{2 2}) µ( , , ) ^, - względem osi Oy

∫

^{+ ⋅}

=

L

y x z x y z dl

I ( ^{2 2}) µ( , , ) ^, - względem osi Oz

∫

^{+ ⋅}

=

L

z x y x y z dl

I ( ^{2 2}) µ( , , ) ^, - względem punktu O=(0,0,0)

∫

^{+ + ⋅}

=

L

O x y z x y z dl

I ( ^{2 2 2}) µ( , , ) ^. - NatęŜenie pola elektrycznego

Niech P₀ =(x₀,y₀,z₀)∈R³ będzie punktem ustalonym, P=(x,y,z)∈L⊂ R³ - punktem zmiennym łuku regularnego L . Wektory wodzące tych punktów oznaczmy odpowiednio przez rr0 =OP0

, rr =OP

, gdzie O=(0,0,0). NatęŜenie pola indukowane w punkcie P przez ₀

ładunek elektryczny o gęstości liniowej (rr) µ

µ = , rozłoŜony w sposób ciągły na łuku L wyraŜa się wzorem

∫

⁻ ₋^⋅

⋅

= ⁻

L

dl r

r

r r

E r ₃

0 1 0

0

) ( ) ) (

4

( r r

r r

r πε r µ ^,

gdzie ε₀ - stała dielektryczna próŜni, rr−rr₀ = PP₀ = (x−x₀)² +(y−y₀)² +(z−z₀)² .

Przykład

Wyznaczyć połoŜenie środka masy odcinka AB , gdzie A=(1,2,3), B=(0,2,2), jeŜeli gęstość liniowa masy tego odcinka jest równa µ(x,y,z)= xyz^.

Odcinek AB ma opis parametryczny







−

=

=

−

= t z

y t x AB

3 2 1

: 0≤t≤1.

Masa tego odcinka wynosi

( ) ( ) ( )

∫

⁼

∫

^{⋅ − ⋅ − ⋅ − + + − = ⋅}

∫

^{− + =}

=

AB

dt t t dt

t t dl

xyz m

1

0

1

0

2 2

2

2 0 ( 1) 2 2 3 4

) 1 ( 3

1 2

[

^{3 2}

]

²

2

2 ⋅ − ² +₃^{1 3 1}₀ =⁸₃

= t t t .

Obliczymy teraz momenty statyczne

( )

∫

^{⋅ =}

∫

^{⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅}

∫

^{− + − =}

=

AB

xy z xyzdl t t dt t t t dt

MS

1

0

1

0

3 2

2 2 2 2 9 15 7

) 3 ( ) 1 ( 2

[

⁹

]

²

2

2 ⋅ −¹⁵₂ ² + ₃^{7 3} −₄^{1 4 1}₀ = ⁴³₆

= t t t t ,

( )

∫

^{⋅ =}

∫

^{⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅}

∫

^{− + =}

=

AB

xz y xyzdl t t dt t t dt

MS

1

0

1

0

3 2 16

2 4

3 2 4 2 ) 3 ( ) 1 (

4 ,

( )

∫

^{⋅ =}

∫

^{⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅}

∫

^{− + − =}

=

AB

yz x xyzdl t t dt t t t dt

MS

1

0

1

0

3 2

2 (3 ) 2 2 2 3 7 5

) 1 ( 2

[

³

]

²

2

2 ⋅ −₂^{7 2} +₃^{5 3} −¹₄ ^{4 1}₀ =¹¹₆

= t t t t .

Wobec tego

16 11 2

2

3 8 6

11 =

C =

x , y_C =2,

16

= 43

zC ,

(

16

)

43 16 11,2,

=

C .

Przykład

Wyznaczyć momenty bezwładności odcinka AB , gdzie A=(1,2,3), B=(0,2,2), jeŜeli gęstość liniowa masy tego odcinka jest równa µ(x,y,z)= y⋅(z−x)^.

Korzystając z przedstawienia parametrycznego tego odcinka, podanego w poprzednim przykładzie mamy kolejno

(

^{13 6}

)

^{4 2}

[

^{13 3}

]

²

2 4 ) ( )

( ¹₀ ¹²⁴₃

1

0

3 3 2 1 2

2

2 + ⋅ ⋅ − = ⋅ − + = ⋅ − + =

=

∫

^{y z y z x dl}

∫

^{t t dt t t t}

I

AB

x ,

(

^{10 8 2}

)

^{4 2}

[

^{10 4}

]

²

2 4 ) ( )

( ¹₀ ⁸⁰₃

1

0

3 3 2 2 2

2

2 + ⋅ ⋅ − = ⋅ − + = ⋅ − + =

=

∫

^{x z y z x dl}

∫

^{t t dt t t t}

I

AB

y ,

(

^{5 2}

)

^{4 2}

[

⁵

]

²

2 4 ) ( )

( ¹₀ ⁵²₃

1

0

3 3 2 1 2

2

2 + ⋅ ⋅ − = ⋅ − + = ⋅ − + =

=

∫

^{x y y z x dl}

∫

^{t t dt t t t}

I

AB

z ,

( )

3 ²

128 2

1⋅ + + =

= _{x y z}

O I I I

I .