WYKŁAD 4

(1)

WYKŁAD 4

1.3. Przestrzeni. Odwzorowania. Rząd macierzy. Twierdzenie Croneckera- Capellego

1.3.1. Przestrzeń ⁿ. Przestrzeń wektorowa. Baza przestrzeni wektorowej 1A78 (Przestrzeń ⁿ). Niech ⁿ oznacza zbiór wszystkich ciągów

n-elementowych o wyrazach należących do , to jest zbiór uporządkowanych n-ek liczb rzeczywistych. Ciągi takie będziemy zapisywali w kolumnach

j ij n1

X x

  

   (to jest ⁿ= ^n¹) i nazywali wektorami (kolumnowymi). Wtedy działania z wektorami (dodawanie wektorów, mnożenie przez liczbę (skalar)) są zdefiniowane tak samo jak odpowiednie działania z macierzami:

11 12

1 2 1 2 1

1 2

[ _i _i ]_n ...

n n

x x

X X x x

x x



  

 

     

  

 

,  X₁ [x_i₁]_n_₁.

Zbiór ⁿ z tak zdefiniowanymi działaniami nazywamy przestrzenią liniową lub wektorową (n-wymiarową). Element X ⁿ może być utożsamiany z punktem w przestrzeni ⁿ czyli z wektorem o początku w zerze i końcu w tym właśnie punkcie (jest to wektor wodzący tego punktu). Przestrzeń ² nazywamy płaszczyzną (liczbową).

1A+B79 (Definicja). Przestrzenią wektorową nad ciałem F nazywamy zespół złożony z dowolnego zbioru , z ciała F i dwu działań: dodawania (wewnętrznego) określonego w zbiorze  i mnożenia przez liczbę ze zbioru F (zewnętrznego) spełniających następujące postulaty:

79.1) dodawanie wektorów jest działaniem przemiennym:

x+y=y+x i łącznym:

(x y)  z x (y dla dowolnych , ,z) x y z  ;

79.2) istnieje element zerowy 0: x  dla dowolnego x ; 0 x 79.3) dla każdego elementu x  istnieje element x  przeciwny (odwrotny): x   ; ( x) 0

79.4) mnożenie przez liczbę jest rozdzielne względem dodawania w zbiorze : (x y) x y

      ( F; x y, ) i względem dodawania w zbiorze F:

(    )x x x (   , F; x );

79.5)    ( x) ( )x (   , F; x );

(2)

79.6) w F istnieje element jednostkowy 1 taki, że 1   . x x, x Elementy  nazywamy wtedy wektorami.

1A+B+C80 (Przykłady).

80.1) jest przestrzenią wektorową nad (tzn. nad sobą);

80.2) zbiór wektorów jako skierowanych odcinków na płaszczyźnie ze standardowymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę nad współrzędnymi;

80.3) ⁿ jest przestrzenią wektorową nad ;

80.4) zbiór ^{m n}^ wszystkich macierzy o wymiaru m n nad ; 80.5) zbiór ciągów zbieżnych;

80.6) zbiór C[0,1] wszystkich ciągłych funkcji określonych w zbiorze [0,1] itd.

1A81 (Definicja). Niech

; ⁿ, 1

j xj xj xij n

  

      dla 1,2,..,j  k.

Wyrażenie _{1 1}x  _{2 2}x   ... _{k k}x nazywamy kombinacją liniową wektorów

1, 2,... _k

x x x ze współczynnikami  ₁, ₂,... . Jeżeli _k       ₁ ₂ ... _k 0, to kombinacja jest trywialna, w przeciwnym przypadku kombinację nazywamy nietrywialną.

1A82 (Definicja). Wektory x x₁, ₂,...x nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli _k istnieje ich nietrywialna liniowa kombinacja zerowa, to jest jeżeli istnieją liczby

1, 2,... _k

   , nie wszystkie równe 0, takie że

1 1x 2 2x ... _{k k}x 0

       . (1) W przeciwnym przypadku: _{1 1}x  _{2 2}x   ... _{k k}x  0       ₁ ₂ ... _k 0 wektory x x₁, ₂,...x nazywamy liniowo niezależnymi. _k

Zauważmy, że wektory x x₁, ₂,...x są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy _k gdy układ (1) równań x_i_{1 1}  ... x_ik  (_k 0 i1,2,..,n) ma tylko jedno rozwiązanie (zerowe).

1A+B83 (Twierdzenie). Wektory x x₁, ₂,...x _n ⁿ są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy det _ij 0

x n n

  

   , gdzie x_j x_{i j}_n_₁ dla j 1,2,..,n (to znaczy wyznacznik elementami którego są współrzedne tych wektorów jest różny od zera).

1A+B84 (Twierdzenie). Wektory x x₁, ₂,...x_k są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z nich można wyrazić przez kombinację liniową pozostałych wektorów.

(3)

1A85 (Definicja). Bazą przestrzeni liniowej ⁿ będziemy nazywali zbiór n liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni.

1A+B86 (Definicja). Bazą przestrzeni liniowej  nazywamy taki zbiór liniowo niezależnych wektorów, że dowolny wektor tej przestrzeni można wyrazić przez kombinację liniową wektorów bazy.

Przestrzeń wektorową posiadającą bazę skończoną nazywamy przestrzenią skończenie wymiarową. Wtedy ilość elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni  i oznaczamy symbolem dim. Przestrzeń nieposiadającą bazy skończonej nazywamy przestrzenią nieskończenie wymiarową.

Wtedy dim  .

Dla przestrzeni skończenie wymiarowej bazę tworzy zbiór wektorów złożony z największej liczby liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni. Wtedy bazą przestrzeni liniowej ⁿ będzie zbiór n liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni.

1A+B+C87 (Ćwiczenie). Zbadać, które przestrzenie z 1A+B+C80 są skończenie wymiarowe i znaleźć ich bazę.

1A+B88 (Definicja). Niepusty podzbiór M przestrzeni wektorowej  nad ciałem F nazywamy podprzestrzenią przestrzeni  , jeżeli

88.1) x y, M  x y M, 88.2)   F; x M  x M

(dodawanie i mnożenie przez liczbę nie wywodzi z M ).

Zbiór M jest wtedy sam przestrzenią wektorową nad ciałem F.

1A89 (Definicja). Wektory e e₁, ₂,...,e _n ⁿ tworzą bazę standardową (kanoniczną), jeżeli macierz _{i j}

e n n

  

  jest jednostkowa, gdzie

j i j n 1

e e

  

 

 dla

j=1,…,n.

1A+B90 (Twierdzenie). Każdy wektor przestrzeni ⁿ można zapisać jako kombinację liniową wektorów bazy. Współczynniki tej kombinacji (to jest rozwinięcia wektora w tej bazie) dla danego wektora są wyznaczone

jednoznacznie i nazywa się współrzędnymi tego wektora w tej bazie.

Niech wektory e e₁, ₂,...,e _n ⁿ i e e' , ' ,..., '₁ ₂ e _n ⁿ tworzą dwie różne bazy w

n. Biorąc dowolny wektor x x e_{1 1} ... x e_{n n} x e'₁ '₁ ... x e'_n '_n o współrzędnych x x₁, ₂,...x w starej bazie _n e e₁, ₂,...,e i _n x' ,..., '₁ x w nowej bazie _n

(4)

' ,..., '1 _n

e e w przestrzeni ⁿ (w szczególności, e'_j e e₁_j ₁ ... e e_{n j n} dla j=1,…,n), otrzymujemy:

1 1 1 1 1 1

' ' ' ( ' )

n n n n n n

i i j j j ij i ij j i

i j j i i j

x x e x e x e e e x e

     

          .

Z powyższego oraz z jednoznaczności współrzędnych (1A+B90) wynika, że

1

'

n

i i j j

j

x e x

  dla i=1,…,n. Wtedy

1A+B91 (Twierdzenie: zmiana bazy). Niech

1

n

x x

x

  

  

   i

'1

'

'_n x x

x

 

 

  

 

 

będą wektorami współrzędnych wektora x w odpowiednio (starej) bazie e e₁, ₂,...,e i _n w (nowej) bazie e' ,..., '₁ e w przestrzeni _n ⁿ. Wtedy możemy zapisać relację między starymi x x₁, ₂,...x i nowymi _n x' , ' ,... '₁ x ₂ x współrzędnymi: _n

', ' 1

xE x x E^ x, (2) gdzie macierz E e_{ij n n}

  

   nazywamy macierzą zmiany bazy. W (2) j-a kolumna macierzy E jest kolumną współrzędnych j-go wektora 'e nowej bazy _j w starej bazie.

1A92 (Definicja). Baza v₁,...,v przestrzeni _n ⁿ jest bazą własną macierzy A, jeśli każdy wektor bazy jest wektorem własnym macierzy A. Jeżeli baza własna istnieje, macierz A nazywamy macierzą prostej struktury.

1A+B93 (Twierdzenie). Niech A będzie macierzą struktury prostej o wymiaru n n i v¹,...,v jej bazą własną, _n ^S ^



^v₁^,...,^v_n



jest macierzą zmiany bazy (baza własna jest nową bazą). Wtedy macierz

 

1 1 2

1

0 ... 0

,...,

0 0 ...

n

S^ AS diag

 

  

 

     

 

  

 

jest macierzą diagonalną, gdzie ₁,..., są wartościami własnymi macierzy _n A. 1.3.2. Odwzorowanie liniowe. Jądro i obraz przekształcenia liniowego

1A94 (Definicja). Odwzorowanie f : ⁿ ^m nazywamy liniowym, jeśli spełnia ono następujące własności:

94.1) x y,  ⁿ: (f xy) f x( ) f y( ) (addytywność);

(5)

94.2)  x ⁿ, : (f   x) f x( ) (jednorodność).

1A95 (Przykład). Odwzorowanie f x( ) Ax, gdzie A  a_{i j} _{m n}_ , x ⁿ, jest liniowe ( f : ⁿ ^m).

Okazuje się, że przykład 1A95 opisuje wszystkie takie odwzorowania liniowe ( ⁿ ^m).

1A+B96 (Twierdzenie). Każde odwzorowanie liniowe f : ⁿ ^m ma postać ( )

f x  Ax dla pewnej macierzy A.

Dowód (B). Niech wektory e e₁, ₂,...e _n ⁿ i e' , ' ,... '₁ e ₂ e _m ^m tworzą bazę w

n i ^m odpowiednio i Af e( ),..., ( )₁ f e_n , gdzie

1

( ) '_i

m m

j i j

i

f e e e





 (3) Wtedy

1

1 1 (3)

1 1 1 1 1

' .

( ) ( ... ) ( ) ' ( ) '

m

m i i

i

n n m m n

n n j j j ij i ij j i

j j i i j

y e y

f x f x e x e x f e x e e e x e



    

  

     



    

Stąd mamy

1 n

i i j j

j

y e x





^dla ⁱ^^1,...,^m^czyli ^y^ ^Ax^ ^{f x}^{( )}^{, gdzie}

1 1

n, m

n m

x y

   

   

    

   

   

.  Macierz Af e( ),..., ( )₁ f e_n  nazywamy reprezentacją macierzową odwzorowania f : ⁿ ^m odpowiednio w bazach e e₁, ₂,...e w _n ⁿ i

1 2

' , ' ,... '_m

e e e w ^m.

1B+C97 (Fakt). Wszystkie przestrzenie wektorowe jednego wymiaru nad jednym ciałem są izomorficzne między sobą i są izomorficzne przestrzeniFⁿ (przestrzeń ciągów x₁,...,x elementów ciała _n F).

1A98 (Definicja). Odwzorowanie liniowe T   M przestrzeni wektorowych :

 i M nazywamy przekształceniem liniowym tych przestrzeni (niektórzy autorzy uważają, że   M). Wtedy jądrem KerT przekształcenia liniowego T

(6)

nazywamy zbiór wektorów przestrzeni  przechodzących w wektor zerowy przestrzeni M . Symbolicznie ^KerT ^



^x^^{: ( )}^{T x} ^⁰



^.

KerT nigdy nie jest zbiorem pustym, mamy zawsze 0KerT.

Obrazem Im T przekształcenia liniowego T   M nazywamy zbiór : wektorów przestrzeni M , w których T przeprowadza wektory przestrzeni .

Symbolicznie ^Im^T ^



^y^^M^:^y^^{T x}^{( ),} ^x^



^.

ImT nie jest nigdy zbiorem pustym (wektor zerowy przestrzeni M jest zawsze elementem tego zbioru).

1A99 (Przykład). Niech T   M będzie przekształceniem liniowym. Wtedy : istnieje macierz A[a_{i j}]_{m n}_ taka, że T x( ) A x. Mamy zatem: KerT Ker A jest zbiorem rozwiązań układu jednorodnego Ax 0, a ImT ImA jest zbiorem wektorów b ⁿ, dla których układ niejednorodny Ax b ma rozwiązanie.

1A+B100 (Twierdzenie). Niech A będzie reprezentacją macierzową przekształcenia liniowego T: ⁿ ⁿ, a S będzie macierzą zmiany bazy w

n. Wtedy macierz S AS^¹ jest reprezentacją macierzową tego przekształcenia w nowej bazie.

Dowód. Mamy: xS x y', S y y T x',  ( )Ax. Stąd wynika:

1 1 1

' '

y S y^ S A x^ S AS x^ .  1B101 (Twierdzenie). Jądro przekształcenia liniowego :T   M jest

podprzestrzenią przestrzeni , a obraz T jest podprzestrzenią przestrzeni M . 1A+B+C102 (Ćwiczenie).

102.1. Sprawdzić liniową zależność wektorów:

a) a b c, , ; b) b c d, , ; jeżeli

1 1 1 1

1 , 2 , 1 , 3 ;

0 0 3 3

a b c d

       

       

       



    

oraz znaleźć współrzędne wektora d w bazie a b c, , . Sprawdzić, czy wektor d jest kombinacją liniową wektorów b i c.

102.2. W jaki sposób można zbadać, czy podane wektory tworzą bazę przestrzeni.

102.3. Znaleźć wartości i wektory własne macierzy A oraz reprezentację macierzową przekształcenia liniowego y A x w bazie własnej.

102.4. W jaki sposób można sprawdzić liniowość danego odwzorowania i przedstawić w postaci macierzowej.

(7)

102.5. Zbadać, czy zbiór ³: x

y x y z

z

  

  

  

   

 

   będzie podprzestrzenią

przestrzeni ³, znaleźć bazę.

102.6. Niech P_n oznacza zbiór wielomianów stopnia

s s ,  n ,

i f P: _n P_n_₁:

1 1 2

0 1 1 0 1 1.

( ) ⁿ ⁿ ... _n _n ( ) ⁿ ( 1) ⁿ ... _n

p x a x a x ^  a _ x a  f p na x ^  n a x ^  a _ Znaleźć reprezentację macierzową odwzorowania f.

1.3.3. Rząd macierzy. Twierdzenie Croneckera-Capellego

Niech A  a_ij _{m n}_ ^def a₁,...,a_n będzie macierzą o m wierszach i n kolumnach nad zbiorem (ciałem  poziom C) liczb rzeczywistych . Każda j-ta kolumna a macierzy jest ciągiem elementów _j a₁_j,...,a (ciała _mj ) i może być traktowana jako element (wektor) przestrzeni ^m. Wtedy mówimy, że kolumny

1,...,

i ik

a a macierzyAsą liniowo zależne, jeżeli istnieją nie wszystkie równe zeru liczby rzeczywiste ₁, ,_k takie, że

1 1 ... 0

k k

i i

a  a 

   . W przeciwnym

przypadku tzn. jeżeli

1 1 ... 0

k k

i i

a  a 

   to  ₁ ₂  _k 0, mówimy, że kolumny są liniowo niezależne. Podobnie definiujemy liniową zależność, niezależność wierszy.

1A103 (Definicja). Rzędem (kolumnowym) macierzy A nazywamy największą liczbę kolumn macierzy A liniowo niezależnych. Na oznaczenie tej liczby używamy symbolu rank A lub rz A . _k

Dokładniej: rz A_k  , jeżeli istnieje wśród kolumn macierzy p A p kolumn liniowo niezależnych i jeżeli każde p  kolumn są liniowo zależne. 1

1B+C104 (Twierdzenie). Niech A ^{m n}^ . Wtedy rząd kolumnowy macierzy A jest równy wymiarowi podprzestrzeni przestrzeni ^m generowanej przez kolumny macierzy A, to jest rz A_k dim{_{1 1}a   ... _{n n}a : _i ;i1,..., }n ; wymiarem przestrzeni wektorowej nazywamy największą liczbę liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni.

1B105 (Uwaga). Przestrzeń ^m jest m -wymiarowa, a macierz

A

ma n kolumn. Tym samym wymiar przestrzeni generowanej przez kolumny macierzy

A

nie może przekraczać ani liczby m, ani liczby n. Zatem rz A_k min{ , }m n .

(8)

1A+B106 (Uwaga). Macirzy A przy dowolnie ustalonych bazach e₁,...,e i _n ' ,..., '1 _m

e e przestrzeni ⁿ i ^m odpowiada przekształcenie liniowe

: ⁿ ^m

TA  , T_A( )x Ax. Rzędem rz T przekształcenia liniowego _A T _A

nazywamy wymiar przestrzeni ImT . Elementami j-ej kolumny macierzy _A A są przy tym współrzędne względem bazy e' ,..., '₁ e _m wektora T e_A( _j). Maksymalna ilość liniowo niezależnych wektorów T e_A( ),...,₁ T e_A( _n) jest tym samym równa rzędowi macierzy A. Z drugiej strony liczba ta jest równa wymiarowi przestrzeni ImT . Zatem _A rz T_Arz A_k dim ImA i to niezależnie od wyboru baz przestrzeni ⁿ i ^m.

1A+B107 (Twierdzenie: operacje elementarne na kolumnach). Rzędu kolumnowego macierzy

A

nie zmienia żadna z trzech następujących operacji:

107.1) przestawienie dwu dowolnych kolumn,

107.2) pomnożenie przez liczbę różną od zera którejkolwiek kolumny,

107.3) dodanie do którejś kolumny innej kolumny pomnożonej przez dowolną liczbę ciała .

Schemat dowodu. Dla 107.1): wektory a₁,..., ,...,a_i a_j,...,a są liniowo _k niezależne (wektory a₁,...,a_j,..., ,...,a_i a są liniowo niezależne); dla 87.2): _k wektory a₁,...,a są liniowo niezależne _k

(_{1 1}a   ... _i_₁a_i_₁ _ia_i  _i_₁a_i_₁  ... _ka_k 0

1 ... _i_1 _i _i_1 ... _k 0) ( 1 1a ... _i_1a_i_1 ⁱ ( a_i) _i_1a_i_1 ...

                      



1 1 1

0 ... ⁱ ... 0)

kak i_  i_ k

             



wektory a₁,...,a_i_₁,a a_i, _i_₁,...,a_k są liniowo niezależne (  ; dla 87.3): 0)

1,..., ,...,_i _j,..., _k

a a a a są liniowo niezależne

B

 a1,...,a_i,...,a_j a a_i,...,a_k są liniowo niezależne. 

1A+B108 (Uwaga). W podobny sposób można zdefiniować (określić) rząd wierszowy rz A_w macierzy

A

jako największą liczbę wierszy liniowo niezależnych, jeżeli będziemy traktować ciągi elementów a_i₁,...,a_{i n} (i1,..., )m jako wektory (o współrzędnych a_i₁,...,a_{i n}) przestrzeni ⁿ. Rzędu wierszowego macierzy nie zmienia żadna z trzech następujących operacji (nazywamy je operacjami elementarnymi na wierszach):

108.1) przestawienie dwu dowolnych wierszy,

108.2) pomnożenie któregokolwiek wiersza przez dowolny element ciała różny od zera,

108.3) dodanie do któregokolwiek wiersza innego wiersza pomnożonego przez dowolny element ciała .

(9)

1A109 (Definicja). Rzędem macierzy A nazywamy podwyznacznik (minor) tej macierzy największego stopnia różny od zera i oznaczamy jako rank A lub

rz A.

1A+C110 (Twierdzenie: rząd macierzy). Rząd kolumnowy i rząd wierszowy macierzy A są równe między sobą i są równe rzędowi macierzy A, to jest

k w

rank Arz Arz A.

1A111 (Uwaga: obliczenie rzędu). Operacje elementarne na wierszach można powtarzać oraz łączyć ze sobą i z analogicznymi operacjami na kolumnach dowolną ilość razy. Otrzymane na tej drodze nowe macierze mają zawsze ten sam rząd, co macierz A. Można wykazać (A+B), że za pomocą operacji elementarnych każda macierz A jest sprowadzalna do postaci ⁰

0 0 Ir

E  

  

 , gdzie I oznacza macierz jednostkową stopnia r, a zera wskazują, że wszystkie _r elementy tej macierzy są zerami, to jest e  dla _ij 0 i , gdzie j E    e_ij . Wtedy obliczenie rzędu macierzy A nie sprawia już żadnych trudności:

rank Arank E . r

1B112 (Uwaga). Macierz _ij A a m n

  

   nazywamy równoważną macierzy

ij m n

B b

  

   , jeżeli istnieją macierze (kwadratowe) nieosobliwe P i Q takie, że A=PBQ. Wtedy dwie macierze o m wierszach i n kolumnach są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy ich rzędy są równe, w szczególności macierz E jest

równoważną macierzy A: 0

0 0

Ir

PAQ E  

   

  jeżeli r rank A.

1A+B113 (Własności rzędu). Niech A jest macierzą o m wierszach i n kolumnach.

113.1. Rząd dowolnej macierzy A jest równy rzędowi jej macierzy transponowanej A , to jest ^T rank Arank A^T.

113.2. Macierz kwadratowa stopnia n jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy gdy jej rząd wynosi n. Rząd macierzy odwrotnej również równy jest n.

113.3. Dla dowolnych dwu macierzy A i B, dla których określony jest iloczyn AB, zachodzi nierówność rank AB( )min{rank A rank B, }. Jeżeli A jest macierzą kwadratową nieosobliwą, to rank AB( )rank B, a jeżeli B jest macierzą kwadratową nieosobliwą, to rank AB( )rank A.

(10)

1B+C114 (Własności rzędu). Niech A jest macierzą o m wierszach i n kolumnach, a T_A:Rⁿ R^m jest przekształceniem liniowym: T x_A( ) Ax. Wtedy 114.1) rankArz A_k rz A_w rankT_AdimImT_Amin{ , }m n ;

114.2) rankA n dimKerT_A;

gdzie KerT Ker A jest zbiorem (jądro przekształcenia T ) rozwiązań układu _A jednorodnego Ax 0, a ImT ImA jest zbiorem (obraz przekształcenia T ) _A wektorów b ^m, dla których układ niejednorodny Ax b ma rozwiązanie.

1B+C115 (Uwaga). W sposób podobny 1A103, 1A+B108, 1A109 można określić rząd macierzy nad ciałem liczb zespolonych i w ogólności nad dowolnym ciałem F.

Wracamy teraz do układów równań liniowych:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

... ,

...

n n

m m mn n m

a x a x a x b

   

czyli w postaci macierzowej

A x , (4) b gdzie

1 1

, ,

m n n m

ij m n

n m

x b

A a x b

x b



   

   

          

   

    .

Macierz o m wierszach i n+1 kolumnach

11 1 1

1

...

[ , ]

...

def n

m mn m

a a b

A b

a a b



 

 

 

powstającą z macierzy współczynników układu (4) przez dołączenie kolumny wyrazów wolnych nazywamy macierzą uzupełnioną układu (4). Stąd mamy kryterium rozwiązalności układu (4).

1A+B116 (Twierdzenie Kroneekera-Capellego). Układ równań liniowych (4) ma co najmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy tego układu równy jest rzędowi macierzy uzupełnionej, to znaczy

(11)

[ , ]

rank A b rank A . (5) Schemat dowodu. Niech A[a₁...a_n], gdzie wektory a₁,...,a oznaczają _n

kolejne kolumny macierzy A współczynników. W przyjętych oznaczeniach układ (1) jest równoważny równaniu

1 1 ... _{n n}

x a   x a b. (6) Układ (6) posiada więc co najmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wektor b daje się przedstawić, jako kombinacja liniowa wektorów a₁,...,a , a to _n właśnie oznacza, że rzędy macierzy układu i macierzy uzupełnionej są równe.  1A+B117 (Wniosek). Aby układ równań liniowych (4) dla dowolnych wyrazów wolnych posiadał co najmniej jedno rozwiązanie, potrzeba i wystarczy, by rząd macierzy układu był równy ilości równań (wierszów):

rank A . m

1B118 (Uwaga). Warunek (5) jest równoważny warunkowi b_r^'_₁0 w metodzie 1A+B58 eliminacji Gaussa.

1B+C119 (Uwaga). Twierdzenie Kroneekera-Capellego pozostaje prawdziwe dla układów równań liniowych nad dowolnym ciałem F.

1A+B+C120 (Ćwiczenia).

120.1. Macierz A ^{n n}^ nazywamy podobną do macierzy B ^{n n}^ jeżeli

istnieje nieosobliwa macierz kwadratowa T taka, że A T BT ^¹ . Macierze A i B są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy reprezentują jedno przekształcenie liniowe przestrzeni ⁿ w różnych bazach.

120.2. Niech A[a_ij]_{m n}_  ^{m n}^ , gdzie m n i rank A . Sprawdzić m wtedy że macierz AA^T jest nieosobliwa.

120.3. Sprawdzić liniowość odwzorowania, które możemy opisać

geometrycznie jako obrót o kąt  dookoła punktu (0, 0). Znaleźć reprezentację macierzową tego odwzorowania oraz reprezentację macierzową w bazie własnej.

1A+B121 (Ćwiczenia).

121.1. Obliczyć rząd macierzy

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 12 11 10 9 8 7

6 5 4 3 2 1

A

 

 

 

 

 

.

121.2. Dla jakich wartości parametru p układ równań

(12)

1 2 3 4

(1 ) 1 ( 1)

2 2 2 2 2

4 (6 ) 4 4 4

6 6 6 6

p x x x x a a

x x x x

x p x x x

x x x px

      

    

     

    



a) ma rozwiązanie,

b) ma tylko jedno rozwiązanie?