2OJ=E= AC=E=?OA  )CA>H= 1 H =IJH  &

Pytania egzaminacyjne  Algebra I r. astron. (2008)

1. Równo±¢ zbiorów a równo±¢ ukªadów uporz¡dkowanych.

2. Dziaªanie wewn¦trzne  denicja, przykªady. Czy iloczyn skalarny oraz warto±¢ bezwzgl¦dna s¡ dziaªaniami wewn¦trznymi ?

3. Grupy, podgrupy, grupy przemienne  denicja i przykªady.

4. Pier±cie«, pier±cie« przemienny, pier±cie« z jedynk¡  denicja i przykªady.

5. Denicja i przykªady ciaªa.

6. Izomorzm grup i pier±cieni.

7. Denicja macierzy.

8. Transpozycja i sprz¦»enie hermitowskie macierzy i iloczynu macierzy.

9. Macierze symetryczne, antysymetryczne, hermitowskie i antyhermitowskie

 denicja i przykªady.

10. Udowodnij, »e (Mm,n(K), +)jest grup¡.

11. Mno»enie macierzy  denicja i wªasno±ci.

12. Udowodnij, »e (Mn,n(K), +, ·)jest pier±cieniem.

13. Rekurencyjna denicja wyznacznika i jej zastosowanie do macierzy trze- ciego stopnia.

14. Denicja aksjomatyczna wyznacznika.

15. Kiedy wyznacznik macierzy jest równy zero ?

16. Wyznacznik macierzy transponowanej, macierzy sprz¦»onej hermitowsko i iloczynu macierzy.

17. Operacje elementarne i ich macierze.

18. Redukcja macierzy do postaci trójk¡tnej jako sposób obliczania wyznacz- nika.

19. Denicja i warunek istnienia macierzy odwrotnej.

20. Macierze odwrotne do elementarnych.

21. Podaj i udowodnij wzór dla odwrotno±ci iloczynu macierzy.

22. Wymie« sposoby obliczania macierzy odwrotnej.

1

23. Posta¢ zredukowana i posta¢ caªkowicie zredukowana macierzy. Rz¡d ma- cierzy.

24. Zdeniuj ukªady Cramera i wyprowad¹ wzór na ich rozwi¡zania.

25. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

26. Jak¡ struktur¦ algebraiczn¡ tworzy zbiór wielomianów nad ciaªem K z dodawaniem i mno»eniem ?

27. Dzielenie wielomianów.

28. Zasadnicze twierdzenie algebry.

29. Reguªa Kartezjusza.

30. Podaj denicj¦ i kilka przykªadów przestrzeni liniowej.

31. Podprzestrze« przestrzeni liniowej  denicja i przykªady.

32. Udowodnij, »e ukªad wektorów liniowo niezale»nych nie mo»e zawiera¢

wektora zerowego.

33. Warto±¢ wyznacznika Wro«skiego jako kryterium niezale»no±ci liniowej.

34. Denicja bazy i jej zwi¡zek z wymiarem przestrzeni liniowej.

35. Co to jest forma dwuliniowa.

36. Macierz formy dwuliniowej; formy symetryczne, antysymetryczne, alter- nuj¡ce i hermitowskie.

37. Iloczyn skalarny i norma  denicja i przykªady.

38. Udowodnij, »e w n-wymiarowej przestrzeni liniowej zbiór n wzajemnie ortogonalnych wektorów jest liniowo niezale»ny.

2