Wykład III Algebra

Przestrzeń wektorowa

Definicja: Zbiór V (wektorów) nazywa się przestrzenią wektorową (liniową) V nad ciałem K jeśli:

1) V jest grupą abelową ze względu na dodawanie (wektorów):

z y x V z V y

x ∈ ∃ ∈ + =

∀ , ,

) ( )

( ,

,y z V x y z x y z

x ∈ + + = + +

∀ (łączność),

x x x

V V

x∈ ∃ ∈ + = + =

∀ 0 0 0 (element neutralny),

0 ' '∈ + =

∃

∈

∀x V x V x x (element odwrotny)

x y y x V y

x ∈ + = +

∀ , (przemienność);

2) określone jest odwzorowanie f :K×V →V,zwane mnożeniem wektora przez liczbę, spełniające warunki:

y x x f V y K V

x∈ ∀α∈ ∃ ∈ α ≡α =

∀ , ( , ) ,

) 1 ( 1x x K

x = ∈

∀ ,

y x y x K V

y

x ∈ ∀α∈ α + =α +α

∀ , ( ) ,

x x x K

V

x∈ ∀αβ∈ α+β =α +β

∀ , ( ) ,

x x

K V

x∈ ∀α,β∈ (α(β )=(αβ)

∀ .

V nad R - przestrzeń rzeczywista, V nad C - przestrzeń zespolona

Przykłady przestrzeni wektorowych

1) Kⁿ - zbiór ciągów n-elementowych, a=[a₁,a₂,Ka_n] dodawanie: a=[a₁,a₂,Ka_n], b=[b₁,b₂,Kb_n],

] ,

,

[a₁ b₁ a₁ b₁ a_n b_n b

a+ = + + K + ;

mnożenie: αa=[αa₁,αa₂,Kαa_n].

2) Zbiór wielomianów n-tego stopnia, a =a₀ +a₁x+a₂x²+K+a_nxⁿ dodawanie: a=a₀+a₁x+a₂x²+K+a_nxⁿ, b=b₀ +b₁x+b₂x²+K+b_nxⁿ,

n n

n b x

a x

b a x b a b a b

a+ = ₀ + ₀+( ₁+ ₁) +( ₂+ ₂) ²+K+( + ) , mnożenie: αa=αa +αa x+αa x²+K+αa_nxⁿ

2 1

0 .

3) Zbiór macierzy n×m, n,m∈Z

, , , 2 , 1

, , 2 , , 1

,

2 1

2 22

21

1 12

11

m j

n K i

a a

a a

a a

a

a a

a

a _ij

nm n

n

m m

K K

K K K K K

K K

=

∈ =





















=

dodawanie:





















=

nm n

n

m m

a a

a

a a

a

a a

a a

K K K K K

K K

2 1

2 22

21

1 12

11

,





















=

nm n

n

m m

b b

b

b b

b

b b

b b

K K K K K

K K

2 1

2 22

21

1 12

11

,





















+ +

+

+ +

+

+ +

+

= +

nm nm n

n n n

m m

m m

b a b

a b a

b a b

a b a

b a b

a b a b a

K

K K

K K

K K

2 2 1 1

2 2 22

22 21 21

1 1 12

12 11 11

,

mnożenie:





















α α

α

α α

α

α α

α

= α

nm n

n

m m

a a

a

a a

a

a a

a a

K K K K K

K K

2 1

2 22

21

1 12

11

.

Własności przestrzeni wektorowych Twierdzenie 1: αx=0⇔α=0∨x=0 .

Dowód: ⇐ 1) α0=α(0+0)=α0+α0⇒α0=0, ⇐ 2) 0x=(0+0)x=0x+0x⇒0x=0,

⇒ α≠0, α⁻¹αx=0 ⇒ 1x=α⁻¹0 ⇒ x=0.

Twierdzenie 2: α(−x)=(−α)x=−αx.

Dowód: αx+α(−x)=α(x−x)=α0=0⇒α(−x)=−αx, (−α)x+αx=(−α+α)x=0x=0=0⇒(−α)x=−αx .

Definicja: W ⊂Vjest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V nad K, jeśli W jest przestrzenią wektorową nad K.

Przykład: K^m ⊂ Kⁿ, m<n.

Definicja: Wektor x jest kombinacja liniową wektorów x1, x2, ..., xn, jeśli

n nx x

x

x=α +α +K+α

2 2 1

1 .

Definicja: Wektory x1, x2, ..., xn są liniowo niezależne, jeśli jedynym

rozwiązaniem równania α₁x₁+α₂x₂+K+α_nx_n =0 jest zbiór α₁=α₂ =K=α_n =0. Twierdzenie: Wektory x1, x2, ..., xn są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z nich można wyrazić jako kombinację liniową pozostałych.

Dowód: ^⇒rozwiązaniem równania α₁x₁ + α₂x₂ +K+ α_nx_n = 0 jest zbiór

n m m

i ≠ i= ≤ ≤

α 0, 1,2,K , 2 . Wtedy 1 ( )

2 2 1

1 x mxm

x α + +α

−α

= K .

β ⇒ + + β

=

⇐ x_{1 2}x₂ K _nx_n równania

2 0

2 1

1 + α + +α =

α x x K _nx_n przybiera postać

0 ) (

)

(α₂+α₁β₂ x₂+K+ α_n+α₁β_n x_n =

i jego rozwiązaniem jest α₂ =−α₁β₂, Kα_n =−α₁β_n.

Definicja: Zbiór wektorów x1, x2, ..., xn jest bazą przestrzeni V, jeśli

1) x_i∈V, i=1,2,K,n,

2) wektory x1, x2, ..., xn są liniowo niezależne,

3) ∀x∈V ∃α₁,α₂,Kα_n∈K x=α₁x₁+α₂x₂+K+α_nx_n (zupełność).

αn

α

α₁, ₂,K - składowe wektora x w bazie x1, x2, ..., xn.

Maksymalny zbiór wektorów liniowo niezależnych - zbiór którego nie można już powiększyć.

Baza - maksymalny zbiór wektorów liniowo niezależnych.

Każda baza tej samej przestrzeni ma równą liczbę wektorów.

Jeśli liczba wektorów bazy danej przestrzeni jest skończona, to jest ona wymiarem tej przestrzeni.

Twierdzenie: Każdy zbiór wektorów liniowo niezależnych mniejszy niż wymiar przestrzeni można rozszerzyć do bazy.

Twierdzenie: Przedstawienie wektora w danej bazie jest jednoznaczne.

Dowód: Niech x=α x +α x +K+α_nx_n

2 2 1

1 i x=β x +β x +K+β_nx_n

2 2 1

1 ,

0 ) (

) (

)

(α₁−β_{1 1}+ α₂ −β_{2 2}+ + α −β =

=

−x x x _{n n} x_n

x K . Z niezależności liniowej

wektorów bazy wynika, że (α₁−β₁)=0,(α₂−β₂)=0,K(α_n−β_n)=0.

Izomorfizm przestrzeni wektorowych

Definicja: Przekształcenie f :V →U , gdzie V, U są przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem K jest izomorfizmem, jeśli

1) f jest bijekcją (odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne),

2) ∀x,y f(x+ y)= f(x)+ f(y),

3) ∀x∈V ∀α∈K f(αx)≡αf(x). Wniosek: f(0)=0.

Dowód: f(x)= f(x+0)= f(x)+ f(0).

Twierdzenie: Izomorficzny obraz zbioru wektorów liniowo niezależnych jest liniowo niezależny.

Dowód: Jedynym rozwiązaniem równania α₁x₁+α₂x₂+K+α_nx_n =0 jest zbiór

2 0

1=α = =α =

α K _n . Zachodzi pytanie czy α₁=α₂ =K=α_n =0 jest jedynym rozwiązaniem równania będącego izomorficznym obrazem tego równania

0 ) ( )

( )

( )

(α₁x₁+α₂x₂+ +α_nx_n =α₁f x₁ +α₂f x₂ + +α_nf x_n =

f K K ? Załóżmy, że nie

oraz 1

(

)

)

( _{2 2 1}

1

1 α + +α α ≠

−α

= f x _nf x_n

x

f K . Wykonując przekształcenie

odwrotne

( )

n n

nf x x x x

x f f

x

1 3

1 3 2 1 2 2

2 1 1

1 1 ( ) ( )

α

−α α

−α α

−α

=







 α + +α

−α

= ⁻ K K

stwierdzamy, że wektory x1, x2, ..., xn są liniowo zależne.

Wniosek: Izomorficznym obrazem bazy jest baza.

Twierdzenie: Dowolna przestrzeń wektorowa V nad ciałem K jest izomorficzny z przestrzenią Kⁿ.

Dowód: Wektor x z V rozkładamy w dowolnej bazie x1, x2, ..., xn tak, że

n nx x

x

x = α + α +K + α

2 2 1

1 i określamy odwzorowanie

(przyporządkowanie) f :x→[α₁,α₂,K,α_n]∈Kⁿ. Ze względu na jednoznaczność rozkładu wektora na składowe w danej bazie, przyporządkowanie jest

wzajemnie jednoznaczne. Dalej pokazujemy, że 1) ∀x,y f(x+ y)= f(x)+ f(y),

2) ∀x∈V ∀α∈K f(αx)≡αf(x).

Wniosek: Każde dwie przestrzenie nad tym samym ciałem i o tym samym wymiarze są izomorficzne.