SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, 2017-02-21
Przestrzeń wektorowa
Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę rzeczywistą. Elementy przestrzeni wektorowej nazywamy wektorami.
Definicja: Przestrzenią wektorową nazywamy trójkę (V, +, ·), gdzie V - zbiór
+ : V × V → V
· : R × V → V
są działaniami spełniającymi warunki:
1. Istnieje wektor 0 ∈ V taki, że ∀ (u ∈ V ) u + 0 = u : wektor zerowy 2. ∀ (u ∈ V ) ∃! (v ∈ V ) u + v = 0 : wektor v jest tylko jeden i oznaczmy go v = −u
3. ∀ (u, v ∈ V ) u + v = v + u : przemienność
4. ∀ (u, v, w ∈ V ) u + (v + w) = (u + v) + w : łączność
5. ∀ (u ∈ V ) 1 · u = u
6. ∀ (u, v ∈ V ) (∀λ ∈ R) λ · (u + v) = λ · u + λ · v : rozdzielność 7. ∀ (λ, r ∈ R) ∀ (u ∈ V ) λ · (r · u) = (λr) · u
8. ∀ (λ, r ∈ R) ∀ (u ∈ V ) (λ + r) · u = λ · u + r · u : rozdzielność Przykłady przestrzeni wektorowych
1. V = R3 działania są określone w następujący sposób:
u = (u1, u2, u3) ∈ V , v = (v1, v2, v3) ∈ V , λ ∈ R u + v = (u1+ v1, u2+ v2, u3+ v3)
λ · u = (λu1, λu2, λu3)
Analogicznie można zdefiniować przestrzeń Rk o dowolnym wymiarze skończonym.
2. Przestrzeń V = Rk. W Rk działania na wektorach są określone w następujacy sposób:
x = (x1, x2, . . . , xk) ∈ Rk , x = (x1, x2, . . . , xk) ∈ Rk , λ ∈ R x + y = (x1+ y1, x2+ y2, . . . , xk+ yk)
λ · x = (λx1, λx2, . . . , λxk)
3. Przestrzeń V = Mm×n macierzy o wyrazach rzeczywistych. Działania na macierzach są określone w zwykły sposób.
4. V = C, działania są określone w sposób naturalny:
u, v ∈ C , u = u1+ iu2 , v = v1+ iv2 , u1, u2, v1, v2 ∈ R , λ ∈ R u + v = (u1+ v1) = i(u2+ v2)
λ · u = λu1+ iλu2
5. Przestrzeń ciągów o wyrazach rzeczywistych: V = nxn
n∈N, xn ∈ Ro. Działania na ciągach (wektorach ) są określone w następujacy sposób:
x = (x1, x2, x3. . . ) , y = (y1, y2, y3. . . ) ∈ Rk , λ ∈ R x + y = (x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3, . . . )
λ · x = (λx1, λx2, λx3, . . . )
6. Przestrzeń funkcji f : D → R : o dowolnej dziedzinie o wartościach rzeczywistych. Działania określamy następująco:
u = u(x), v = v(x) , λ ∈ R
(u + v)(x) = u(x) + v(x) , ∀(x ∈ D) (λu)(x) = λu(x) , ∀(x ∈ D)
Liniowo niezależny układ wektorów
Definicja: Niech dana będzie przestrzeń wektorowa V . Układ wektorów ui ∈ V, i ∈ I nazywamy liniowo niezależnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego skończonego podzbioru {i1, i2, . . . in} zbioru indeksów I i dla dowolnych liczb rzeczywistych λ1, λ2, . . . λn zachodzi implikacja:
λ1· ui1 + λ2 · ui2 + . . . λn· uin = 0 =⇒ λ1 = λ1 = . . . λn = 0
Uwaga: Implikacja ta oznacza, że jedyną zerową kombinacją liniową wektorów układu jest kombinacja liniowa z zerowymi współczynnikami.
Twierdzenie: Układ wektorów nie jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją indeksy {i1, i2, . . . in} ⊂ I i liczby rzeczywiste λ1, λ2, . . . λn−1 takie, że: un= λ1· ui1 + λ2· ui2 + . . . λn· uin−1 czyli jeden z wektorów układu jest liniową kombinacją pozostałych wektorów.
Baza przestrzeni wektorowej
Definicja: Bazą przestrzeni wektorowej nazywamy maksymalny liniowo niezależny układ wektorów tej przestrzeni.
Uwaga: Układ maksymalny to znaczy taki, że jeżeli dołączymy do układu dowolny wektor, to układ ten przestanie być liniowo niezależny.
Twierdzenie: Układ wektorów ei , i = 1, 2, . . . n jest bazą przestrzeni wektorowej V wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego wektora u ∈ V istnieją liczby rzeczywiste x1, x2, . . . xn takie, że: u = x1· e1+ x2· e2+ . . . xn· en oraz współczynniki xi są wyznaczone jednoznacznie przez wektor u .
Uwaga: Baza tworzy układ współrzędnych w przestrzeni wektorowej, jej elementy są wektorami jed- nostkowymi osi układu współrzędnych, a liczby xi współrzędnymi wektora u w tym układzie współ- rzędnych. Stosujemy również oznaczenie: u = (x1, x2, . . . xn)B . Wektory jednostkowe nie muszą mieć długości 1 nie muszą być też do siebie prostopadłe. Samo pojęcie długości wektora i prostopadłości wektorów nie zostało jeszcze zdefiniowane, więc nie możemy go używać.
Twierdzenie: Każda przestrzeń wektorowa ma bazę.
Twierdzenie: Każdy układ wektorów liniowo niezależny można rozszerzyć do bazy.
Definicja: Wymiar przestrzeni wektorowej jest to liczba elementów bazy tej przestrzeni (moc zbioru elementów). Wymiar przestrzeni V oznaczamy dim V
Uwaga: W przestrzeni wektorowej może być wiele różnych baz, jednak wszystkie mają taką samą liczbę elementów (taką samą moc). Przestrzeń wektorowa może mieć wymiar skończony lub nieskończony.
Twierdzenie: W przestrzeni wektorowej skończenie wymiarowej o wymiarze k każdy układ k wektorów liniowo niezależnych jest bazą tej przestrzeni.
Przykład: Przestrzeń V = R3 jest przestrzenią wektorową 3-wymiarową. Jej bazą jest np. następujący układ wektorów:
e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1)
Przykład: Przestrzeń V = Rk jest przestrzenią k-wymiarową. Jej bazą jest np. następujący układ wektorów:
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0) , e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) , e3 = (0, 0, 1, . . . , 0) , ek= (0, 0, 0, . . . , 1)
Przykład: Przestrzeń wszystkich ciągów rzeczywistych jest przestrzenią wektorową nieskończeniewy- miarową.
Przykład: V = R3. e1 = (1, 1) , e2 = (2, −1) tworzą bazę B przestrzeni V . Znaleźć współrzędne wektora u = (5, 2) w tej bazie.
x1e1+ x2e2 = u
x1(1, 1) + x2(2, −1) = (5, 2)
( x1 + 2x2 = 5 x1 − x2 = 2
3x2 = 3 =⇒ x2 = 1 =⇒ odejmujemy równania
x1 = 3
Wektor u ma w bazie B współrzędne: u = (3, 1)B
1 2 3 4 5
−1 1 2 3
0
x1
1
2
3
x2 1
0
u e1
e2
Przykład: Sprawdzić czy wektory
u1 = (1, 1, 1) , u2 = (2, 1, −1) , u3 = (1, 1, 2) tworzą bazę w przestrzeni R3. Jeśli tak, znaleźć współ- rzędne wektora v = (4, 2, −3) w tej bazie.
Sprawdzamy liniową niezależność wektorów rozwiązując równanie:
λ1u1+ λ2u2+ λ3u3 = (0, 0, 0)
(λ1+ 2λ2+ λ3, λ1+ λ2+ λ3, λ1− λ2+ 2λ3) = (0, 0, 0)
λ1+ 2λ2+ λ3 = 0 λ1+ λ2+ λ3 = 0 λ1− λ2+ 2λ3 = 0
Układ ten ma tylko rozwiązanie zerowe (λ1 = λ2 = λ3 = 0) wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy układu równań |A| = 0
|A| =
1 2 1
1 1 1
1 −1 2
= 2 + 2 − 1 − 1 + 1 − 4 = −1 6= 0
Ponieważ układ równań ma tylko rozwiązanie zerowe, więc układ wektorów u1, u2, u3 jest liniowo niezależny. Ponieważ wymiar przestrzenie R3 jest równy 3, a w układzie sa 3 wektory, więc układ
wektorów B = (u1, u2, u3) jest bazą przestrzeni R3 Znajdujemy współrzędne wektora v w tej bazie:
x1u1+ x2u2+ x3u3 = v
x1+ 2x2+ x3 = 4 x1+ x2 + x3 = 2 x1− x2+ 2x3 = −3
Układ równań rozwiązujemy metodą Cramera.
|A1| =
4 2 1
2 1 1
−3 −1 2
= −1 ; |A2| =
1 4 1
1 2 1
1 −3 2
= −2 ;
|A3| =
1 2 4
1 1 2
1 −1 −3
= 1 Stąd:
x1 = −1
−1 = 1 , x2 = 2
−1 = −2 , x3 = 1
−1 = −1 Wektor v ma w bazie B współrzędne: v = (1, −2, −1)B Przekształcenie liniowe
Definicja: Niech U, V będą przestrzeniami wektorowymi. Funkcję f : U → V nazywamy przekształce- niem liniowym (operatorem liniowym) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:
∀ (u1, u2 ∈ U ) f (u1+ u2) = f (u1) + f (u2)
∀(u ∈ U, λ ∈ R) f(λu) = λf(u) Macierz przekształcenia linowego
Niech U i V będą skończenie wymiarowe: dim U = n , dim V = m . Ustalamy bazy : B1 : u1, u2, . . . un - baza U , B2 : v1, v2, . . . vm - baza V . Niech x ∈ U oraz x = x1u1+ x2u2+ . . . xnun . Niech y ∈ V oraz y = y1v1+ y2v2+ . . . ymvm . Niech X i Y będą macierzami kolumnowymi:
X =
x1 x2 ... xn
, Y =
y1 y2 ... ym
Wtedy istnieje macierz Fm×n taka, że:
y = f (x) ⇐⇒ Y = F · X
Uwaga 1: Pierwszą kolumnę macierzy F tworzą współrzędne f (u1) w bazie B2 , drugą f (u2) w bazie B2 i.t.d.
Uwaga 2: Często stosuje się zapis: X = [x1, x2, . . . , xn]T zamiast X =
x1 x2 ... xn
Wtedy równanie: Y = F · X wygląda tak: [y1, y2, . . . , ym]T = F · [x1, x2, . . . , xn]T
Uwaga 3: Elementy macierzy F zależą nie tylko od przekształcenia, ale i od wyboru baz B1 i B2 . Przykład: Niech V będzie przestrzenią wektorową wielomianów stopnia co najwyżej 3 : V = {W (x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0} . Niech f : V → V będzie operacją różniczkowania f (v) = v0 . Jest to przekształcenie liniowe. Znaleźć odpowiadającą mu macierz w bazach B1 = B2 : u1 = 1 , u2 = x , u3 = x3, u4 = x3 . Korzystając z tej macierzy obliczyć (2x3 − x2 + 3x + 5)0
Pierwsza kolumna macierzy F jest równa: f (u1) = 10 = 0 = (0, 0, 0, 0) Druga kolumna macierzy F jest równa: f (u2) = x0 = 1 = (1, 0, 0, 0) Trzecia kolumna macierzy F jest równa: f (u3) = (x2)0 = 2x = (0, 2, 0, 0) Czwarta kolumna macierzy F jest równa: f (u4) = (x3)0 = 3x3 = (0, 0, 3, 0)
Macierz przekształcenia jest więc równa:
F =
0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0
Wielomian: v = 2x3− x2+ 3x + 5 = (5, 3, −1, 2)B1 współrzędne w bazie B1 Odpowiadająca mu macierz V = [5, 3, −1, 2]T
Iloczyn macierzy jest równy:
W = F · V =
0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0
·
5 3
−1 2
=
3
−2 6 0
Odpowiadający macierzy W wielomian: w = 3u1−2u2+6u3+0u4 = 3·1−2·x+6·x2+0·x3 = 6x2−2x+3 Wniosek: (2x3− x2+ 3x + 5)0 = 6x2− 2x + 3
Przykład Na płaszczyźnie ( przestrzeni R2) znaleźć macierz obrotu w lewo o kąt α względem początku układu współrzędnych w bazie: e1 = (1, 0) , e2 = (0, 1) (ta sama baza będzie używana dla argumentu i obrazu przekształcenia). Znaleźć obraz u0 wektora u(2, 4) po obrocie o kąt α = π4 w lewo.
Obrót jest przekształceniem liniowym, odpowiada mu więc macierz. Mamy:
e01 = f (e1) = (cos α, sin α) , e02 = f (e2) = (− sin α, cos α) Stąd macierz obrotu:
Oα =
"
cos α − sin α sin α cos α
#
x1
−1 1
x2
−1 1
0
e1
e01 α e2
e02 α
Dla α = π4 mamy:
Oπ
4 =
"
cosπ4 − sinπ4 sinπ4 cosπ4
#
=
" √2
2 −
√2 2
√ 2 2
√ 2 2
#
Stąd:
U0 = Oπ
4 · U =
" √2
2 −
√2 2
√ 2 2
√ 2 2
#
·
"
2 4
#
=
"
−√ 2 3√
2
#
Wniosek: u0 = (−√ 2 , 3√
2)
Twierdzenie Niech U, V, W będą przestrzeniami wektorowymi skończenie wymiarowymi z ustalonymi bazami. Niech f : U → V , g : V → W będą przekształceniami liniowymi, niech F, G będą macierzami odpowiadającymi tym przekształceniom (w ustalonych bazach). Wtedy:
1. złożeniu przekształceń f (g(u)) (które też jest przekształceniem liniowym) odpowiada iloczyn macie- rzy F · G
2. przekształceniu odwrotnemu do f ( f−1 ) , o ile istnieje, odpowiada macierz odwrotna F−1
Przestrzeń unormowana
Definicja: Przestrzeń wektorowa (liniowa) unormowana jest to przestrzeń wektorowa V z określoną funkcją || || : V → R nazywaną normą (długością wektora) spełniającą warunki:
1. ∀(u ∈ V ) ||u|| 0
2. ∀(u ∈ V ) ||u|| = 0 ⇐⇒ u = 0 3. ∀(λ ∈ R)∀(u ∈ V ) ||λu|| = |λ| · ||u||
4. ∀(u, v ∈ V ) ||u + v|| ¬ ||u|| + ||v|| nierówność trójkąta
W przestrzeni wektorowej unormowanej odległość między wektorami jest równa: ||u − v||
Przykłady przestrzeni wektorowych unormowanych:
1. V = R3 , dla u = (u1, u2, u3) ∈ V , ||u|| =qu21+ u22+ +u23 Analogicznie można zdefiniować normę w przestrzeni Rk .
2. Przestrzeń V = C(< a, b >) - przestrzeń funkcji ciągłych o dziedzinie < a, b > i o wartościach rzeczywistych. Normą określamy następująco:
||u|| = max
x∈<a,b>|u(x)|
Jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa.
Przestrzeń Rk
Przestrzeń Rk jest przestrzenią wektorową k - wymiarową.
W Rk działania na wektorach są określone w następujący sposób:
x = (x1, x2, . . . xk) ∈ Rk , x = (x1, x2, . . . xk) ∈ Rk , λ ∈ R x + y = (x1+ y1, x2 + y2, . . . xk+ yk)
λ · x = (λx1, λx2, . . . λxk)
Norma (długość wektora) jest równa:
||x|| =qx21 + x22+ · · · + x2k
Odległość między elementami (wektorami) jest równa:
||x − y|| =q(x1− y1)2+ (x2 − y2)2+ · · · + (xk− yk)2
Standardową bazą tej przestrzeni jest układ k wersorów jednostkowych:
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0), . . . , ek = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) W przestrzeni tej definiujemy iloczyn skalarny:
x · y = x1y1+ x2y2+ · · · + xkyk
Korzystając z niego można okreslać kąty między wektorami, a w szczególności prostopadłość:
x ⊥ y ⇐⇒ x · y = 0
Uwaga: Elementy tej przestrzeni czasem będziemy traktować jak punkty, a czasem jak wektory.
Interpretacja geometryczna:
• przestrzeń R1 - prosta
• przestrzeń R2 - płaszczyzna
• przestrzeń R3 - przestrzeń trójwymiarowa
• dla k > 3 interpretacja geometryczna jest bardziej skomplikowana, można natomiast bez proble- mów wykonywać operacje analityczne, a ich sens geometryczny interpretować przez analogię z przestrzeniami o mniejszych wymiarach.
Granica ciągu w przestrzeni unormowanej
Niech będzie dany ciąg (xn) , xn∈ V elementów przestrzeni unormowanej V oraz wektor y ∈ V Definicja granicy ciągu:
Wektor y jest granicą ciągu (xn) , wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞||xn− y|| = 0 Czyli:
n→∞lim xn = y ⇐⇒ lim
n→∞||xn− y|| = 0 Uwaga: Symbol lim
n→∞ z lewej strony oznacza granicę ciągu w przestrzeni V , a symbol lim
n→∞ z prawej strony oznacza zwykłą granicę ciągu liczb rzeczywistych.
Jeżeli przestrzeń V jest skończenie wymiarowa i ustalimy bazę B tej przestrzeni to granice ciągów w V mają bardzo ważną własność: zbieżność takiego ciągu jest równoważna zbieżności ciągów po wszystkich współrzędnych. Zachodzi następujące twierdzenie:
Twierdzenie
Dany jest ciąg xn= (xn,1, xn,2, . . . xn,k) ∈ V , oraz punkt y = (y1, y2, . . . yk) ∈ V Wtedy
n→∞lim xn = y ⇐⇒ lim
n→∞xn,i = yi , dla i = 1, 2, . . . k Przykład: Obliczyć granicę ciągu:
n + 3 n + 6, √n
2n+ 1
∈ R2
n→∞lim
n + 3 n + 6, √n
2n+ 1
=
n→∞lim n + 3 n + 6, lim
n→∞
√n
2n+ 1
= (1, 2) Przykład: Obliczyć granicę ciągu:
n→∞lim
2n2−1
n2+1 (1 + 1n)n
√n
n √n
7
n→∞lim
2n2−1
n2+1 (1 + 1n)n
√n
n √n
7
=
n→∞lim
2n2−1 n2+1 lim
n→∞(1 + n1)n
n→∞lim
√n
n lim
n→∞
√n
7
=
"
2 e 1 1
#
Elementy topologii w przestrzeni unormowanej
Niech U będzie przestrzenią unormowaną.
Uwaga: Elementy przestrzeni U (wektory) będziemy nazywać również punktami.
Definicja: KULĄ OTWARTĄ o środku w u0 ∈ U i promieniu r > 0 nazywamy zbiór:
K(u0, r) = {u ∈ U : ||u − u0|| < r}
Uwaga: Kulą otwartą K(u0, r) nazywamy również OTOCZENIEM punktu u0. Poniższe pojęcia to- pologiczne można definiować za pomocą otoczeń lub granic ciągów.
Niech A ⊂ U będzie dowolnym zbiorem w przestrzeni unormowanej U .
Definicja: Punkt u ∈ U jest punktem WEWNĘTRZNYM zbioru A ⇐⇒ ∃(r > 0) K(u, r) ⊂ A Definicja: Punkt u ∈ U jest punktem ZEWNĘTRZNYM zbioru A ⇐⇒ ∃(r > 0) K(u, r) ∩ A = ∅ Definicja: Punkt u ∈ U jest punktem BRZEGOWYM zbioru A ⇐⇒
∀(r > 0)
K(u, r) ∩ A 6= ∅ ∧ K(u, r) \ A 6= ∅
Definicja: WNĘTRZE zbioru A (oznaczamy int A ) jest to zbiór punktów wewnętrznych zbioru A.
Definicja: BRZEG zbioru A (oznaczamy ∂A ) jest to zbiór punktów brzegowych zbioru A.
Definicja: DOMKNIĘCIE zbioru A (oznaczamy ¯A ) jest to zbiór ¯A = A ∪ ∂A Przykład: V = R2 , A = {(x, y) : x2+ y2 ¬ 1} (koło domknięte) =⇒
Wnętrze A (koło otwarte): int A = {(x, y) : x2+ y2 < 1}
Brzeg A (okrąg): ∂A = {(x, y) : x2+ y2 = 1}
−1 1 x
y
−1 1
0
A
−1 1 x
y
−1 1
0
int A
−1 1 x
y
−1 1
0
∂A
Definicja: Zbiór A jest OTWARTY ⇐⇒ int A = A Definicja: Zbiór A jest DOMKNIĘTY ⇐⇒ ¯A = A
Definicja: Punkt u ∈ U jest punktem SKUPIENIA zbioru A ⇐⇒ u ∈ A \ {u}
Własności pojęć topologicznych:
A = (int A) ∪ ∂A¯
A jest domknięty ⇐⇒ U \ A jest otwarty A, B są otwarte =⇒ A ∪ B , A ∩ B są otwarte A, B są domknięte =⇒ A ∪ B , A ∩ B są domknięte An są otwarte =⇒
∞
S
n=1
An jest otwarty An są domknięte =⇒ ∞T
n=1
An jest domknięty
