2OJ=E= AC=E=?OA  )CA>H= 1 H =IJH

Pytania egzaminacyjne  Algebra I r. astron. (2010)

1. Dziaªanie wewn¦trzne  denicja, przykªady. Czy iloczyn skalarny oraz warto±¢ bezwzgl¦dna s¡ dziaªaniami wewn¦trznymi ? (uzasadni¢)

2. Grupy, podgrupy, grupy przemienne  denicja i przykªady.

3. Pier±cie«, pier±cie« przemienny, pier±cie« z jedynk¡  denicja i przykªady.

4. Denicja i przykªady ciaªa.

5. Izomorzm grup.

6. Denicja macierzy.

7. Transpozycja i sprz¦»enie hermitowskie macierzy i iloczynu macierzy.

8. Macierze symetryczne, antysymetryczne, hermitowskie i antyhermitowskie

 denicja i przykªady.

9. Udowodnij, »e (Mm,n(K), +)jest grup¡.

10. Mno»enie macierzy  denicja i wªasno±ci.

11. Udowodnij, »e (Mn,n(K), +, ·)jest pier±cieniem.

12. Rekurencyjna denicja wyznacznika i jej zastosowanie do macierzy trze- ciego stopnia.

13. Denicja aksjomatyczna wyznacznika.

14. Kiedy wyznacznik macierzy jest równy zero ?

15. Wyznacznik macierzy transponowanej, macierzy sprz¦»onej hermitowsko i iloczynu macierzy.

16. Operacje elementarne i ich macierze. obliczania wyznacznika.

17. Denicja i warunek istnienia macierzy odwrotnej.

18. Podaj i udowodnij wzór dla odwrotno±ci iloczynu macierzy.

19. Wymie« sposoby obliczania macierzy odwrotnej.

20. Posta¢ zredukowana i posta¢ caªkowicie zredukowana macierzy. Rz¡d ma- cierzy.

21. Zdeniuj ukªady Cramera i wyprowad¹ wzór na ich rozwi¡zania.

22. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

1

23. Jak¡ struktur¦ algebraiczn¡ tworzy zbiór wielomianów nad ciaªem K z dodawaniem i mno»eniem ? (uzasadni¢)

24. Zasadnicze twierdzenie algebry.

25. Podaj denicj¦ i kilka przykªadów przestrzeni liniowej.

26. Podprzestrze« przestrzeni liniowej  denicja i przykªady.

27. Udowodnij, »e ukªad wektorów liniowo niezale»nych nie mo»e zawiera¢

wektora zerowego.

28. Warto±¢ wyznacznika Wro«skiego jako kryterium niezale»no±ci liniowej.

29. Denicja bazy i jej zwi¡zek z wymiarem przestrzeni liniowej.

30. Forma dwuliniowa i jej przypadki szczególne.

31. Iloczyn skalarny i norma  denicja i przykªady.

32. Iloczyn wewn¦trzny a iloczyn skalarny  podobie«stwa i ró»nice.

33. Udowodnij, »e w n-wymiarowej przestrzeni liniowej zbiór n wzajemnie ortogonalnych wektorów jest liniowo niezale»ny.

34. Nierówno±¢ Schwarza (wyprowadzenie).

35. Denicja i przykªad przeksztaªcenia liniowego.

36. Zagadnienie wªasne macierzy.

2