St ad dim(K

(1)

(E

i,j

)

_p,q

=

0 wpp.

St ad dim(K

_, ^m,n_|K

) = m · n.

• C

^m,n_|R

= span(E

_i,j

, ı · E

i,j

: 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) (ı = √

−1).

St ad dim(C

_, ^m,n_|R

) = 2 · m · n.

• P

|Rⁿ

= span(1, t, t

²

, . . . , t

ⁿ⁻¹

) i dim( P

|Rⁿ

) = n.

4.3 Sumy i sumy proste

4.3.1 Suma (prosta) dw´ och podprzestrzeni

Niech Y i Z b ed

_,

a podprzestrzeniami

_,

X . Definiujemy iloczyn tych podprzestrzeni jako

S = Y ∩ Z := {x ∈ X : x ∈ Y i x ∈ Z}, oraz sum e jako

_,

T = Y + Z := {y + z : y ∈ Y, z ∈ Z}.

Zauwa˙zmy, ˙ze suma podprzestrzeni nie jest zwyk l a sum

_,

a teoriomnogo´sciow

_,

a.

_,

Oczywi´scie, zar´owno iloczyn S jak i suma T s a podprzestrzeniami

,

X . Definicja 4.7 Je´sli iloczyn Y ∩ Z = {0} to sum e

_,

Y + Z nazywamy sum a

_,

prost a i oznaczamy

_,

T = Y ⊕ Z.

Podamy teraz kilka w lasno´sci wymiar´ow sum i sum prostych.

(W1)

0 ≤ dim(Y ∩ Z) ≤ min (dim(Y), dim(Z))

(2)

36 ROZDZIA L 4. PRZESTRZENIE LINIOWE (W2)

max (dim( Y), dim(Z)) ≤ dim(Y + Z)

≤ min (dim(X ), dim(Y) + dim(Z)) (W3)

dim( Y + Z) = dim(Y) + dim(Z) − dim(Y ∩ Z) (W4)

dim( Y ⊕ Z) = dim(Y) + dim(Z)

W lasno´s´c (W1) jak i lewa strona (W2) wynikaj a po prostu z zawierania si

_,

e

_,

odpowiednich podprzestrzeni, a prawa strona w (W2) z faktu, ˙ze Y + Z ⊆ X oraz, ˙ze suma teoriomnogo´sciowa baz w Y i Z rozpina Y + Z.

Poniewa˙z (W4) wynika bezpo´srednio z (W3), dla pe lno´sci dowodu wystarczy pokaza´c (W3). W tym celu bierzemy baz e (b

_, 1

, . . . , b

u

) w Y ∩ Z, a nast epnie uzupe lniamy j

_,

a do bazy (b

_, 1

, . . . , b

u

, y

u+1

, . . . , y

s

) w Y oraz do bazy (b

₁

, . . . , b

_u

, z

_u+1

, . . . , z

_t

) w Z. Jasne jest, ˙ze

span(y

_u+1

, . . . , y

_s

) ∩ span(z

u+1

, . . . , z

_t

) = {0},

bo inaczej wsp´olny element niezerowy by lby w Y ∩ Z, a w´owczas uk lad (b

1

, . . . , b

u

, y

u+1

, . . . , y

s

) nie by lby liniowo niezale˙zny.

Uk lad (b

1

, . . . , b

u

, y

u+1

, . . . , y

s

, z

u+1

, . . . , z

t

) jest wi ec liniowo niezale˙zny i

_,

rozpina Y + Z, a wi ec jest te˙z baz

,

a tej przestrzeni. Dlatego

_,

dim( Y + Z) = u + (s − u) + (t − u) = s + t − u

= dim( Y) + dim(Z) − dim(Y ∩ Z).

4.3.2 Suma (prosta) w og´ olnym przypadku

Uog´olnimy poj ecia sumy i sumy prostej na dowoln

_,

a, ale sko´

_,

nczon a, liczb

_,

e

_,

podprzestrzeni. Niech Y

j

, 1 ≤ j ≤ s, b ed

_,

a podprzestrzeniami

_,

X . Sum e tych

_,

podprzestrzeni definujemy jako

Y = Y

1

+ Y

2

+ · · · + Y

s

=

Xs

j=1

Y

j

:= {y

¹

+ · · · + y

^s

: y

j

∈ Y

^j

, 1 ≤ j ≤ s}.

(3)

Y

^t

∩

^

Xs

t6=j=1

Y

^j^

= {0}

to sum e

_,

Y

1

+ · · · + Y

s

=

^P^s_j=1

Y

j

nazywamy sum a prost

_,

a i oznaczamy

_,

Y

1

⊕ · · · ⊕ Y

s

=

Ms

j=1

Y

j

.

Twierdzenie 4.5 Je´sli Y = ⊕

^sj=1

Y

^j

to ka˙zdy wektor y ∈ Y ma jednoznaczne przedstawienie w postaci

y = y

1

+ y

2

+ · · · + y

^s

, y

j

∈ Y

^j

, 1 ≤ j ≤ s.

Dow´ od. (Indukcja wzgl edem s.)

_,

Dla s = 1 twierdzenie jest w oczywisty spos´ob prawdziwe. Za l´o˙zmy, ˙ze jest ono prawdziwe dla s − 1. Niech

y = y

1

+ · · · + y

^s

= y

₁⁰

+ · · · + y

s⁰

. Wtedy

Y

^s

3 y

^s

− y

s⁰

=

s−1X

j=1

(y

_j⁰

− y

^j

) ∈ Y

¹

+ · · · + Y

^s−1

,

a poniewa˙z Y

1

⊕ · · · ⊕ Y

s−1

⊕ Y

s

to y

s

= y

⁰_s

i y

1

+ · · · + y

s−1

= y

⁰₁

+ · · · + y

⁰s−1

. Wobec tego, ˙ze Y

1

⊕ · · · ⊕ Y

s−1

, co wynika wprost z definicji sumy prostej, mo˙zemy teraz skorzysta´c z za lo˙zenia indukcyjnego, aby wywnioskowa´c, ˙ze y

j

= y

⁰_j

dla 1 ≤ j ≤ s − 1. To ko´nczy dow´od.

Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli Y = Y

¹

⊕ · · · ⊕ Y

^s

to suma teoriomnogo´sciowa baz w Y

j

, 1 ≤ j ≤ s, jest baz a

_,

Y. W szczeg´olnym przypadku, gdy (b

1

, . . . , b

n

) jest baz a

_,

X to

X = span(b

¹

) ⊕ · · · ⊕ span(b

ⁿ

).

Ponadto, ka˙zdemu wektorowi x ∈ X mo˙zna jednoznacznie przyporz adkowa´c

,

wsp´o lczynniki α

j

, 1 ≤ j ≤ n, takie, ˙ze x =

Xn

j=1

α

j

∗ b

^j

.

(4)

38 ROZDZIA L 4. PRZESTRZENIE LINIOWE

4.4 Izomorfizm przestrzeni

Definicja 4.9 Przestrze´ n X

|K

jest izomorficzna z Y

|K

(obie przestrzenie nad tym samym cia lem) gdy istnieje wzajemnie jednoznaczne (r´ o˙znowarto´sciowe i “na”) odwzorowanie

f : X → Y

zachowuj ace kombinacje liniowe, tzn.

_,

∀x

¹

, x

2

∈ X ∀α

¹

, α

2

∈ K f (α ∗ x

1

+ α

2

∗ x

2

) = α

1

∗ f(x

1

) + α

2

∗ f(x

2

).

Odwzorowanie f nazywamy izomorfizmem.

Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli f : X → Y jest izomorfizmem to f(0) = 0 (bo f(0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0)). Izomorfizm zachowuje te˙z liniow a (nie)zale˙zno´s´c

_,

wektor´ow, co wynika z faktu, ˙ze warunek

^P^s_j=1

α

j

∗f(b

j

) = 0 jest r´ownowa˙zny f (

^P^s_j=1

α

_j

∗ b

j

) = 0, czyli

^P^s_j=1

α

_j

∗ b

j

= 0. St ad mamy prosty wnio-

_,

sek, ˙ze izomorfizm f przeprowadza baz e (b

_, 1

, . . . , b

n

) przestrzeni X na baz e

,

(f (b

1

), . . . , f (b

n

)) przestrzeni Y.

Ponadto mamy:

(i) ka˙zda przestrze´ n jest izomorficzna ze sob a,

_,

(ii) je´sli X jest izomorficzna z Y to Y jest izomorficzna z X ,

(iii) je´sli X jest izomorficzna z Y oraz Y jest izomorficzna z Z to X jest izomorficzna z Z.

Aby pokaza´c (i) wystarczy zauwa˙zy´c, ˙ze przekszta lcenie identyczno´sciowe w X ustala izomorfizm X z X . Dla (ii) wyka˙zemy, ˙ze odwzorowanie odwrotne f

⁻¹

: Y → X ustala izomorfizm Y z X . Rzeczywi´scie, je´sli y

1

, y

₂

∈ Y to istniej a x

_, 1

, x

2

∈ X takie, ˙ze y

¹

= f (x

1

) i y

2

= f (x

2

). St ad

_,

f

⁻¹

(α

₁

∗ y

1

+ α

₂

∗ y

2

)

= f

⁻¹

(α

1

∗ f(x

1

) + α

2

∗ f(x

2

)) = f

⁻¹

(f (α

1

∗ x

1

+ α

2

∗ x

2

))

= α

1

∗ x

1

+ α

2

∗ x

2

= α

1

∗ f

⁻¹

(y

1

) + α

2

∗ f

⁻¹

(y

2

).

W ko´ ncu, aby pokaza´c (iii) zauwa˙zmy, ˙ze je´sli f i g s a odpowiednio izomor-

_,

fizmami X w Y oraz Y w Z to z lo˙zenie h(·) := g(f(·)) jest izomorfizmem X

(5)

h(α

1

∗ x

1

+ α

2

∗ x

2

)

= g(f (α

1

∗ x

¹

+ α

2

∗ x

²

)) = g(α

1

∗ f(x

¹

) + α

2

∗ f(x

²

))

= α

1

∗ g(f(x

¹

)) + α

2

∗ g(f(x

²

)) = α

1

∗ h(x

¹

) + α

2

∗ h(x

²

).

W lasno´sci (i)-(iii) pokazuj a, ˙ze relacja “bycia przestrzeniami izomorficz-

_,

nymi” jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, a wi ec jest relacj

_,

a r´

_,

ownowa-

˙zno´sci. St ad, zbi´or wszystkich przestrzeni liniowych nad ustalonym cia lem

_,

mo˙zna podzieli´c na roz l aczne podzbiory b

_,

ed

_,

ace klasami abstrakcji tej relacji.

_,

Do tej samej klasy nale˙z a przestrzenie wzajemnie izomorficzne.

_,

Wniosek 4.1 Ka˙zda przestrze´ n liniowa X

|K

wymiaru n jest izomorficzna z K

ⁿ_|K

.

Rzeczywi´scie, wybieraj ac dowoln

_,

a baz

_,

e (b

_, 1

, . . . , b

n

) w X

|K

i definiuj ac

_,

odwzorowanie f : X → Y jako

f

Xn

j=1

α

j

∗ b

^j

:=

Xn

j=1

α

j

∗ ~e

^j

(gdzie ~e

j

jest j-tym wersorem) otrzymujemy izomorfizm przestrzeni X

|K

w K

ⁿ_|K

.

4.5 Warstwy modulo Y

4.5.1 Definicja

Niech Y b edzie podprzestrzeni

_,

a przestrzeni

_,

X i niech x

0

∈ X .

Definicja 4.10 Zbi´ or wektor´ ow

W (x

0

, Y) := { x

0

+ y : y ∈ Y }

nazywamy warstw a modulo

_,

Y przez x

⁰

(albo hiperp laszczyzn a r´

_,

ownoleg l a do

_,

Y przez punkt x

0

).

(6)

40 ROZDZIA L 4. PRZESTRZENIE LINIOWE Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli x

1

−x

²

∈ Y to warstwy W (x

¹

, Y) i W (x

²

, Y) zawieraj a

,

te same wektory. Rzeczywis´scie, je´sli x = x

1

+ y ∈ W (x

1

, Y) to x = x

2

+ ((x

₁

− x

2

) + y) ∈ W (x

2

, Y). Podobnie, je´sli x ∈ W (x

2

, Y) to x ∈ W (x

1

, Y).

Z drugiej strony, je´sli x ∈ W (x

¹

, Y) ∩ W (x

²

, Y) to x = x

¹

+ y

1

= x

2

+ y

2

dla pewnych y

1

, y

2

∈ Y. St ad x

_, 1

− x

2

= y

2

− y

1

∈ Y i w konsekwencji W (x

₁

, Y) = W (x

2

, Y).

Na podstawie powy˙zszej analizy mo˙zemy stwierdzi´c, ˙ze dwie warstwy, W (x

1

, Y) i W (x

2

, Y), s a sobie r´owne (gdy x

_, 1

− x

2

∈ Y) albo roz l aczne (gdy

_,

x

₁

− x

2

∈ Y). Dlatego warstwy W (x /

1

, Y) i W (x

2

, Y) takie, ˙ze x

1

− x

2

∈ Y b edziemy uto˙zsamia´c.

_,

Trywialnymi przyk ladami warstw s a W (x

_, ₀

, X ) = X oraz W (x

0

, {0}) = {x

⁰

}.

4.5.2 Przestrze´ n warstw

W zbiorze wszystkich warstw modulo Y ⊆ X wprowadzimy dzia lania doda- wania warstw i mno˙zenia przez skalar α ∈ K w nast epuj

_,

acy spos´ob:

_,

(i) W (x

1

, Y) + W (x

²

, Y) := W (x

¹

+ x

2

, Y), (ii) α ∗ W (x, Y) := W (α ∗ x, Y).

Dzia lania te s a dobrze zdefiniowane, bo je´sli

_,

W (x

₁

, Y) = W (x

⁰1

, Y) i W (x

₂

, Y) = W (x

⁰2

, Y)

to x

1

− x

⁰1

∈ Y i x

2

− x

⁰2

∈ Y, a st ad (x

_, 1

− x

⁰1

) + (x

2

− x

⁰2

) ∈ Y, czyli W (x

₁

+ x

₂

, Y) = W (x

⁰1

+ x

⁰₂

, Y). Podobnie, je´sli W (x, Y) = W (x

⁰

, Y) to α ∗ x − α ∗ x

⁰

= α ∗ (x − x

⁰

) ∈ Y, czyli W (α ∗ x, Y) = W (α ∗ x

⁰

), Y).

Latwo sprawdzi´c, ˙ze zbi´or warstw modulo Y z powy˙zej zdefiniowanymi dzia laniami jest przestrzeni a liniow

_,

a nad K. Aby znale´z´c baz

_,

e tej przestrzeni,

_,

zapiszemy X jako sum e prost

,

a

_,

X = Y ⊕ Z (gdzie Z jest oczywi´scie wyzna- czona niejednoznacznie) i we´zmiemy dowoln a baz

_,

e (z

_, 1

, z

2

, . . . , z

k

) w Z (gdzie k = dim( Z)). Okazuje si e, ˙ze przestrze´

,

n warstw jest izomorficzna z Z, a uk lad

(W (z

1

, Y), . . . , W (z

k

, Y))

jest jej baz a. Aby si

_,

e o tym przekona´c, wystarczy pokaza´c, ˙ze odwzorowanie

_,

f (z) = W (z, Y), z ∈ Z,

(7)

r´o˙znowarto´sciowe, bo je´sli f (z

₁

) = f (z

₂

) to z

₁

− z

2

∈ Y, a poniewa˙z Y i Z tworz a sum

_,

e prost

_,

a to z

_, 1

−z

²

= 0 i z

1

= z

2

. W ko´ ncu, f jest przekszta lceniem

“na”, bo dla dowolnej warstwy W (x, Y), x ∈ X , mamy W (x, Y) = f(z), gdzie z pochodzi z (jednoznacznego) rozk ladu x = y + z, y ∈ Y, z ∈ Z.

W szczeg´olno´sci pokazali´smy r´ownie˙z, ˙ze przestrze´ n warstw modulo Y ma wymiar dim( X ) − dim(Y).