Cia lem nazywamy strukture algebraiczn, a (K

Egzamin poprawkowy z algebry liniowej I 2008

Imie_, ...

Nazwisko ...

Odpowiedzi nale˙zy udzieli´c bezpo´srednio pod pytaniem. Za ka˙zda bezb l_, edn_, a odpowied´_, z 1 pkt. Jaki- kolwiek b lad - 0 pkt._,

1. Cia lem nazywamy strukture algebraiczn_, a (K, +, ·, 0, 1) tak_, a, ˙ze zbi´_, or K ma co najmniej ... ...

oraz spe lnione sa nast_, epuj_, ace aksjomaty:_,

2. Cia lem liczb zespolonych nazywamy zbi´or ... z wyr´o˙znionymi elementami ... i ... oraz z dzia laniami + i · okre´slonymi wzorami:

3. Sformu luj wz´or de Moivre’a.

4. Sformu luj twierdzenie o pierwiastkowaniu liczb zespolonych.

5. Sformu luj zasadnicze twierdzenie algebry.

1

6. Inwersja permutacji f ∈ S_{, n} nazywamy ...

7. Znakiem permutacji f ∈ S_n nazywamy liczbe sgn(f ) = ..._,

8. Wyznacznikiem macierzy A = [cij]i,j=1,...,n∈ Mn(K) nazywamy:

9. Je˙zeli w wyznaczniku zamienimy miejscami kolumne pierwsz_, a z drug_, a, a nast_, epnie kolumn_, e drug_, a_, z trzecia, to wyznacznik ...._,

10. Je˙zeli A ∈ M_n(K), to det(A^T) = ...

11. Je˙zeli A ∈ Mn(K) oraz a ∈ K, to det(a · A) = ...

12. Je˙zeli A ∈ Mn(K), to dla i, j = 1, . . . , n, Aij jest ...

13. Podaj wz´or na rozwiniecie Laplace’a wzgl_, edem k-tego wiersza dla macierzy B = [b_{, ij}]i,j=1,...,n ∈ Mn(K).

14. Podaj og´olna posta´_, c uk ladu m - r´owna´n liniowych z niewiadomymi x1, . . . , xn nad cia lem K.

2

15. Sformu luj twierdzenie Cramera.

16. Macierz B... jest macierza odwrotn_, a do macierzy A = [a_{, ij}]i,j=1,...,n∈ M_n(K) ⇔ ...

17. Sformu luj twierdzenie Cauchy’ego.

18. Je˙zeli A ∈ M_n(K), to A · D(A)^T = ...

19. Podaj definicje sprzecznego uk ladu r´_, owna´n liniowych z niewiadomymi x1, . . . , xn nad cia lem K.

20. Zbi´or V (z dzia laniem +, operacja ◦ mno˙zenia przez skalary z cia la K oraz wyr´_, o˙znionym elementem Θ) nazywamy przestrzenia liniow_, a nad cia lem K, je´_, sli spe lnione sa nast_, epuj_, ace warunki (aksjomaty_, przestrzeni liniowych):

3

21. Podaj definicje podprzestrzeni przestrzeni liniowej V nad cia lem K._,

22. Wektory α, β, γ, δ przestrzeni liniowej V nad cia lem K sa liniowo niezale˙zne ⇔ ..._,

23. Dla dowolnego cia la K w przestrzeni K^∞podaj przyk lad niesko´nczonego zbioru wektor´ow liniowo niezale˙znego.

24. Dla dowolnych podprzestrzeni V1 i V2 przestrzeni liniowej V nad cia lem K, V1+ V2= ...

25. δ ∈ lin(α, β, γ) ⇔ ...

26. Podaj cztery przyk lady przestrzeni liniowych nad dowolnym cia lem K.

4