Zadania domowe
(termin: 17 kwietnia 2015)
Zadanie 1.
Wyka˙z, ˙ze dla normy pierwszej macierzy zespolonej A = (ai,j) ∈ Cm,n mamy kAk1 = max
1≤j≤n m
X
i=1
|ai,j|.
Zadanie 2.
Je´sli dla macierzy nieosobliwej A ∈ Rn,n i wektora ~b ∈ Rn zachodzi (1) (A + E)~x = ~b, gdzie kEk2 ≤ K ν kAk2, to dla residuum ~r = ~b − A~x mamy
(2) k~rk2 ≤ K ν kAk2k~xk2.
Wyka˙z, ˙ze prawdziwe jest te˙z twierdzenie odwrotne: je´sli spe lniony jest warunek (2) to istnieje macierz E taka, ˙ze kEk2 ≤ KνkAk2 oraz spe lniona jest nier´owno´s´c (1).
Zadanie 3
Stosujac (literalnie) algorytm eliminacji Gaussa z wyborem elementu g l´, ownego w kolumnie dokonaj rozk ladu macierzy
A =
−1 1 0 −3
1 0 3 1
0 1 −1 −1
3 0 1 2
na iloczyn P A = L U , gdzie P jest macierza permutacji, L macierz, a tr´, ojkatn, a doln, a z, jedynkami na g l´ownej przekatnej, a U macierz, a tr´, ojkatn, a g´, orna.,
Zadanie 4.
Macierz
A =
2 6 −4
6 17 −17
−4 −17 −20
jest nieosobliwa i symetryczna, ale nie jest dodatnio okre´slona. Znajd´z, je´sli istnieja, macierz, tr´ojkatn, a doln, a L z jedynkami na g l´, ownej przekatnej oraz macierz diagonaln, a D takie, ˙ze, A = LDLT. Czy taki rozk lad istnieje dla dowolnej nieosobliwej i symetrycznej macierzy A?
Zadanie dodatkowe (nieobowiazkowe),
Wyka˙z, ˙ze dla dowolnej macierzy A ∈ Rm,n mamy kAk2 ≤ kAkE ≤p
min(m, n)kAk2, gdzie kAk2 jest norma drug, a macierzy, a kAk, E = P
i,j|ai,j|21/2
jej norma euklidesow, a.,
