1, a U = (ui,j) macierza, tr´ojkatn, a g´, orna

Zadania domowe

(termin: 15 maja 2015)

Zadanie 1.

Do nieosobliwej macierzy tr´ojdiagonalnej A = (ai,j) ∈ C^n,n, tzn. takiej, ˙ze ai,j = 0 dla |i − j| ≥ 2, zastosowano algorytm eliminacji Gaussa z wyborem elementu g l´ownego w kolumnie otrzymujac rozk lad tr´_, ojkatno-tr´_, ojkatny P A = L U , gdzie P jest macierz_, a permutacji, L =_, (l_i,j) macierza tr´_, ojkatn_, a doln_, a z jedynkami na przek_, atnej i |l_{, i,j}| ≤ 1, a U = (u_i,j) macierza_, tr´ojkatn_, a g´_, orna. Wyka˙z, ˙ze_,

max

1≤i,j≤n|u_i,j| ≤ 2 max

1≤i,j≤n|a_i,j|.

Zadanie 2.

Stosujac odbicia Householdera H_{, i} = I − ~u_i~u^T_i /γ_i sprowad´z macierz

A =









0 −2

0 0

−5 1

0 2









do postaci tr´ojkatnej g´_, ornej R = H₂H₁A. Wska˙z wsp´o lczynniki macierzy R oraz odpowied- nie wektory ~u_i i liczby γ_i, i = 1, 2.

Nastepnie, korzystaj_, ac z rozk ladu, znajd´_, z min

~

x k~b − A~xk₂

dla ~b = [−4, 1, −3, 4]^T. Jaki wektor realizuje powy˙zsze minimum?

Zadanie 3

Stosujac algorytm ortogonalizacji Grama-Schmidta znajd´_, z rozk lad macierzy A z zadania 2 na iloczyn A = Q R, gdzie Q ∈ R^4,2 jest macierza o ortonormalnych kolumnach, a_, R ∈ R^2,2 macierza tr´_, ojkatn_, a g´_, orna. Por´_, ownaj Q do macierzy Q₁ = (H₂H₁)^T, gdzie H₁, H₂ sa macierzami otrzymanymi w zadaniu 2._,

Zadanie 4.

Wykonaj 4 kroki metody iteracji prostych z wektorem poczatkowym ~_, x₀ = [1, 1]^T dla znale- zienia wektora w lasnego i warto´sci w lasnej macierzy

A =  −3 4 4 3

 . Czy metoda jest zbie˙zna? Odpowied´z uzasadnij.