Ogólniej, je´sli A jest macierza rójk, at-, na doln, a lub trójk, atn, a górn, a, A

(1)

Rozdzia l 9

Wyznacznik macierzy

9.1 Definicja i pierwsze w lasno´sci

Niech A bedzie macierz_, a kwadratow_, a nad cia lem K,_, A = (ai,j)ⁿ_i,j=1 ∈ K^n,n. Definicja 9.1 (przez rozwiniecie Laplace’a)_,

Wynacznikiem macierzy kwadratowej n× n nazywamy funkcje_, detn : K^n,n → K,

zdefiniowana rekurencyjnie w nast_, epuj_, acy spos´_, ob:

(n = 1) det1(A) := det1([a1,1]) = a1,1, (n ≥ 2) detn(A) :=Pn

i=1(−1)ⁱ⁺ⁿa_i,n· detn−1(A_i,n),

gdzie A_i,n ∈ K^n−1.n−1 jest macierza powsta l_, a z A poprzez usuni_, ecie z niej_, i-tego wiersza i n-tej kolumny.

Zgodnie z definicja mamy_,

det2(A) = a1,1a2,2− a1,2a2,1,

det3(A) = a1,1a2,2a3,3+ a1,2a2,3a3,1+ a1,3a2,1a3,2

−a1,1a2,3a3,2− a1,2a2,1a3,3− a1,3a2,1a3,2, det4(A) = . . . .

81

(2)

82 ROZDZIA L 9. WYZNACZNIK MACIERZY Wprost z definicji rekurencyjnej latwo równie˙z zauwa˙zyć, ˙ze dla macierzy identyczno´sciowej mamy detn(In) = 1. Ogólniej, je´sli A jest macierza rójk_, at-_, na doln_, a lub trójk_, atn_, a górn_, a, A_, ∈ TRIL^n,n∪ TRIU^n,n, to

det_n(A) = Yn

i=1

a_i,i.

Je´sli format macierzy jest znany lub nieistotny to dalej bedziemy dla_, uproszczenia pisa´c det(A) zamiast detn(A).

Twierdzenie 9.1 Wyznacznik jest funkcja liniow_, a ze wzgl_, edu na dowoln_, a_, kolumne macierzy, tzn._,

det([~a1, . . . , ~ap∗ α + ~a⁰p∗ α⁰, . . . , ~an])

= det([~a1, . . . , ~ap, . . . , ~an])∗ α + det([~a1, . . . , ~a⁰_p, . . . , ~an])∗ α⁰, 1≤ p ≤ n.

Dowód. Rzeczywi´scie, równo´sć w oczywisty sposób zachodzi dla n = 1, a dla n≥ 2 wystarczy osobno rozpatrzyć dwa przypadki, p = n i 1 ≤ p ≤ n−1, oraz skorzystać z definicji rekurencyjnej.

Z twierdzenia 9.1 mamy od razu, ˙ze det([. . . , ~0, . . .]) = 0. Natomiast stosujac twierdzenie 9.1 kolejno do ka˙zdej z kolumn macierzy otrzymujemy,_,

˙ze dla dowolnej macierzy diagonalnej D = diag(α1, α2, . . . , αn) det(A∗ D) = det([~a1∗ α1, . . . , ~an∗ αn]) = det(A)·

Yn i=1

αi. (9.1) W szczeg´olno´sci,

detn(α∗ A) = αⁿ· detn(A) oraz detn(−A) = (−1)ⁿ· detn(A).

9.2 Wyznacznik a operacje elementarne

9.2.1 Permutacja kolumn

Twierdzenie 9.2 Przestawienie r´o˙znych kolumn macierzy zmienia znak wyznacznika, tzn. dla dowolnej transpozycji Tp,q, p6= q,

det(A∗ T^p,q) =−det(A).

(3)

Dow´od. (Indukcja wzgledem n.)_,

Dla n = 1, 2 wz´or sprawdzamy bezpo´srednio z definicji. Dla n≥ 3 rozpatru- jemy trzy przypadki.

(a) 1≤ p < q ≤ n − 1.

Korzystajac z za lo˙zenia indukcyjnego mamy_, det_n(A∗ Tp,q) =

Xn i=1

(−1)ⁱ⁺ⁿa_i,ndet_n−1((A∗ Tp,q)_i,n)

= −

Xn i=1

(−1)ⁱ⁺ⁿai,ndetn−1(Ai,n)

= −detn(A).

(b) p = n− 1, q = n.

Stosujac dwukrotnie rozwini_, ecie Laplace’a dostajemy_, det_n(A) =

Xn i=1

(−1)ⁱ⁺ⁿa_i,ndet_n−1(A_i,n)

= Xn

i=1

(−1)ⁱ⁺ⁿXⁱ⁻¹

k=1

(−1)^k+(n−1)ak,n−1detn−2(A{i,k}{n−1,n})

+ Xn k=i+1

(−1)(k−1)+(n−1)ak,n−1detn−2(A{i,k}{n−1,n})

= −X

k<i

(−1)^i+kai,nak,n−1detn−2(A{i,k}{n−1,n})

+X

i<k

(−1)^i+kai,nak,n−1detn−2(A{i,k}{n−1,n}),

gdzie A{i,k}{n−1,n}jest macierza powsta l_, a z A poprzez usuni_, ecie wierszy i-tego_, i k-tego oraz kolumn (n−1)-szej i n-tej. Wykonujac to samo dla macierzy A, ∗ Tp,qotrzymujemy ten sam wz´or, ale z odwr´oconymi znakami przed symbolami sumowania.

(c) 1≤ p ≤ n − 2, q = n.

W tym przypadku wystarczy zauwa˙zy´c, ˙ze

A∗ T^p,n= A∗ T^p,n−1∗ T^n−1,n∗ T^p,n−1 i skorzysta´c dwukrotnie z (a) i raz (b).

(4)

84 ROZDZIA L 9. WYZNACZNIK MACIERZY Z twierdzenia 9.2 wynika w szczeg´olno´sci, ˙ze wyznacznik macierzy transpozycji Tp,q z p6= q wynosi −1.

Wyznacznik mo˙zna rozwija´c nie tylko wzgledem ostatniej, ale r´ownie˙z_, wzgledem dowolnej kolumny._,

Twierdzenie 9.3 Dla dowolnego n≥ 2 i 1 ≤ j ≤ n mamy detn(A) =

Xn i=1

(−1)^i+jai,j· det(Ai,j).

Dow´od. Je´sli j = n− 1 to

detn(A) = −detn(A∗ Tn−1,n)

= −

Xn i=1

(−1)ⁱ⁺ⁿai,n−1· detn−1(Ai,n−1)

= Xn

i=1

(−1)ⁱ⁺ⁿ⁻¹ai,n−1· detn−1(Ai,n−1).

Dalej, korzystajac z prawdziwo´sci rozwini_, ecia dla j = n_, − 1, pokazujemy podobnie prawdziwo´s´c rozwiniecia dla j = n_, − 2, itd., a˙z do j = 1.

9.2.2 Kombinacja liniowa kolumn

Z twierdzenia 9.2 od razu otrzymujemy

det([. . . , ~a, . . . , ~a, . . .]) = 0.

Stad i z liniowo´sci wyznacznika wzgl_, edem dowolnej kolumny wynika, ˙ze wy-_, znacznik nie ulegnie zmianie gdy do kolumny dodamy inna kolumn_, e po-_, mno˙zona przez skalar, tzn._,

det([~a1, . . . , ~ap−1, ~ap + ~aq∗ m,~a^p+1, . . . , ~an])

= det([~a1, . . . , ~ap−1, ~ap, ~ap+1, . . . , ~an]).

Uog´olnieniem ostatniej w lasno´sci jest nastepuj_, aca._,

Twierdzenie 9.4 Je´sli do p-tej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozo-_, sta lych kolumn to wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie, tzn.

deth

~a1, . . . , ~ap−1, ~ap+X

j6=p

~aj∗ m^j, ~ap+1, . . . , ~an

i

= det([~a1, . . . , ~ap−1, ~ap, ~ap+1, . . . , ~an]).

(5)

Zauwa˙zmy, ˙ze ostatnia równo´sć mo˙zna symbolicznie zapisać jako_, det(A∗ (I + ~m∗ ~a^Tp)) = det(A), o ile ~e^T_p ∗ ~m = 0.

Wniosek 9.1 Je´sli macierz A jest osobliwa to det(A) = 0.

Dow´od. Je´sli A nie jest pe lnego rzedu to jedna z kolumn, powiedzmy p,_, jest kombinacja liniow_, a pozosta lych kolumn. Odejmuj_, ac od p-tej kolumny t_, a_, kombinacje liniow_, a otrzymujemy macierz A_, ⁰ o tym samym wyznaczniku co A i o zerowej p-tej kolumnie. Stad det(A) = det(A_, ⁰) = 0.

9.3 Dalsze w lasno´sci wyznacznik´ow

9.3.1 Wyznacznik iloczynu macierzy

Jak wiemy, ka˙zda macierz trójk_, atn_, a doln_, a L_, ∈ TRIL^n,n z jedynkami na g lównej przekatnej mo˙zna przedstawić jako iloczyn_,

L = In+ ~l1∗ ~e^T1 +· · · + ~ln−1∗ ~e^Tn−1 = (In+ ~l1 ∗ ~e^T1)∗ · · · ∗ (In+ ~ln−1~e^T_n−1), gdzie ~lj = [0, . . . , 0

| {z }

j

, lj+1,j, . . . , ln,j]^T, 1≤ j ≤ n−1. Na podstawie twierdzenia 9.4 mamy wiec, ˙ze_,

det(A∗ L) = det(A). (9.2)

Podobnie, wyznacznik nie ulegnie zmianie gdy macierz pomno˙zymy z prawej strony przez macierz trójkatn_, a górn_, a z jedynkami na g lównej przek_, atnej._,

Niech teraz W ∈ TRIL^n,n∪TRIU^n,n. Je´sli wszystkie wyrazy na przekatnej_, sa niezerowe, w_, i,i 6= 0, 1 ≤ i ≤ n, to

W = W1∗ diag(w1,1, . . . , wn,n),

gdzie W1 ∈ TRIL^n,n∪ TRIU^n,n z jedynkami na g lównej przekatnej. Stosuj_, ac_, kolejno (9.1) i (9.2) (z macierza odpowiednio trójk_, atn_, a górn_, a albo trójk_, atn_, a_, dolna) dostajemy_,

det(A∗ W ) = det(A ∗ W1)· Yn i=1

wi,i = det(A)· Yn i=1

wi,i. (9.3) Je´sli za´s wk,k = 0 dla pewnego k to W jest osobliwa, a stad osobliwa jest_, r´ownie˙z macierz A∗ W i r´ownanie det(A ∗ W ) = det(A) ·Qn

i=1wi,i pozostaje w mocy.

Mo˙zemy teraz pokaza´c nastepuj_, ace twierdzenie_,

(6)

86 ROZDZIA L 9. WYZNACZNIK MACIERZY Twierdzenie 9.5 Dla dowolnych macierzy A, B ∈ K^m,n

det(A∗ B) = det(A) · det(B).

Dowód. Skorzystamy z twierdzenia, ˙ze dla dowolnej macierzy B istnieje rozk lad trójkatno-trójk_, atny P_, ∗ B ∗ Q^T = L∗ R, czyli

B = P^T ∗ L ∗ R ∗ Q,

gdzie P = T1,p(1)∗· · ·∗T^{n−1,p(n−1)} i Q = T1,q(1)∗. . .∗T^{n−1,q(n−1)} sa macierzami_, permutacji, L jest trójkatna dolna z jedynkami na przek_, atnej, a R trójk_, atna_, górna. Jasne, ˙ze det(P ) = (−1)^s, gdzie s jest liczba w la´sciwych przestawie´_, n w p (tzn. liczba tych i dla których i_, 6= p(i)), oraz podobnie det Q = (−1)^t, gdzie t jest liczba w la´sciwych przestawie´_, n w q. Wykorzystujac wielokrotnie_, twierdzenie 9.2 oraz wzór (9.3) otrzymujemy

det(A∗ B) = det(A ∗ P^T ∗ L ∗ R) · (−1)^t

= det(A∗ P^T ∗ L)(−1)^t· Yn i=1

ri,i

= det(A∗ P^T)(−1)^t· Yn

i=1

ri,i

= det(A)(−1)^s+t· Yn i=1

ri,i

= det(A)∗ det(B), co nale˙za lo pokaza´c.

9.3.2 Wyznacznik macierzy nieosobliwej i transpono- wanej

Jak zauwa˙zyli´smy wcze´sniej w dowodzie twierdzenia 9.5, rozk lad macierzy A = P^T ∗ L ∗ R ∗ Q implikuje r´owno´s´c

det(A) = (−1)^s+t· Yn i=1

ri,i,

kt´ora z kolei daje dwa nastepuj_, ace wa˙zne wnioski._,

(7)

Wniosek 9.2 Macierz A jest nieosobliwa, tzn. rz(A) = n, wtedy i tylko wtedy gdy det(A) 6= 0.

Wniosek 9.3 Dla dowolnej macierzy kwadratowej A mamy det(A^T) = det(A).

Ostatni wniosek oznacza, ˙ze wszystkie w lasno´sci wyznacznika dotyczace_, kolumn macierzy przys luguja równie˙z jej wierszom. W szczególno´sci, wy-_, znacznik mo˙zna rozwijać wzgledem dowolnego wiersza,_,

det_n(A) = Xn

j=1

(−1)^i+ja_i,j · detn−1(A_i,j).

9.4 Definicja kombinatoryczna wyznacznika

Ka˙zda macierz permutacji P mo˙ze by´c roz lo˙zona na wiele sposob´ow jako iloczyn transpozycji. Na przyk lad, typowym rozk ladem jest

P = T1,p(1)∗ T^2,p(2)∗ · · · ∗ T^{n−1,p(n−1)}, (9.4) gdzie p jest permutacja odpowiadaj_, ac_, a macierzy permutacji P . Jasne, ˙ze_,

det(Tp,q) =

1, p = q (transpozycja niew la´sciwa),

−1, p6= q (transpozycja w la´sciwa).

Zatem

det(P ) = (−1)^σ(p),

gdzie σ(p) = 0 gdy liczba transpozycji w la´sciwych w rozk ladzie (9.4) jest parzysta, oraz σ(p) = 1 gdy liczba transpozycji w la´sciwych w (9.4) jest nieparzysta. Pokazali´smy wiec, ˙ze_,

Twierdzenie 9.6 W rozk ladzie macierzy permutacji na iloczyn transpozycji liczba transpozycji w la´sciwych jest zawsze parzysta, albo zawsze nieparzysta.

Parzysto´s´c lub nieparzysto´s´c permutacji jest wiec w lasno´sci_, a permutacji_, (niezale˙zna od rozk ladu)._,

(8)

88 ROZDZIA L 9. WYZNACZNIK MACIERZY Definicja Laplace’a wyznacznika jest r´ownowa˙zna nastepuj_, acej definicji_, kombinatorycznej:

detn(A) = X

p=[p(1),...,p(n)]

(−1)^σ(p) Yn j=1

ap(j),j,

albo

detn(A) = X

q=[q(1),...,q(n)]

(−1)^σ(q) Yn i=1

ai,q(i).

Indukcyjny dow´od r´ownowa˙zno´sci tych definicji pomijamy. (Tutaj p i q sa_, permutacjami ciagu [1, 2, . . . , n], przy czym p_, ◦ q = q ◦ p = Id = [1, 2, . . . , n].

Wtedy σ(p) = σ(q).)

9.5 Wzory Cramera

Poka˙zemy teraz, ˙ze uk lady równań liniowych mo˙zna, przynajmniej teoretycz- nie, rozwiazywać za pomoc_, a liczenia odpowiednich wyznaczników._,

Definicja 9.2 Macierz C(A) := (γ)i,j ∈ K^n,n, gdzie γi,j = (−1)^i+jdetn−1(Ai,j),

nazywamy macierza komplementarn_, a do danej macierzy A_, ∈ K^n,n. Zauwa˙zmy, ˙ze na podstawie rozwiniecia Laplace’a mamy_,

pj,k :=

Xn i=1

γi,jai,k =

det(A), k = j, 0, k 6= j, a stad_,

P = (pj,k)ⁿ_j,k=1 = detn(A)∗ In= (C(A))^T ∗ A.

Zatem je´sli rz(A) = n to

A⁻¹ = (C(A))^T

detn(A) = (−1)^i+jdetn−1(Aj,i) detn(A)

n i,j=1

.

(9)

Rozpatrzmy teraz uk lad r´owna´n A∗ ~x = ~b z kwadratowa i nieosobliw, a_, macierza A_, ∈ K^n,n. Wtedy jego rozwiazanie_,

~x = (x_j)ⁿ_j=1 = A⁻¹∗~b = (C(A))^T ∗~b detn(A) , czyli

xj = Pn

i=1γ_i,j∗ bi

det(A) = Pn

i=1(−1)^i+jdet_n−1(A_i,j)· bi

det(A) ,

albo r´ownowa˙znie

xj = detn([~a1, . . . , ~aj−1,~bj, ~aj+1, . . . , ~an]) det_n([~a₁, . . . , ~a_j−1, ~a_j, ~a_j+1, . . . , ~a_n]), dla 1≤ j ≤ n. Ostatnie formu ly zwane sa wzorami Cramera.,

Uwaga. Wzory Cramera maja dla du˙zych n znaczenie jedynie teoretyczne,_, gdy˙z, jak latwo sie przekonać, koszt liczenia wyznacznika macierzy wprost_, z definicji jest proporcjonalny do n! W takich przypadkach lepiej stosować eliminacje Gaussa, której koszt obliczeniowy jest proporcjonalny do n_, ³.